4.6 线段的垂直平分线 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

4.6 线段的垂直平分线（第一课时） 第4章 三角形 湘教版数学 八年级上册 祁阳市文明铺镇中心学校 黄远铃 在习主席的领导下，祁阳市的经济和文化发展日新月异。市政府计划在今年的中秋节举办一个中秋文化展览活动，为了公平起见，要求展览地址离南部的八宝镇和北部的龚家坪镇距离相等。 生活中的实际问题 试问地址应定在何处？ 活动一 动手折纸,感知定义 结论： 1.垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 2.线段是轴对称图形,对称轴是它的垂直平分线。 AC=BC PC⊥AB 90 量一量 AC= ( ),BC=( ) 结论 ∠PCA=( )° , ∠PCB=( )° 90 报告一 活动二 动手测量,得出性质 结论 报告二 量一量 AP1= ( )， BP1 =( ) 结论： 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 AP2= ( )， BP2 =( ) AP1= BP1 AP2= BP2 数学画板测量验证 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言： ∵点P在AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. 垂直平分线 → 线段相等 得出性质 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D ，交AB于点E，连接AD.如果AD =3, CD=1，那么BC的长是 （ ） A A. 4 B. 4.5 C. 5 D.6 小试牛刀 我们已经知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，若有PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上吗？ P A B 活动三 升华性质，探索逆定理 已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. C 证明：如图，作PC⊥AB于点C, ∵PA=PB,∴△ABP是等腰三角形. ∴AC=BC(三线合一） ∴PC是线段AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 几何语言： ∵PA=PB， ∴点P在AB的垂直平分线上. 线段相等 → 点在垂直平分线上 性质定理的逆定理 已知：如图，在△ABC中，AB、BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理，OB= OC,∴ OA=OC. ∴点O在AC的垂直平分线上. 典例精析 1.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P为直线l上一点，下列说法不正确的是（ ） PO=AO AO=BO 点A、B关于直线l对称 PA=PB O A 当堂检测 2. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB ，BC于点D、E，∠B=30°,∠BAC=80°,求∠CAE的度数。 解:∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE，∵∠B=30°, ∴∠BAE=30°(等边对等角) ∴∠CAE=∠BAC-∠BAE =80°- 30° =50° 30° 3. 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，CD=3cm，△ABE的周长为13cm，求△ABC的周长. 解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE,AD=CD=3cm， 即AC=6cm. ∵AB+BE+AE=13cm, ∴AB+BE+CE=13cm, ∴AB+BC=13cm， ∴AB+BC+AC=19cm. 即△ABC的周长为19cm. 古希腊有一位数学家，名叫海伦。一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，再回到B地，如何确定饮马的地点P，使得路程最短呢？ 拓展应用 在直线MN上作一点P,求AP+BP最短的最短路径. A1 P P 两定一动求最短：作出对称点，通过对称化折为直。 将军饮马 A B M N M N A B A1 B1 市政府计划在今年的中秋节举办一个中秋文化展览活动，为了公平起见，要求展览地址离南部的八宝镇和北部的龚家坪镇距离相等。试问地址应定在何处？ 解决实际问题 解决实际问题 中秋节起源于汉代，最初是庆祝丰收和祭拜月神的节日，后来成为了家庭团聚的重要日子。在这天，人们会祭月、吃月饼、赏月、饮桂花酒等。 中秋节的由来 垂直且平分一 条线段的直线 线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上 课堂小结 基础作业：教材第142页 第1、2题 提升作业：教材第142页 第3、4题 课后作业 Lavf57.62.100 null 16587.666 $