5.3诱导公式同步练-2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦诱导公式分层巩固，通过基础应用、综合辨析、复杂推理三阶设计，培养数学抽象与运算能力，适配初升高衔接教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式直接应用|单选题（8题）考查公式记忆与符号判断，如给角求值| |中档层|公式综合辨析|多选题（2题）、填空题（2题）涉及角的对称关系与函数互化| |综合层|复杂问题推理|解答题（2题）融合给值求值与恒等式证明，体现化归思想|

5.3 诱导公式 知识点梳理 一、六组诱导公式的推导（基于单位圆） 1. 公式一（终边相同的角） 推导： 角α与角α+2kπ（k∈Z）的终边相同，因此它们与单位圆交点的坐标相同。 公式： · sin(α + 2kπ) = sinα（k∈Z） · cos(α + 2kπ) = cosα（k∈Z） · tan(α + 2kπ) = tanα（k∈Z） 作用： 将任意角三角函数转化为0~2π内的角。 2. 公式二（π+α） 推导： 如图，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角π+α的终边与单位圆交于点P′(-x,-y)。 公式： sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα tan(π + α) = tanα 推导图示：终边π+α：P′(-x,-y) ←关于原点对称→ 终边α：P(x,y) 3. 公式三（-α） 推导： 角-α的终边与角α的终边关于x轴对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角-α的终边与单位圆交于点P′(x,-y)。 公式： sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = -tanα 推导图示： 终边-α：P′(x,-y) ←关于x轴对称→ 终边α：P(x,y) 4. 公式四（π-α） 推导： 角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角π-α的终边与单位圆交于点P′(-x,y)。 公式： sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα tan(π - α) = -tanα 推导图示： 终边π-α：P′(-x,y) ←关于y轴对称→ 终边α：P(x,y) 5. 公式五（-α） 推导： 角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角π/2-α的终边与单位圆交于点P′(y,x)。 公式： sin( - α) = cosα cos( - α) = sinα 推导图示： 终边(π/2-α)：P′(y,x) ←关于y=x对称→ 终边α：P(x,y) 6. 公式六（+α） 推导： 角+α的终边可由角α的终边逆时针旋转90°得到，即通过公式五中α→-α再结合公式三推导。 公式： sin( + α) = cosα cos( + α) = -sinα 二、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 1. 口诀含义 “奇变偶不变”：对于形如 k·± α（k∈Z）的角： 若k为奇数，则函数名改变（正弦⇌余弦，正切⇌余切） 若k为偶数，则函数名不变 “符号看象限”：将α视为锐角，判断原角所在的象限，根据原三角函数的符号确定结果的正负号。 2. 口诀应用示例 例1： sin(π+α) 公式化为 sin(2· + α)，k=2为偶数 → 函数名不变（仍为sin） 将α视为锐角，π+α是第三象限角，正弦在第三象限为负 → 结果为 -sinα ✓ 例2： cos(-α) 公式化为 cos(1· - α)，k=1为奇数 → 函数名改变（cos→sin） 将α视为锐角，-α是第一象限角，余弦在第一象限为正 → 结果为 sinα ✓ 例3： sin(+α) 公式化为 sin(1· + α)，k=1为奇数 → 函数名改变（sin→cos） 将α视为锐角，+α是第二象限角，正弦在第二象限为正 → 结果为 cosα ✓ 3. 各象限三角函数符号速查 象限 正弦 余弦 正切 一 + + + 二 + - - 三 - - + 四 - + - 三、诱导公式的作用 1. 化大角为小角 利用诱导公式，可以将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，基本步骤： 步骤一：化负角为正角（利用公式三） sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα 步骤二：化大角为小角（利用公式一） 将大于360°的角转化为0°~360°的角 步骤三：化钝角为锐角（利用公式二、四） 将90°~360°的角转化为0°~90°的角 流程示例： 求sin(-2100°)的值 第一步：sin(-2100°) = -sin(2100°) 第二步：2100° = 5×360°+300°，sin(2100°) = sin(300°) 第三步：sin(300°) = sin(360°-60°) = -sin(60°) = 结果：sin(-2100°) = -() = 2. 实现函数互化 公式五、六可以实现正弦与余弦的互化，常用于给值求值、角的拼凑等题型。 四、典型题型与解题方法 题型一：给角求值（化简） 利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数。 例1： 求值：sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°) 解： sin(-1200°) = -sin(1200°) 1200° = 3×360°+120°，sin(1200°) = sin(120°) = sin(180°-60°) = sin60° = 所以 sin(-1200°) = cos1290° = cos(1290°) 1290° = 3×360°+210°，cos(1290°) = cos(210°) = cos(180°+30°) = -cos30° = cos(-1020°) = cos(1020°) 1020° = 2×360°+300°，cos(1020°) = cos(300°) = cos(360°-60°) = cos60° = sin(-1050°) = -sin(1050°) 1050° = 2×360°+330°，sin(1050°) = sin(330°) = sin(360°-30°) = -sin30° = 所以 sin(-1050°) = -() = 原式 = ()×() + ()×() = + = 1 题型二：给值求值 已知某个角的三角函数值，求与之相关的角的三角函数值。 例2： 已知cos( - α) = ，求cos( + α) + sin( + α)的值。 解： cos( + α) = cos[π - ( - α)] = -cos( - α) = - sin( + α) = sin[ - ( - α)] = cos( - α) = 原式 = - + = 0 题型三：化简三角函数式 例3： 化简：cos(+α) + sin(π-α) - cos(π-α) - sin(-α) 解： cos(+α) = -sinα ， sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα ， sin(-α) = cosα 原式 = (-sinα) + sinα - (-cosα) - cosα = -sinα + sinα + cosα - cosα = 0 题型四：证明三角恒等式 例4： 证明：sin(π+α)·cos(π-α)·tan(π-α) = sin²α 证明： 左边 = sin(π+α)·cos(π-α)·tan(π-α) = (-sinα)·(-cosα)·(-tanα) = (-sinα)·(-cosα)·(-sinα/cosα) = sinα·cosα·(-sinα/cosα) = -sin²α 注意： 本题结果应为 -sin²α，若题目需证明等于 sin²α，则需检查符号或题目条件。 题型五：角的拼凑（利用互余互补关系） 特点： 利用公式五、六，将不同角度的三角函数值通过互余或互补关系进行转化。 常见关系： 与π/2-α互余：sinα = cos(π/2-α)，cosα = sin(π/2-α) α与π-α互补：sin(π-α) = sinα，cos(π-α) = -cosα 例5： 已知sin( + θ) = 3/5，且θ∈(, π)，求cos(π-θ)的值。 解： sin( + θ) = cosθ = 3/5 由cosθ = ，θ∈(, π)，得sinθ = cos(π-θ) = -cosθ = 五、常见易错点 表格 易错点 错误示例 正确做法 符号判断错误 sin(π-α) = -sinα 口诀：将α视为锐角，π-α在第二象限，sin为正，结果应为sinα 函数名改变混淆 cos(-α) = -sinα k=1为奇数，函数名改变；-α是第一象限，cos为正，结果应为sinα 忽视公式三中负号的位置 sin(-α) = sinα sin(-α) = -sinα，余弦不受影响：cos(-α) = cosα 未考虑tan定义域 求tan(+α)时直接代入公式 当α使cosα=0时，tan无意义 公式二、四中tan符号 误记tan(π+α) = -tanα tan(π+α) = tanα（因为sin和cos同时变号，比值不变） 六、规律总结 1. 六组公式的内在联系：公式一至六都可以通过单位圆上点的对称性推导，理解对称关系是记忆公式的关键。 2. 口诀要诀：“奇变偶不变，符号看象限”——先看k的奇偶性决定函数名是否改变，再以α为锐角判断原角所在象限的符号。 3. 化归思想：诱导公式的核心是“化归”——将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题，体现了数学中的化归思想。 4. 公式的选用顺序：先负后正（公式三），先大后小（公式一），再化钝为锐（公式二、四），最后根据情况用公式五、六。 5. 角的拼凑技巧：当遇到陌生的角时，尝试将其转化为已知角与π/2、π、3π/2、2π的和或差，利用诱导公式求解。 同步训练 一、单选题 1．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 8．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知，则的值是______. 12．若，则________. 四、解答题 13．（1）已知为第二象限角且，求，及的值； （2）若，求的值 14．已知角满足，且. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 诱导公式 知识点梳理 一、六组诱导公式的推导（基于单位圆） 1. 公式一（终边相同的角） 推导： 角α与角α+2kπ（k∈Z）的终边相同，因此它们与单位圆交点的坐标相同。 公式： · sin(α + 2kπ) = sinα（k∈Z） · cos(α + 2kπ) = cosα（k∈Z） · tan(α + 2kπ) = tanα（k∈Z） 作用： 将任意角三角函数转化为0~2π内的角。 2. 公式二（π+α） 推导： 如图，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角π+α的终边与单位圆交于点P′(-x,-y)。 公式： sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα tan(π + α) = tanα 推导图示：终边π+α：P′(-x,-y) ←关于原点对称→ 终边α：P(x,y) 3. 公式三（-α） 推导： 角-α的终边与角α的终边关于x轴对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角-α的终边与单位圆交于点P′(x,-y)。 公式： sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = -tanα 推导图示： 终边-α：P′(x,-y) ←关于x轴对称→ 终边α：P(x,y) 4. 公式四（π-α） 推导： 角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角π-α的终边与单位圆交于点P′(-x,y)。 公式： sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα tan(π - α) = -tanα 推导图示： 终边π-α：P′(-x,y) ←关于y轴对称→ 终边α：P(x,y) 5. 公式五（-α） 推导： 角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称。若角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角π/2-α的终边与单位圆交于点P′(y,x)。 公式： sin( - α) = cosα cos( - α) = sinα 推导图示： 终边(π/2-α)：P′(y,x) ←关于y=x对称→ 终边α：P(x,y) 6. 公式六（+α） 推导： 角+α的终边可由角α的终边逆时针旋转90°得到，即通过公式五中α→-α再结合公式三推导。 公式： sin( + α) = cosα cos( + α) = -sinα 二、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 1. 口诀含义 “奇变偶不变”：对于形如 k·± α（k∈Z）的角： 若k为奇数，则函数名改变（正弦⇌余弦，正切⇌余切） 若k为偶数，则函数名不变 “符号看象限”：将α视为锐角，判断原角所在的象限，根据原三角函数的符号确定结果的正负号。 2. 口诀应用示例 例1： sin(π+α) 公式化为 sin(2· + α)，k=2为偶数 → 函数名不变（仍为sin） 将α视为锐角，π+α是第三象限角，正弦在第三象限为负 → 结果为 -sinα ✓ 例2： cos(-α) 公式化为 cos(1· - α)，k=1为奇数 → 函数名改变（cos→sin） 将α视为锐角，-α是第一象限角，余弦在第一象限为正 → 结果为 sinα ✓ 例3： sin(+α) 公式化为 sin(1· + α)，k=1为奇数 → 函数名改变（sin→cos） 将α视为锐角，+α是第二象限角，正弦在第二象限为正 → 结果为 cosα ✓ 3. 各象限三角函数符号速查 象限 正弦 余弦 正切 一 + + + 二 + - - 三 - - + 四 - + - 三、诱导公式的作用 1. 化大角为小角 利用诱导公式，可以将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，基本步骤： 步骤一：化负角为正角（利用公式三） sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα 步骤二：化大角为小角（利用公式一） 将大于360°的角转化为0°~360°的角 步骤三：化钝角为锐角（利用公式二、四） 将90°~360°的角转化为0°~90°的角 流程示例： 求sin(-2100°)的值 第一步：sin(-2100°) = -sin(2100°) 第二步：2100° = 5×360°+300°，sin(2100°) = sin(300°) 第三步：sin(300°) = sin(360°-60°) = -sin(60°) = 结果：sin(-2100°) = -() = 2. 实现函数互化 公式五、六可以实现正弦与余弦的互化，常用于给值求值、角的拼凑等题型。 四、典型题型与解题方法 题型一：给角求值（化简） 利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数。 例1： 求值：sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°) 解： sin(-1200°) = -sin(1200°) 1200° = 3×360°+120°，sin(1200°) = sin(120°) = sin(180°-60°) = sin60° = 所以 sin(-1200°) = cos1290° = cos(1290°) 1290° = 3×360°+210°，cos(1290°) = cos(210°) = cos(180°+30°) = -cos30° = cos(-1020°) = cos(1020°) 1020° = 2×360°+300°，cos(1020°) = cos(300°) = cos(360°-60°) = cos60° = sin(-1050°) = -sin(1050°) 1050° = 2×360°+330°，sin(1050°) = sin(330°) = sin(360°-30°) = -sin30° = 所以 sin(-1050°) = -() = 原式 = ()×() + ()×() = + = 1 题型二：给值求值 已知某个角的三角函数值，求与之相关的角的三角函数值。 例2： 已知cos( - α) = ，求cos( + α) + sin( + α)的值。 解： cos( + α) = cos[π - ( - α)] = -cos( - α) = - sin( + α) = sin[ - ( - α)] = cos( - α) = 原式 = - + = 0 题型三：化简三角函数式 例3： 化简：cos(+α) + sin(π-α) - cos(π-α) - sin(-α) 解： cos(+α) = -sinα ， sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα ， sin(-α) = cosα 原式 = (-sinα) + sinα - (-cosα) - cosα = -sinα + sinα + cosα - cosα = 0 题型四：证明三角恒等式 例4： 证明：sin(π+α)·cos(π-α)·tan(π-α) = sin²α 证明： 左边 = sin(π+α)·cos(π-α)·tan(π-α) = (-sinα)·(-cosα)·(-tanα) = (-sinα)·(-cosα)·(-sinα/cosα) = sinα·cosα·(-sinα/cosα) = -sin²α 注意： 本题结果应为 -sin²α，若题目需证明等于 sin²α，则需检查符号或题目条件。 题型五：角的拼凑（利用互余互补关系） 特点： 利用公式五、六，将不同角度的三角函数值通过互余或互补关系进行转化。 常见关系： 与π/2-α互余：sinα = cos(π/2-α)，cosα = sin(π/2-α) α与π-α互补：sin(π-α) = sinα，cos(π-α) = -cosα 例5： 已知sin( + θ) = 3/5，且θ∈(, π)，求cos(π-θ)的值。 解： sin( + θ) = cosθ = 3/5 由cosθ = ，θ∈(, π)，得sinθ = cos(π-θ) = -cosθ = 五、常见易错点 表格 易错点 错误示例 正确做法 符号判断错误 sin(π-α) = -sinα 口诀：将α视为锐角，π-α在第二象限，sin为正，结果应为sinα 函数名改变混淆 cos(-α) = -sinα k=1为奇数，函数名改变；-α是第一象限，cos为正，结果应为sinα 忽视公式三中负号的位置 sin(-α) = sinα sin(-α) = -sinα，余弦不受影响：cos(-α) = cosα 未考虑tan定义域 求tan(+α)时直接代入公式 当α使cosα=0时，tan无意义 公式二、四中tan符号 误记tan(π+α) = -tanα tan(π+α) = tanα（因为sin和cos同时变号，比值不变） 六、规律总结 1. 六组公式的内在联系：公式一至六都可以通过单位圆上点的对称性推导，理解对称关系是记忆公式的关键。 2. 口诀要诀：“奇变偶不变，符号看象限”——先看k的奇偶性决定函数名是否改变，再以α为锐角判断原角所在象限的符号。 3. 化归思想：诱导公式的核心是“化归”——将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题，体现了数学中的化归思想。 4. 公式的选用顺序：先负后正（公式三），先大后小（公式一），再化钝为锐（公式二、四），最后根据情况用公式五、六。 5. 角的拼凑技巧：当遇到陌生的角时，尝试将其转化为已知角与π/2、π、3π/2、2π的和或差，利用诱导公式求解。 同步训练 一、单选题 1．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义以及诱导公式计算即可. 【详解】. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 3．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 5．已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， ． 7．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据化简可得，求出并代入到中求解即可． 【详解】由题意知， 所以，则，解得， 则． 故选：C． 8．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 二、多选题 9．若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角形内角和为及诱导公式即可逐项判断． 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 10．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可. 【详解】由三角函数定义可得，，， 对于A选项，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 三、填空题 11．已知，则的值是______. 【答案】 【详解】解：，则. 12．若，则________. 【答案】2 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】由， 得，即，故. 故答案为： 四、解答题 13．（1）已知为第二象限角且，求，及的值； （2）若，求的值 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）应用同角三角函数关系结合角的象限角判断正负，再应用诱导公式计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合角的范围计算求解. 【详解】（1）∵   ∴， ∵为第二象限角，∴， 故， 得到； （2）由题意得， ，， 又，则， 且 , 则，， 故. 14．已知角满足，且. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系式求出，进而求出结果. （2）根据诱导公式对所求式子进行化简，然后将值代入计算即可. 【详解】（1）因为角满足，所以， 因为，所以，解得. 因为，所以，那么. 所以. （2）因为，所以. 所以. 由（1）知，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $