4.5.1等腰三角形的性质与判定（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.5.1等腰三角形的性质与判定 （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用等边对等角求解 题型二 利用等边对等角进行证明 题型三 利用三线合一求解 题型四 利用三线合一证明 题型五 格点中画等腰三角形 题型六 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形 题型七 利用等角对等边证明等腰三角形 题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等 能力提升题 题型一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数 题型二 等腰三角形的判定与性质的综合运用 题型一 利用等边对等角求解 1．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（    ） A． B． C． D．或 2．等腰三角形中的顶角是，则另两个内角的度数分别为（   ） A． B． C． D．或 3．在一个等腰三角形中，其中一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点 M、N 在上，且，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，中，是上一点，，，则等于多少度． 8.在中，． 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．点落在上，连接．若，求的度数． 题型二 利用等边对等角进行证明 9.如图，等腰中，线段把分成了等腰和等腰，且，. (1)求证：； (2)求的大小. 10.已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证： (1)； (2)． 11．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 题型三 利用三线合一求解 13．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 14．下列描述等腰三角形的对称轴正确的是（    ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边的垂直平分线 15．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 16．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 17．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．如图，在中，，且．求的度数． 20．如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分．求的度数； 题型四 利用三线合一证明 21．如图，，，，点是边的中点． 求证： (1)； (2)． 22．如图，在中，， 为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 23．如图，在等边中，交于C，交于B，延长到E，使得，过作于F． (1)求证：； (2)连接，求证：． 题型五 格点中画等腰三角形 24．如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 25．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，且． (1)边上的高的长为_______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的角平分线，简要说明是如何找到的（不要求证明）． 26．如图，A、B、C、D、E 为正方形网格中的“格点”（格线的交点）． （1）以 A、B、C、D、E 这 5 个点中的 3 个点为顶点画三角形，一共可以画 个，其中等腰三角形有 个； （2）请画出△ABD先向右平移4格，再向下平移2格所得的△A′B′D′； （3）请直接写出（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形： ． 27．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 28．已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 29．若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线． （1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE． ①求∠B和∠C的关系式． ②求∠BAC的取值范围． 题型六 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形 30．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 31．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 32．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型七 利用等角对等边证明等腰三角形 33．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 34．在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 35．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 36．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，且点在的延长线上，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．是等腰三角形 C． D． 37．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 38．如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等 39．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 40．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 41．如图,中，角平分线交于交于E，若，  ，则等于(    ) A． B． C． D． 42．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 43．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 44．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 45．如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 46．如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 47．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 48．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 49．如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 50．如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 51．如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点处．小明在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即）；小华在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即），已知小华在小明的正东方向距离处，求小华与“藏宝地”之间的距离（即的长）． ． 题型一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数 52．如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 53．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 54．如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 55.题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 题型二 等腰三角形的判定与性质的综合运用 56．中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，，，求的长． 58．如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 59．如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 60．如图，在中，是的平分线，点在上，且，过点作的平行线，交的延长线于点，于点．请你用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 61．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 62．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 63．如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)当时，求证：平分． 64．综合实践：按照要求测量木料之间的距离． ．木料特征：如图①是一块木料，其中两边和相互平行． ．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边和之间的垂直距离． ．测量工具：如图②是一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）． ．测量方法及求解过程． (1)小清完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下： 步骤一：在边上取点，在边上取点； 步骤二：连接，； 步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点，与交于点； 步骤四：测得，； 求解过程如下：过点作交于点，交边于点，则， 和相互平行， ， ①_____， 设， ，即②_____+③_____， 这块木料上平行边和之间的垂直距离④_____， 请补充小清同学求解过程中①②③④所缺的内容（用含的代数式表示）； (2)小庄也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离的方案，请你在图④中帮助小庄同学画出测量方案，并写出测量步骤及求解过程． 要求：测量得到的长度用字母，，…表示（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案）． 64．在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 65．实验与探究： 材料：如图1，在中，如果，可以作，交于D， 则．（依据1） ∵（依据2）， ∴． 这说明，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长． 任务一：上述材料中，依据1与依据2分别是什么？ 依据1：______； 依据2：______． 任务二：逆向思考：如图2，在中，，那么它们所对的角大小关系是什么？并给予证明． 任务三：如图3，在中，，平分，O为上一点，连接．若，试利用材料中的知识，比较与的大小关系，并说明理由． 66．（1）如图1，是边上的一点．若，，求的值； （2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：； （3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到，分别交、于点、点，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1等腰三角形的性质与判定 （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用等边对等角求解 题型二 利用等边对等角进行证明 题型三 利用三线合一求解 题型四 利用三线合一证明 题型五 格点中画等腰三角形 题型六 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形 题型七 利用等角对等边证明等腰三角形 题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等 能力提升题 题型一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数 题型二 等腰三角形的判定与性质的综合运用 题型一 利用等边对等角求解 1．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形中两底角相等是解题的关键． 根据等腰三角形中两底角相等，结合三角形内角和即可得到顶角． 【详解】解：因为等腰三角形的一个底角为， 所以另一个底角也为， 则顶角为． 故选：C． 2．等腰三角形中的顶角是，则另两个内角的度数分别为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，正确掌握相关知识是解题的关键．理解等腰三角形的底角相等，结合顶角是以及三角形内角和定理，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，等腰三角形的底角相等， ∵等腰三角形中的顶角是， ∴底角度数为， 即另两个内角的度数分别为， 故选：B 3．在一个等腰三角形中，其中一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分度数为的角为底角和顶角两种情况，结合等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为分类讨论求解即可． 【详解】解：当度数为的角为底角时，则顶角的度数为， 当度数为的角为顶角时，则顶角的度数为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 4．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【详解】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：C． 5．如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与外角性质，由等边对等角得到，，再由三角形外角得到，结合，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，点 M、N 在上，且，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解方程组，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解方程组，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 设， 则，． 又∵， ，，， 则． 故， 解得． 故选：B． 7．如图，中，是上一点，，，则等于多少度． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角性质，根据等边对等角得到的度数，再根据三角形外角性质以及等边对等角得到的度数，最后利用即可求出． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 8.在中，． 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．点落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出，，是等腰三角形，进而求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型二 利用等边对等角进行证明 9.如图，等腰中，线段把分成了等腰和等腰，且，. (1)求证：； (2)求的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，，结合三角形的外角性质得出，即可证明； （2）等量代换得出，根据三角形内角和定理，即可求出的度数，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 即． （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10.已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由等边三角形的性质可得，， 由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质得到，即得，据此即可求证； （）由等边三角形的性质可得，进而得到，据此即可求证； 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 11．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 12．在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到点F，使，连接，则，而，，即可根据“”证明，则，而，由，然后可求解； （2）延长到点H，使，连接，则，而，所以，，可证明，得，，再证明，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，延长到点F，使，连接，则， ∵是的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2）证明：如图2，延长到点H，使，连接，则， ∵是的中线，是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型三 利用三线合一求解 13．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 【答案】（1）；等边对等角；（2）；三线合一 ；（3）；三线合一；（4）；三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，利用三线合一和等边对等角逐题完善几何语言，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵中，， ∴（等边对等角）； （2）∵中，，， ∴垂直平分（三线合一）； （3）∵中，，， ∴（三线合一）； （4）∵中，，， ∴（三线合一）； 故答案为： ；等边对等角；；三线合一 ；；三线合一；；三线合一． 14．下列描述等腰三角形的对称轴正确的是（    ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的轴对称性，根据等腰三角形的性质和图形的对称轴是直线解答即可． 【详解】解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴， 选项A、B、C中底边上的中线，顶角平分线，底边上的高都是线段，故不符合题意； 选项D中，底边的垂直平分线是一条直线，符合题意． 故选：D． 15．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的作法及性质，理解题意是解题关键． 根据作图方法结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一， 故选：A． 16．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，掌握这些性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质去判断即可． 【详解】解：在中，，D是中点， 则，，平分，， 而不一定成立， 即选项A、B、C都正确，不符合题意，选项D不正确，符合题意． 故选：D． 17．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的中线， ∴平分， ∵是上的高，， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 19．如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分．求的度数； 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，利用折叠的性质和外角的性质，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵将边对折，折痕为， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 题型四 利用三线合一证明 21．如图，，，，点是边的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形三线合一的性质； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ； （2）由（1）可知，， ， 点是边的中点， ． 22．如图，在中，， 为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)的度数的度数为． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得，，可证，从而可得与的位置关系； （2）根据三角形的内角和定理计算即可得的度数． 【详解】（1）解：， 理由：∵， 为中点， ∴，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∵， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定定理和性质定理． 23．如图，在等边中，交于C，交于B，延长到E，使得，过作于F． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后求出； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型五 格点中画等腰三角形 24．如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 25．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，且． (1)边上的高的长为_______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的角平分线，简要说明是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1)4 (2)图见解析，说明见解析 【分析】本题考查无刻度尺网格作图，三角形的高线，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的高线的定义，结合网格特点作答即可； （2）取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线. 【详解】（1）解：如图，即为边上的高，； 故答案为：4； （2）如图，即为所求； 取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线. 26．如图，A、B、C、D、E 为正方形网格中的“格点”（格线的交点）． （1）以 A、B、C、D、E 这 5 个点中的 3 个点为顶点画三角形，一共可以画 个，其中等腰三角形有 个； （2）请画出△ABD先向右平移4格，再向下平移2格所得的△A′B′D′； （3）请直接写出（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形： ． 【答案】（1）9、2；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形的定义以及等腰三角形的定义解决问题即可． （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，D 对应点A′，B′，D′即可． （3）利用三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：（1）可以画△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE，∴一共可以画9个，其中等腰三角形有△ACE，△CDE共2个． 故答案为：9，2． （2）如图，△A′B′D′即为所求． （3）∵△A′B′D′面积=，△ABD面积=，△BCD面积=， ∴（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形有△BCD，△ABD， 故答案为：△BCD，△ABD． 【点睛】本题考查作图-平移变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）利用证明，得到即可； （）利用等腰三角形的性质解答即可； （）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 28．已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据所给条件，结合等腰三角形判定进行分析，即可解题． 【详解】解：所画直线如图所示： 29．若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线． （1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE． ①求∠B和∠C的关系式． ②求∠BAC的取值范围． 【答案】（1）见解析  （2）见解析 （3）① 3∠B+2∠C＝180°；②90°＜∠BAC＜120°． 【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可； （2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可； （3）①设∠B=α，∠C=β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0＜α＜60，根据①中结论计算，得到答案． 【详解】（1）如图①； （2）如图②； （3）①设∠B＝α，∠C＝β， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠BDE（180﹣α）＝90α， ∵DA＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴∠DEA∠BDE＝45α， ∵CA＝CE， ∴∠CEA＝∠CAE（180﹣β）＝90β， ∴90α+45α+90β＝180， 整理得，3α+2β＝180，即3∠B+2∠C＝180； ②∠BAC＝∠DAE+∠CAE ＝45α+90β ＝135（α+2β） ＝135（3α+2β）α ＝90α， ∵3α+2β＝180， ∴0＜α＜60， ∴90＜∠BAC＜120． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180是解题的关键． 题型六 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形 30．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 31．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 32．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 题型七 利用等角对等边证明等腰三角形 33．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 34．在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 35．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 36．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，且点在的延长线上，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．是等腰三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质分析，即可解答． 【详解】解：∵把以点为中心逆时针旋转得到，则，故A正确 ∴，即是等腰三角形，故B正确 ∴， ∴，故C错误 ∵旋转 ∴ ∴，故D正确 故选：C． 37．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形； （2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 38．如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质． （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ，， 平分交于点N， ， 为等腰直角三角形． 题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等 39．如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 40．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 41．如图,中，角平分线交于交于E，若，  ，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质推出等腰三角形，进而得到线段相等的线段． 由是角平分线可得角相等，结合平行于，利用平行线的性质得到另一组角相等，从而判定是等腰三角形，得出，最后根据计算的长度． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 42．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 43．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：． 44．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 45．如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确． 【详解】解：如图所示， ， ，则选项B正确； ，， ， ，则选项A正确； ， ， ， ，则选项D错误； ， ，则选项C正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 46．如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故选；D． 47．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 48．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 49．如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得，得到，由得到，即可得到结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 51．如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点处．小明在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即）；小华在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即），已知小华在小明的正东方向距离处，求小华与“藏宝地”之间的距离（即的长）． 【答案】 【分析】本题考查与方向角有关的角度运算、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，根据方向角及三角形的外角性质求得，根据等角对等边可求得． 【详解】解：， ． ， ， ． 答：小华与“藏宝地”之间的距离为． ． 题型一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数 52．如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，即这三个三角形都是轴对称图形， 不是轴对称图形， 故选：B． 53．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【详解】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 54．如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 55.题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意；    当时，存在满足条件的点只有一个； ∴；    当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；    当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；    当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 题型二 等腰三角形的判定与性质的综合运用 56．中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由“”可证可得可判断①④，由等腰直角三角形的性质可判断②③. 【详解】解：∵平分 且， 平分 ∴①④正确， ， 且， ∴ ∴， ∴②正确，③错误， 故选：C． 57．如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，，，求的长． 【答案】2 【分析】由，平分，得到，根据得到，结合，后代换解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形的等角对等边性质，线段的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 58．如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：结论： 理由： ∵平分（已知） ∴（角平分线的意义） ∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴， ∴（等量代换）， （等角对等边）， 点F是线段的中点 ∴（线段中点的意义）， （等腰三角形的三线合一）． 59．如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，理解等腰三角形的性质定理和判定定理是解题关键． （1）先证明，再根据等腰三角形三线合一即可证明． （2）连接，先证明，再证明，得出，结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴F为线段中点； （2）解：，理由如下： 连接， 在中，，D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 60．如图，在中，是的平分线，点在上，且，过点作的平行线，交的延长线于点，于点．请你用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质，平行线的性质以及对顶角相等可得是等腰三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用线段的和差关系进行等量代换，即可得证． 【详解】解：． 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 61．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠EDC． 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE， ∴DE+BE=BD， ∵BD=CD， ∴AB+BE=CD； （2）∵△ABD≌△EDC， ∴AD=EC， ∵AD=BC，BD=CD， ∴AD=BC=EC， ∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 62．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可知：， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴． 63．如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中作图要求画图即可； （2）根据三角形的内角和定理和余角性质，结合全等三角形的判定证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （3）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质证明，再利用余角性质得到即可得结论． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：如图， ， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， 在和中，， ， ； （3）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、余角性质、角平分线的定义等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． 64．综合实践：按照要求测量木料之间的距离． ．木料特征：如图①是一块木料，其中两边和相互平行． ．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边和之间的垂直距离． ．测量工具：如图②是一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）． ．测量方法及求解过程． (1)小清完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下： 步骤一：在边上取点，在边上取点； 步骤二：连接，； 步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点，与交于点； 步骤四：测得，； 求解过程如下：过点作交于点，交边于点，则， 和相互平行， ， ①_____， 设， ，即②_____+③_____， 这块木料上平行边和之间的垂直距离④_____， 请补充小清同学求解过程中①②③④所缺的内容（用含的代数式表示）； (2)小庄也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离的方案，请你在图④中帮助小庄同学画出测量方案，并写出测量步骤及求解过程． 要求：测量得到的长度用字母，，…表示（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案）． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得到，设，根据代入得，由此即可求解； （2）在平行线边上分别取点，连接，并测量，在线段上取点，使得，在边上，点的右边取点，连接，使得，测量，根据等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理判定即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于点，交边于点，则， 和相互平行， ， ， 设， ，即， 这块木料上平行边和之间的垂直距离， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：如图所示， 步骤一：在平行线边上分别取点，连接，并测量， 步骤二：在线段上取点，使得， 步骤三：在边上，点的右边取点，连接，使得， 步骤四：测量， 证明过程：由测量得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这块木料平行边之间的距离为． 64．在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②的度数为或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵将沿翻折至， ， ， ， ； （2）①如图，当点在下方时， ， ， ， ， ， ； 当点在上方时， ， ， 由折叠可得， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 当点在上方时， 设， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 65．实验与探究： 材料：如图1，在中，如果，可以作，交于D， 则．（依据1） ∵（依据2）， ∴． 这说明，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长． 任务一：上述材料中，依据1与依据2分别是什么？ 依据1：______； 依据2：______． 任务二：逆向思考：如图2，在中，，那么它们所对的角大小关系是什么？并给予证明． 任务三：如图3，在中，，平分，O为上一点，连接．若，试利用材料中的知识，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】任务一：等角对等边；三角形的两边之和大于第三边；任务二：，证明见解析；任务三：，理由见解析 【分析】此题考查了三角形外角的性质，三角形的三边关系，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，正确理解并运用在一个三角形中，大角对大边，大边对大角，运用类比的方法解决问题是解本题的关键． 任务一：根据等腰三角形的判定和三角形的三边关系可解答； 任务二：如图2，在上截取，连接，得，根据三角形外角的性质和角的和差可得结论：； 任务三：如图3，，先根据角平分线定义得：，根据材料中：在同一个三角形中大角对大边，从而可以解答即可． 【详解】解：任务一： 依据1：等角对等边； 依据2：三角形的两边之和大于第三边； 故答案为：等角对等边；三角形的两边之和大于第三边； 任务二： ，证明如下： ∵， ∴在上截取，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 任务三： ，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 66．（1）如图1，是边上的一点．若，，求的值； （2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：； （3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到，分别交、于点、点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查三角形面积公式、比例关系应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用三角形面积与底高的关系，结合图形性质建立等式求解． （1）过作，利用三角形面积公式分别表示出与，因高相同，通过底和的长度比，得出面积比． （2）过作，过作，依据三角形面积公式，分别推导与和的关系，再通过比例等式转化，证明． （3）连接，由得面积比，设未知数表示相关三角形面积，结合是中点及正方形面积，列方程组求解面积，根据面积相等推出是中点（正方形对称中心），进而得出． 【详解】解：（1）过点作，垂足为， ，； ； （2）如图2，过点作垂直于，过点作垂直于， ，， ， ，， ， ， ， 即， （3）连接、 ， ，， 设，，则，， 点是的中点， ，， ∵，， 解得， ，， ， ， 点是的中点，又， ∴是的角平分线， ∵ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $