2.1 第1课时 圆的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，系统涵盖定义、推导、求法及点与圆的位置关系。以“小时不识月”诗句导入，从圆的定义出发，通过两点间距离公式推导方程，结合例题、母题探究巩固待定系数法与几何法，再延伸至实际应用，构建递进式学习支架。 其亮点在于情境化导入激发兴趣，母题探究培养创新思维，表格对比位置关系清晰直观。通过月亮、拱桥等实例引导学生用数学眼光观察世界，变式训练发展数学思维，规范方程与表格呈现体现数学语言严谨。学生能提升知识应用能力，教师可借分层训练提高教学效率。

第2章 圆与方程 2.1 圆的方程 1 第1课时 圆的标准方程 2 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,在文学作品中有大量描写:小时不识 月,呼作白玉盘.又疑瑶台镜,飞在青云端 ，如果把天空看作一个平面, 月亮当作一个圆,那么我们如何确定该圆的方程呢? 返回导航 新课导入 3 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用直接法和待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 圆的标准方程 思考1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的 关系？ 提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心， 定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径 确定圆的大小. 返回导航 7 思考2 已知圆心为，半径为，设圆上任一点，你能得到, 的关系吗？ 提示 ，由两点间的距离公式，得 ，两 边平方，得 . 返回导航 8 ［知识梳理］ 定长 圆心 半径 返回导航 9 ［例1］ 求经过点和坐标原点，并且圆心在直线 上的圆的标准方程. 【解】 方法一（待定系数法） 设圆的标准方程为 ， 则有 解得所以圆的标准方程是 . 返回导航 10 方法二（几何法）由题意，是圆的弦，的中点坐标为, ，且 ，即的垂直平分线为，即 ，弦 的垂直平分线过圆心，由得 即圆心坐标为 ，半径 . 所以圆的标准方程是 . 返回导航 11 母题探究 求经过点和坐标原点 且周长最小的圆的标准方程. 解：当线段为圆的直径时，过点， 的圆的半径最小，从而周长最小， 即所求圆以线段的中点,为圆心， 为半径， 故所求圆的标准方程为 . 返回导航 12 求圆的标准方程的方法 （1）待定系数法 （2）几何法：求圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐 标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必 过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）（2025·武汉期中）已知圆 的圆心在直线 上，且过点，，则圆 的方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题知,且的中点坐标为，故线段 的 中垂线方程为，故圆心在直线 上，与 联立，可得圆心为 ，所以半径为 ，故圆的方程为 . √ 返回导航 14 （2）已知圆的圆心为 ，该圆的一条直径的两个端点恰好在两坐标 轴上，则这个圆的方程是( ) A. B. C. D. 解析：选A.设直径的两个端点分别为,，圆心为 ,由 中点坐标公式，得,，解得, .所以半径 ，所以圆的方程是 .故选A. √ 返回导航 15 二 点与圆的位置关系 思考 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示 分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆 的半径相比较判断位置. 返回导航 16 ［知识梳理］ 已知圆，圆心为 ，点 ，设 . 位置关系 与 的大小 图示 点 的坐标的特点 点在圆外 ①___ _____________________________ ②___ 返回导航 17 位置关系 与 的大小 图示 点 的坐标的特点 点在圆上 _____________________________ ③___ 点在圆内 ④___ _____________________________ ⑤___ = 续表 返回导航 18 ［例2］ 已知两点和，求以线段 为直径的圆的标准 方程，并判断点，, 是在圆上、在圆内、还是在圆外. 返回导航 19 【解】 由题可知圆心坐标为，圆的半径 ， 所以圆的标准方程为 . 分别计算点，，到圆心 的距离： , , , 所以点在圆外，点在圆上，点 在圆内. 返回导航 判断点与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并 作出判断. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ （1）（多选）已知圆 ，则下 列点在圆 内的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于A，因为，所以点 在圆上， 所以A不符合题意；对于B，因为 ，所以点 在圆内，所以B符合题意；对于C，因为 ， 所以点 在圆内，所以C符合题意；对于D，因为 ，所以点 在圆外，所以D不符合题意. √ √ 返回导航 22 （2）已知点在圆的外部，则实数 的取值范 围为___________________. 解析：由题意得，即，可得 或 . 所以实数的取值范围为 . 返回导航 23 三 圆的标准方程的实际应用 ［例3］ （对接教材例2）已知某河上有一座跨度为 的圆形拱桥，其圆拱高为 ，一艘载有货物的 船宽为，水面到船顶高为 ,问该船能否顺利通 过该桥？ 【解】 以圆形拱桥与水面的交线所在的直线为 轴，过圆拱最高点且垂直 于水面的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设圆拱所在圆的圆心坐标为,半径为 , 则圆的标准方程为 . 返回导航 24 分别将点， 代入上式， 得解得 所以圆的标准方程为 . 因为船宽为,水面到船顶高为 , 所以判断该船能否通过该桥，即判断点 与圆的位置关系. 因为 , 所以点 在圆内，故该船能顺利通过该桥. 返回导航 25 解决圆的实际应用题的步骤 返回导航 26 ［跟踪训练3］ 某圆拱桥的拱高为，现有宽 ，水面以上的高度为 的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位： ）在下列 哪个区间内( ) A. B. C. D. √ 返回导航 27 解析：选B.由题意，建立平面直角坐标系如图所示，则 ，，，，，其中 为圆拱所在圆的圆心. 设圆拱所在的圆的方程为 ，则 解得， ，则圆形拱 桥的水面跨度为 . 返回导航 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.在平面直角坐标系中，圆心为 ，半径为2的圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.圆心为 ，半径为2的圆的标准方程为 . √ 返回导航 30 2.（多选）已知圆的标准方程为 ，则下列说法 正确的是( ) A.圆的圆心为 B.点 在圆内 C.圆的半径为5 D.点 在圆内 解析：选.圆的圆心为 ，半径为5， A，C正确；由，得点 在圆内，B正确； 由，得点 在圆外，D错误. √ √ √ 返回导航 31 3.若点不在圆的外部，则实数 的取值范 围为______. 解析：由题意得，且 ，化简得 ，解得 . 返回导航 32 4.已知三点，,,以 为圆心作一个圆，使得 ，， 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个 圆的方程. 解：由题设知，，， ，所以 ，要使，， 三点中的一个点在圆内，一个点在圆 上，一个点在圆外，则圆以 为半径，故圆的方程为 . 返回导航 33 1.已学习：（1）圆的标准方程 . （2）点与圆的位置关系. （3）圆的实际应用. 2.须贯通：（1）求圆的标准方程的方法. （2）判断点与圆的位置关系的方法. 3.应注意：求圆的标准方程时易漏解. 返回导航 34 $