第1、2章 暑假单元综合检测 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本检测整合一元二次方程与特殊四边形，以概念辨析、综合应用及探究题为载体，系统考查代数解法与几何推理，渗透数学建模与创新意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程|11题（如解方程、根的判别式应用）|概念辨析、解法（公式法/因式分解）、实际应用（增长率/利润）|从定义到解法，结合根的判别式解决存在性问题，体现模型意识| |特殊四边形|8题（如矩形判定、菱形证明）|性质判定、综合证明、图形变换（平移）|从平行四边形到特殊四边形的性质判定递进，结合全等与几何计算，培养推理能力|

广东省深圳市2026-2027学年第一学期九年级上册 第一二单元检测（北师大新版）参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣y﹣1＝0 B．2x＝1 C．x2+x（x+7）＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、x2+x（x+7）＝0，整理得2x2+7x＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OD D．AC⊥BD 【分析】利用矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 3．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2． 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 5．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0， 解得k≥﹣2且k≠0． 故选：C． 6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法中正确的是（　　） A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有两个相等的实数根 C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数根 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根 【分析】先对k是否为0进行分类讨论，再利用一元二次方程根的判别式，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：当k＝0时，方程为x﹣1＝0， 此方程为一元一次方程，且解为x＝1． 故A选项错误，不符合题意； 当k＝1时，原方程变为x2﹣1＝0， 解得x＝±1， 所以方程有两个不相等的实根， 故B选项错误，不符合题意； 当k＝﹣1时，原方程变为﹣x2+2x﹣1＝0，即x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，所以方程有两个相等的实根． 故C选项正确，符合题意； 当k≠0时，方程为一元二次方程， 则Δ＝（1﹣k）2﹣4×k×（﹣1）＝（k+1）2． 当k≠0，但k＝﹣1时，方程有两个相等的实根， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 7．下列说法不正确的是（　　） A．矩形的对角线相等且互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．正方形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 【分析】根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断． 【解答】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，故A正确，不符合题意； B．菱形的对角线互相垂直平分，故B正确，不符合题意； C．正方形的对角线相等且互相平分，故C正确，不符合题意； D．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故D不正确确，符合题意． 故选：D． 8．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC，有下列结论： ①△APD≌△CED； ②AE⊥CE； ③点C到直线DE的距离为； ④S正方形ABCD＝5+2； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①利用同角的余角相等，易得∠CDE＝∠ADP，再结合已知条件用SAS可证明两三角形全等； ②利用①中的全等，可得∠APD＝∠CED，再结合三角形外角性质可证AE⊥CE；③过点C作CF⊥DE 的延长线于点F，利用勾股定理可求CE，利用△DPE为等腰直角三角形，可证△CFE为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求 CF，EF；④在 RtΔCDF 中，利用勾股定理可求 CD2，即是正方形ABCD的面积，从而可得答案． 【解答】解：①∵DP⊥DE， ∴∠PDE＝90°． ∴∠PDC+∠CDE＝90°， ∵在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD， ∴∠CDE＝∠ADP． 在△APD和△CED中， ， ∴△APD≌△CED（SAS），故①正确； ②∵△APD≌△CED， ∴∠APD＝∠CED， 又∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP， ∴∠PDE＝∠CEA＝90° 即AE⊥CE，故②正确； ③过点C作 CF⊥DE 的延长线于点F，如图， ∵DE＝DP，∠PDE＝90°， ∴∠DPE＝∠DEP＝45°． 又∵∠CEA＝90°， ∴∠CEF＝∠FCE＝45°， ∴CF＝EF， ∵DP＝DE＝1， ∴． ∴， ∴， 即点C到直线DE的距离为 ，故③错误； ④∵，DE＝1， 在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝（）2+（1+2）2＝2+3+25+2， ∴ 故④正确． 综上所述，正确结论的序号为①②④， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 9．方程x2＝3x的解为：x＝0或x＝3　 ． 【分析】先移项，再利用因式分解求解即可． 【解答】解：先移项，再利用因式分解求解可得： 原方程移项得x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， x＝0或x＝3． 故答案为：x＝0或x＝3． 10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，AC＝2，则菱形ABCD的周长为　8　 ． 【分析】根据菱形的性质得到，AB＝BC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，证明△BAC是等边三角形，得到AB＝AC＝2，即可求出菱形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BAD＝2∠B， ∴∠BAC＝∠B， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠B， ∴△BAC是等边三角形， ∴AB＝AC＝2， ∴菱形ABCD的周长为4AB＝8， 故答案为：8． 11．如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为　4　 ． 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠OAB＝∠OBA＝45°，AO＝OC，OB＝OD， AC⊥BD， ∴OA＝OD＝OB＝OCAB＝1， ∵将△ABO向右平移得到△DCE， ∴DE＝CE＝OA＝OB＝1， ∴四边形CEDO的周长为4， 故答案为：4． 12．已知a、b是等腰三角形的两条边，且满足a2﹣8a+b2﹣16b+80＝0，则这个三角形的周长为　20　 ． 【分析】根据题意先求出a、b的值，再利用等腰三角形定义分类讨论三角形边的情况即可． 【解答】解：∵a2﹣8a+b2﹣16b+80＝0， ∴a2﹣8a+16+b2﹣16b+64＝0， ∴（a﹣4）2+（b﹣8）2＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣8＝0． ∴a＝4，b＝8． ∵a、b是等腰三角形的两边， ①当a为腰时，则b为底，三角形为：4，4，8， ∵4+4＝8不符合构成三角形三边关系， ∴此种情况舍去； ②当a为底时，则b为腰，三角形为：4，8，8， ∴此时符合构成三角形三边关系，即周长为：4+8+8＝20， 故答案为：20． 13．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a　 ． 【分析】先根据新定义得到2x+4x2＝a，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵（2x）※1＝a， ∴2x+4x2＝a， 方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0， 解得a， 故答案为：a． 三．解答题（共7小题） 14．解方程： （1）2x2+x﹣2＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 【分析】（1）用公式法进行求解即可； （2）用把方程右边的式子分解因式，然后移项，再利用提取公因式法把方程左边分解因式，从而化成一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0， ∵a＝2，b＝1，c＝﹣2， ∴Δ＝1﹣4×2×（﹣2）＝1+16＝17＞0， ∴， ∴； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2， 3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， ∴（3x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：． 15．解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学： x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学： a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8 ∵b2﹣4ac＜0 ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 　不正确　 ，乙同学的解法 　不正确　 .（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）＝4． 【分析】（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为（x+4）＝0或（x﹣1）＝0，然后解两个一次方程． 【解答】解：（1）甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确． （2）x（x+3）＝4， x2+3x﹣4＝0， （x+4）（x﹣1）＝0， （x+4）＝0或（x﹣1）＝0， x1＝﹣4，x2＝1． 16．下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 【分析】方法一：延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO＝CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC＝BD，从而可得BOAC，即可解答； 方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO∥AB，从而可得∠ODC＝∠ABC＝90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB＝OC，从而可得BOAC，即可解答． 【解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DOBD， ∴BOAC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝COAC， ∴BOAC． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长． 【分析】（1）先证明四边形BDCE为平行四边形，由直角三角形的性质可得BD＝CD，可得结论； （2）由菱形的性质可得DO＝OE，BC⊥DE，OC＝2，由直角三角形的性质可求DO的长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC， ∴四边形BDCE为平行四边形， ∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线， ∴， ∴四边形BDCE为菱形； （2）解：连接DE交BC于O点，如图， ∵四边形BDCE为菱形，BC＝4， ∴， ∴∠ACB＝60°， ∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴DC＝2OC＝4，DOOC＝2， ∴． 18．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【分析】任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，根据“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设每件“哭哭马”实际售价应定为y元，根据为使每日销售利润达到1020元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%； 任务2：设每件“哭哭马”实际售价应定为y元， 由题意得：（y﹣60）[48+4（80﹣y）]＝1020， 整理得：y2﹣152y+5775＝0， 解得：y1＝75，y2＝77（不符合题意，舍去）， 答：每件“哭哭马”实际售价应定为75元． 19．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）求证：AE＝BF； （2）若点E是BC的中点，连接DM，请你判断线段DM与AD之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明△ABE≌△BCF（ASA），即可证得结论； （2）延长AD、BF，交于点K，由三角形全等的性质，可得BE＝CF，证明△BCF≌△KDF（ASA），可得点D是AK的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段DM与AD之间的关系． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF，垂足为M， ∴∠AMB＝∠AMF＝90°， ∴∠BAM+∠ABM＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF． （2）解：DM＝AD，理由： 在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝CD＝AD， 延长AD、BF，交于点K，则∠CDK＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CDK＝∠C， 由（1）得△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴， ∴， 在△BCF和△KDF中， ， ∴△BCF≌△KDF（ASA）， ∴BC＝KD， ∴AD＝KD， ∴点D是AK的中点， 又∵∠AMF＝90°， ∴． 20．综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“k（k＞0）倍矩形（其周长为原矩形周长的k倍，其面积亦为原矩形面积的k倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为m，宽为n． 【特例感知】 （1）已知原矩形m＝4，n＝3，其2倍矩形长为 　12　 ，宽为 　2　 ； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形m，n取何值，其2倍矩形一定存在． 【分析】（1）依据题意，设原矩形长为m，宽为n，故原矩形周长C原＝2（m+n），面积S原＝mn，又设k倍矩形的长为x，宽为y（x＞0，y＞0），则，从而x，y可看作一元二次方程t2﹣k（m+n）t+kmn＝0的两个正实数根，方程有正实数根则k倍矩形存在．结合m＝4，n＝3，k＝2，可得，进而x，y是方程t2﹣14t+24＝0的根，求出t1＝12，t2＝2，从而可以计算得解； （2）依据题意，设倍矩形长x、宽y，满足：，可得x，y是方程，则2t2﹣7t+12＝0，故Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝49﹣96＝﹣47＜0，进而可以得解； （3）依据题意，设2倍矩形长为x，宽为y，则，从而x，y为方程t2﹣2（m+n）t+2mn＝0的两个正实数根，可得Δ＝[﹣2（m+n）]2﹣4×1×2mn＝4（m2+2mn+n2）﹣8mn＝4m2+8mn+4n2﹣8mn＝4m2+4n2＝4（m2+n2），又x+y＝2（m+n）＞0，xy＝2mn＞0，最后可得方程的两个根均为正实数，即存在正数x，y作为2倍矩形的长和宽，即可得解． 【解答】（1）解：设原矩形长为m，宽为n， ∴原矩形周长C原＝2（m+n），面积S原＝mn． 设k倍矩形的长为x，宽为y（x＞0，y＞0）， ∴， ∴x，y可看作一元二次方程t2﹣k（m+n）t+kmn＝0的两个正实数根，方程有正实数根则k倍矩形存在． 又∵m＝4，n＝3，k＝2， ∴， ∴x，y是方程t2﹣14t+24＝0的根， ∴t1＝12，t2＝2． ∴矩形的长为12，宽为2． 故答案为：12，2； （2）解：由题意，设倍矩形长x、宽y，满足：， ∴x，y是方程，则2t2﹣7t+12＝0． ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝49﹣96＝﹣47＜0． ∵判别式Δ＜0，方程无实数根， ∴原矩形的倍矩形不存在； （3）证明：由题意，设2倍矩形长为x，宽为y， ∴， ∴x，y为方程t2﹣2（m+n）t+2mn＝0的两个正实数根． ∴Δ＝[﹣2（m+n）]2﹣4×1×2mn＝4（m2+2mn+n2）﹣8mn＝4m2+8mn+4n2﹣8mn＝4m2+4n2＝4（m2+n2）≥0． 又∵x+y＝2（m+n）＞0，xy＝2mn＞0， ∴方程的两个根均为正实数，即存在正数x，y作为2倍矩形的长和宽． 综上，无论m，n取何值，其2倍矩形一定存在． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市2026-2027学年第一学期九年级上册第一二单元检测（北师大新版） 一．选择题（每小题3分，共8小题，合计24分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣y﹣1＝0 B．2x＝1 C．x2+x（x+7）＝0 D． 2．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠BAD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OD D．AC⊥BD 3．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 5．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法中正确的是（　　） A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有两个相等的实数根 C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数根 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根 7．下列说法不正确的是（　　） A．矩形的对角线相等且互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．正方形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 8．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC，有下列结论： ①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（每小题3分，共5小题，合计15分） 9．方程x2＝3x的解为：　 　 ． 10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，AC＝2，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 11．如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为　 　 ． 12．已知a、b是等腰三角形的两条边，且满足a2﹣8a+b2﹣16b+80＝0，则这个三角形的周长为　 　 ． 13．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共7小题，合计61分） 14．（8分）请选择合适的方法解下列方程：（1）2x2+x﹣2＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 15．（8分）解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学： x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学： a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8 ∵b2﹣4ac＜0 ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 　 　 ，乙同学的解法 　 　 .（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程x（x+3）＝4． 16．（6分）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 17．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长． 18．（10分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 19．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）求证：AE＝BF； （2）若点E是BC的中点，连接DM，请你判断线段DM与AD之间的关系，并说明理由． 20.（10分）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“k（k＞0）倍矩形（其周长为原矩形周长的k倍，其面积亦为原矩形面积的k倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为m，宽为n． 【特例感知】 （1）已知原矩形m＝4，n＝3，其2倍矩形长为 　 　 ，宽为 　 　 ； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形m，n取何值，其2倍矩形一定存在． 8；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 20200 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $