第5章 函数的概念、性质及其应用（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

第5章 函数的概念、性质及其应用（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    【答案】4 【分析】首先由图读出，再结合函数的对应关系表，即可得解． 【详解】由图可知，所以． 故答案为：4. 2．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的运算性质，求解函数解析式； 【详解】由②可知为上的递减函数，且满足①， 故的一个解析式为． 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 【答案】40 【分析】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用均值不等式，即可求得和此时的值． 【详解】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则，当且仅当时，等号成立， 即当每批生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元． 故答案为：40 4．已知函数的图象过点，则在区间上的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用函数性质求参数，再利用函数单调性求最值. 【详解】由题意得，解得，则， 因为在上恒为正值且单调递增， 所以在上单调递增，故． 故答案为： 5．设，函数满足，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】利用已知条件重新构造一个方程联立方程组解出即可. 【详解】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 故答案为：. 6．已知函数是定义在的奇函数，且，若，时，有.在上为单调递 函数（填“增”或“减”）. 【答案】增 【分析】由奇函数性质、单调性定义求解即可. 【详解】取且，则 又为奇函数，于是 由已知， 即 在上是增函数. 故答案为：增. 7．已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是 【答案】 【分析】由奇函数的性质可得，可求得，再结合题意分别验证即可求解. 【详解】由为奇函数，所以可得， 则 ， 即， 化简整理得， 所以得，即， 当时，为常函数， 此时既是奇函数又是偶函数，故不符合题意， 当时，， 由对数函数的定义域得且， 解得，关于原点对称，经检验符合题意. 综上所述：故实数的值为. 故答案为：. 8．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则方程的所有实数根之和为 . 【答案】 【分析】根据题意将函数零点求出即可. 【详解】令，即， 因为， 所以，解得， 当时，满足题意， 当时，即，解得或（舍）， 当时，，解得， 故方程实数根之和为， 故答案为：. 9．已知，，则 ． 【答案】0或2 【分析】先令，由范围求得的范围，然后得到新函数，结合的范围和绝对值的几何意义，即得的值． 【详解】令，，则， ，（这里是为主元）， 由绝对值的几何意义，即得或2． 故答案为：0或2. 10．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 11．已知函数，如果关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，易知是方程的解，从而将问题转化成方程有个解，令，利用的图象知，进而将问题转化成在上有两个解，即可求解. 【详解】由，即，显然满足方程， 当时，得到，由题知方程有个解， 令，的图象可由向左平移个单位得到，其图象如图， 又方程有个解，即与要有个交点，由图知， 又由图易知，当时，有1个解，则当时，应有2个解， 即在上有两个解，令，对称轴为， 所以，解得或，又，所以， 故答案为：. 12．已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】目标函数内外两层是不同的解析式，可以分层化归为已知函数来求解. 【详解】令，则恰有个零点， 等价于有三个不同的解，，， 且对应有个实数根， 由函数的图象，如图， 所以，， 要满足有个实数根，则需 即，解得． 故m的取值范围为． 故答案为：． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 14．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 15．若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上， 即，求得x1+x2=5， 故选：D. 16．已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时的函数解析式以及奇函数的性质作出函数图象，得到有5个零点，其中4个零点之和为0，利用解出最后一个零点的值，并得到所有零点之和. 【详解】当时， 即时，， 时，， 时，， 画出时的图象，再结合奇函数关于原点对称，画出时的图象， 则直线与的图象有5个交点，即有5个零点，设为， 易得，，， ，则， 因为，， 所以， 即，，， 综上，所有零点之和. 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，，根据已知关系式得，再代入已知解析式即可得； （2）根据已知关系式得函数的周期为4，由时，利用周期性得，再由即可得. 【详解】（1）由于，则，即， 当时，，则； （2）由，得，则，即函数周期， 当时，， 则， 因为，所以； 18．已知函数，且是满足的最大正整数。 (1)判定的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并用定义证明。 【答案】(1)是偶函数。 (2)在上单调递增，证明见解析。 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出定义域关于原点对称，判断和的关系即可判断； （2）根据单调性的定义，设，判断的符号，即可判断函数的单调性。 【详解】（1）由得，即， 满足上述不等式的最大正整数为2，所以，故且， 则有，所以是偶函数。 （2）在上单调递增。 证明如下： 由已知设，则. 又， 即，所以在上单调递增。 19．给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【详解】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 20．设函数（且），是定义域为上的奇函数． (1)求的值，并证明当时，函数是上的增函数； (2)已知，函数，，求的值域； (3)若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用可求得，代回验证可知满足题意，进而利用函数单调性的定义证明单调性； （2）由可求得，令，利用二次函数性质可求得结果； （3）假设存在满足条件的正整数，将不等式化为，进而分情况讨论求解即可. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，即， 此时，则， 则为奇函数，满足题意，则； ，且， 则， ，，，在上为增函数． （2），，即， 或（舍去）， ． 令，由（1）知在上为增函数，， ， 当时，有最大值；当时，有最小值， 的值域为． （3）当时，， 则， 假设存在满足条件的正整数，则， ①当时，不等式恒成立，． ②当时，，则，令， 则，而在上是增函数，． ③当时，，则，令， 则，而在上是减函数，． 综上所述，且不成立，所以不存在． 21．已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 【答案】(1)在上是奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先利用赋值法判断，再利用赋值法得，进而利用奇函数的概念证明即可． （2）结合抽象函数的运算，利用单调性的定义按照步骤证明即可． （3），然后求和得，由得，即可证明． 【详解】（1）函数的定义域为，令，得． 令，得，即， 所以在上是奇函数． （2）设，则， 由，得． 因为当时，所以， 即，从而在上单调递减． （3） ， 故 ， 又且，故， 从而． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及其应用（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    2．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 4．已知函数的图象过点，则在区间上的最大值为 ． 5．设，函数满足，函数的解析式为 . 6．已知函数是定义在的奇函数，且，若，时，有.在上为单调递 函数（填“增”或“减”）. 7．已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是 8．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则方程的所有实数根之和为 . 9．已知，，则 ． 10．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 11．已知函数，如果关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 12．已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 14．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 18．已知函数，且是满足的最大正整数。 (1)判定的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并用定义证明。 19．给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 20．设函数（且），是定义域为上的奇函数． (1)求的值，并证明当时，函数是上的增函数； (2)已知，函数，，求的值域； (3)若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由． 21．已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $