第2章等式与不等式 单元检测·巩固篇-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第2章“等式与不等式”单元检测巩固篇，90分钟150分，覆盖等式与不等式核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现数学抽象、运算推理及模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|比较大小、不等式解集、二次函数单调性（如第5题）|基础全面，梯度设置（1-6题基础，7-12题提升）| |选择题|4/18|充分必要条件（13题）、二次函数图像性质（15题）|结合逻辑推理，考查概念辨析| |解答题|5/78|解不等式（17题）、含参不等式（20题）、恒成立与存在性（21题）|综合应用，分层递进，突出数学思维与问题解决能力|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第2章等式与不等式 单元检测·巩固篇（原卷版） 考试时间：90分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知 ，比较 与 的大小：__________。（填“”“”或“”） 2.（4分）已知 ，，则下列不等式一定成立的是__________。（填序号） ①  ②  ③  ④ 3.（4分）不等式 的解集为__________。 4.（4分）已知 ，则 的最小值为__________。 5.（4分）已知二次函数 ，若 在区间 上单调，则实数 的取值范围为__________。 6.（4分）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为__________。 7.（5分）已知不等式 的解集为 ，则 __________。 8.（5分）已知 ，且 ，则 的最小值为__________。 9.（5分）已知二次函数 ，，则 的最大值为__________，最小值为__________。 10.（5分）若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为__________。 11.（5分）二次函数 的图像开口向上，对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ，则不等式 的解集为__________。 12.（5分）已知不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为__________。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 ，，则 是 的（　　） A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件 14.（4分）已知 ，则 （　　） A. 有最小值   B. 有最大值   C. 有最小值   D. 无最小值 15.（5分）已知二次函数 的图像开口向下，与 轴交于 和 ，对称轴为 ，则下列说法正确的是（　　） A. ，，  B. ，，  C. ，，  D. ，， 16.（5分）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（　　） A.   B.   C.   D. 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 解下列不等式： （1）； （2）； （3）。 18.（14分） 已知 ，求下列函数的最小值： （1）（）； （2）（）。 19.（14分） 已知二次函数 。 （1）求函数 的对称轴和顶点坐标； （2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值。 20.（18分） 解关于 的不等式 ，其中 。 21.（18分） 已知二次函数 。 （1）求函数 在区间 上的最大值和最小值； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第2章等式与不等式 单元检测·巩固篇（解析版） 考试时间：90分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知 ，比较 与 的大小：__________。（填“”“”或“”） 答案： 解析： 。因为 ，所以 ，，，故 ，即 。 易错点提醒： 分式作差时需通分，注意判断分子分母符号。 2.（4分）已知 ，，则下列不等式一定成立的是__________。（填序号） ①  ②  ③  ④ 答案： ①③④ 解析： ①正确，不等式两边同加一个数，不等号方向不变；②错误，，两边同乘 后不等号方向改变，应为 ；③正确，，两边同除 后不等号方向改变，；④正确，。 易错点提醒： 不等式两边同乘（除）一个负数时，不等号方向必须改变。 3.（4分）不等式 的解集为__________。 答案： 解析： 分式不等式 等价于 且 ，解得 。 易错点提醒： 分母不为零，解集需排除 。 4.（4分）已知 ，则 的最小值为__________。 答案： 3 解析： ，当且仅当 ，即 时取等号。 易错点提醒： 配凑法使用基本不等式时，需将 改写为 。 5.（4分）已知二次函数 ，若 在区间 上单调，则实数 的取值范围为__________。 答案： 或 解析： ，对称轴为 。在 上单调，需 或 。 易错点提醒： 二次函数单调性与对称轴和区间端点位置有关。 6.（4分）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 二次函数 对任意实数 恒成立，需判别式 ，即 ，解得 。 易错点提醒： “”恒成立对应判别式 ，与“”恒成立对应 不同。 7.（5分）已知不等式 的解集为 ，则 __________。 答案： 解析： 解集为 ，说明方程 的两根为 和 。由韦达定理：，，故 。 易错点提醒： 韦达定理中两根之和 ，注意符号。 8.（5分）已知 ，且 ，则 的最小值为__________。 答案： 9 解析： 已知 ， 当且仅当 ，即 时取等号。 易错点提醒： “乘1法”配凑基本不等式，注意等号成立条件需同时满足两个方程。 9.（5分）已知二次函数 ，，则 的最大值为__________，最小值为__________。 答案： 最大值为6，最小值为2 解析： ，对称轴 。最小值为 ，最大值为 。 易错点提醒： 闭区间最值需比较端点值与顶点值。 10.（5分）若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 存在 使 ，即 。令 ， 的最小值为 -1，所以存在 使不等式成立需 。 易错点提醒： “存在性”与“恒成立”方向相反：存在成立取最小值，恒成立取最大值。 11.（5分）二次函数 的图像开口向上，对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ，则不等式 的解集为__________。 答案： 解析： 开口向上，对称轴 ，与 轴的一个交点为 ，由对称性可知另一个交点为 。小于0取两根之间，故解集为 。 易错点提醒： 利用对称性求另一个交点坐标。 12.（5分）已知不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 不等式对任意实数恒成立。当 时，不等式为 ，不恒成立；当 时，开口向上，不可能恒小于0；当 时，需判别式 ，解得 或 ，结合前提，最终实数a取值范围为。 易错点提醒： 含参二次不等式恒成立需分类讨论二次项系数符号和判别式。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 ，，则 是 的（　　） A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件 答案： C 解析： ，故 ，为充要条件。 易错点提醒： 注意解不等式得到解集后与 完全一致。 14.（4分）已知 ，则 （　　） A. 有最小值   B. 有最大值   C. 有最小值   D. 无最小值 答案： A 解析： 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故有最小值 。 易错点提醒： 基本不等式求最小值需验证等号成立条件。 15.（5分）已知二次函数 的图像开口向下，与 轴交于 和 ，对称轴为 ，则下列说法正确的是（　　） A. ，，  B. ，，  C. ，，  D. ，， 答案： D 解析： 开口向下 。与 轴交点 。对称轴 ，且 ，故 。选D。 易错点提醒： 由对称轴位置和开口方向共同判断 的符号。 16.（5分）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： A 解析： 对任意实数恒成立，需判别式 ，即 ，解得 。 易错点提醒： “”恒成立对应判别式 。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 解下列不等式： （1）； （2）； （3）。 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1），解得 ，解集为 .........（4分） （2） 等价于 且 ，解得 ，解集为 .........（5分） （3），移项得 ，即 ，，等价于 且 ，解得 ，解集为 .........（5分） 易错点提醒： 分式不等式需先移项通分，再化乘积求解，注意分母不为零。 18.（14分） 已知 ，求下列函数的最小值： （1）（）； （2）（）。 答案： （1）6；（2）5。 解析： （1），当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为6 .........（7分） （2），当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为5 .........（7分） 易错点提醒： 配凑法使两项乘积为定值，注意常数项的处理。 19.（14分） 已知二次函数 。 （1）求函数 的对称轴和顶点坐标； （2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值。 答案： （1）对称轴 ，顶点 ；（2）。 解析： （1），对称轴为 ，顶点坐标为 .........（5分） （2）分情况讨论： ① 当 时， 在 上单调递增，最小值为 ，不符合 .........（3分） ② 当 时，最小值为 ，解得 ，即 或 ；结合 ，仅 符合条件 .........（3分） ③ 当 时， 在 上单调递减，最小值为 ，解得 ，不符合 ，舍去 .........（3分） 综上：。 易错点提醒： 含参二次函数最值需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论。 20.（18分） 解关于 的不等式 ，其中 。 答案： 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 。 解析： 因式分解 ，对应方程两根为 、 .........（4分） 分情况讨论： ① 当 时，，解集为 .........（5分） ② 当 时，，解集为 .........（4分） ③ 当 时，，解集为 .........（5分） 易错点提醒： 含参二次不等式需比较两根大小，分类讨论 与1的关系。 21.（18分） 已知二次函数 。 （1）求函数 在区间 上的最大值和最小值； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围。 答案： （1）最大值为6，最小值为2；（2）；（3）。 解析： （1），对称轴 。最小值为 .........（4分） 最大值为 .........（4分） （2） 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，需 的最大值，故 .........（5分） （3）存在 ，使 ，即 有解，需 的最小值，故 .........（5分） 易错点提醒： “恒成立”取最大值，“存在性”取最小值，两者方向相反。 学科网（北京）股份有限公司 $