4.5.1 等腰三角形 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），通过建筑测平实例导入，联系一般三角形性质，引导学生从旧知过渡，经动手操作和全等证明构建知识支架。 其亮点是用数学眼光观察现实（建筑测平），数学思维推理（折叠探究、全等证性质判定），数学语言规范表达（证明格式）。采用探究式教学，小结明确注意事项，助学生发展推理能力与应用意识，教师可借实例提升教学效率。

新湘教版八年级上册数学 第4章 三角形 4.5.1 等腰三角形 学习目标 1.通过动手操作，理解等腰三角形的对称性，掌握等腰三角形的性质及判定定理。 2.感受等腰三角形的对称美，发展形象思维。 3.能运用等腰三角形的性质定理及判定定理解决一些实际问题. 任务导入 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁 上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三 角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 等腰三角形作为一种特殊三角形，除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊性质呢？ 探索展示 在等腰△ABC 中，已知AB = AC，AD是△ABC的中线，则∠B =∠C吗？∠BAD = ∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？ A B C D 解:如图，由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线， 则BD=CD 在△ABD 和△ACD 中 AB = AC BD =CD AD = AD ∴△ABD≌△ACD (SSS) 从而 ∠B =∠C，∠BAD =∠CAD，∠ADB =∠ADC=90O 即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. 探索展示 A B C D 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等(简称 “等边对等角”)，底边上的高线、 中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 你能找出等腰三角形的对称轴吗？ 等腰三角形的对称轴就是底边上的 高线、中线及顶角平分线所在的直线. 应用提升 例1 如图,在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点,点E在AC上， 且BE = BC = AE. (1)求证：ED ⊥ AB； (2)求△ABC各角的度数. A B C D E 1 2 ∵BE = AE，D为AB的中点 (1)证： ∴ED是等腰△EAB的边AB上的中线 从而ED ⊥ AB(三线合一) 应用提升 例1 如图,在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点,点E在AC上， 且BE = BC = AE. (1)求证：ED ⊥ AB； (2)求△ABC各角的度数. A B C D E 1 2 (2)解： ∵AB = AC，BE = BC = AE ∴∠ABC = ∠C =∠1，∠A =∠2(等边对等角) 于是∠1 =∠A + ∠2 =2∠A 从而∠ABC = ∠C =∠1 =2∠A 又∵∠A + ∠ABC +∠C = 180° ∴∠A + 2∠A + 2∠A = 180° 从而 ∠A = 36° ∴∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 应用提升 如图所示的三角测平架中，AB = AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上. (1)AD与BC是否垂直？试说明理由. (2)这时BC处于水平位置，为什么？ A B C D (1)∵AB = AC，D是BC中点 ∴ AD ⊥ BC(三线合一) (2)∵ AD ⊥水平地面 ∴ BC∥水平地面 即BC处于水平位置 应用提升 课堂练习 1.如图,在△ABC中，AB = AC，AD为BC边上的高,∠BAC = 49°，BC = 4，求∠BAD的度数及DC的长. A B C D 解：∵AB=AC, AD为BC边上的高 ∴∠B=∠C,BD=CD,∠BAD=∠CAD 又∵∠BAC=49°，BC=4 ∴∠BAD=24.5°，DC=2 应用提升 课堂练习 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=30°.求∠B和∠C的度数. A B D C 解：∵AB=AD ∴∠B=∠ADB 又∵∠B+∠ADB+∠BAD=180° ∴ ∠B= ∵AD=DC ∴∠C=∠DAC 又∵∠ADB=∠B=75°，且∠ADB=∠C+∠DAC ∴ ∠C= 探索展示 根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形. 除此之外，还有其他判定方法吗？ 任意画∠EBC,在线段BC的同侧,以C为顶点作∠FCB,使 ∠FCB = ∠EBC,BE与CF交于点A，得到△ABC，如图所示. 用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么？ B C E F A 可以发现AB=AC，从而△ABC是等腰三角形. 下面对探究得出的结论进行证明. 探索展示 D A B C 如图，在△ABC中，∠B = ∠C 以过点A的一条直线为折痕对折，使得射线AC与射线AB 重合，折痕与BC的交点记作D，则AD为∠BAC的平分线. 在△ABD 和△ACD 中 ∠B=∠C ∠BAD=∠CAD AD=∠AD ∴△ABD≌△ACD(AAS) 从而 AB = AC 因此△ABC是等腰三角形 探索展示 等腰三角形的判定定理： A B C 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”） ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： 应用提升 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，D，E分别是AB， AC 上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. A B C D E 证：∵AB = AC ∴∠B = ∠C(等边对等角) 又∵DE ∥ BC ∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C 从而∠ADE = ∠AED ∴△ADE为等腰三角形(等角对等边) 应用提升 已知:如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC. 求证:AB=AC. 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边， 那么这个三角形是等腰三角形. A B C E 1 2 D 证：∵AD// BC ∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等) ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1=∠2 ∴∠B=∠C 从而AB=AC(等角对等边) 应用提升 课堂练习 3.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并找出图中所有的等腰三角形. A B C D 1 2 解：∵∠DBC=36°，∠C = 72°,∠1+∠C+∠DBC=180° ∴∠1=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72° 又∵∠1=∠2+ ∠A, ∠A=36° ∴ ∠2= ∠1-∠A=72°-36°=36° ∵ ∠ABC= ∠2+ ∠DBC = 72°,∠C = 72° ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形 ∵∠2=36°，∠A=36°,∴AD=BD，△ABD是等腰三角形 ∵∠1 = 72°,∠C=72°,∴BD =BC，△BCD是等腰三角形 应用提升 课堂练习 4.等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. A B C D E O 证：如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O 在等腰三角形ABC中 ∠ABC=∠ACB ∴∠DBC=∠ECB 从而△OBC为等腰三角形 课堂小结 导图复盘 等腰三角形 ├─性质 │ ├─等边对等角 │ │ 注意是指同一个三角形中 │ └─三线合一 │ 注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质。 │ 而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质。 └─判定 └─等角对等边 注意是指同一个三角形中 当堂检测 1. 等腰三角形的两边长分别为5cm，11cm，它的周长 是（ ） A. 21cm B. 22cm C. 27cm D. 21cm或27cm 下 课 $