第六章 概率的进一步认识 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学“概率的进一步认识”单元卷，覆盖9类题型共25题，以转盘抽奖、比赛公平性等生活情境为载体，融合几何直观、推理能力与数据意识，适配暑假概率知识巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |几何概率|3题|三角形中点、圆形区域面积比|结合图形分析，体现几何直观| |列表/树状图|3题|多步骤摸球、比赛分组|强化逻辑推理，培养推理能力| |游戏公平性|3题|转盘数字和、摸球规则设计|通过概率比较，渗透理性精神| |频率与概率|7题|灯泡合格频率、摸球实验数据|基于统计数据估计概率，发展数据意识| |综合应用|5题|油菜籽发芽率、摸球频率稳定|结合实际问题建模，提升应用意识|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 概率的进一步认识 题型1 几何概率 题型2 列举法求概率 题型3 列表法或树状图法求概率 题型4 游戏的公平性 题型5 概率在转盘抽奖中的应用 题型6 概率在比赛中的应用 题型7 求某事件的频率 题型8 由频率估计概率 题型9 用频率估计概率的综合应用 【几何概率】 1．如图，在一块三角形面板上，分别为的中点，小宇随意向三角形面板内部掷飞镖（假如每次都能掷在三角形的区域内）． (1)求掷中三角形区域的概率； (2)小恒与小宇比赛，规定如下：若小宇掷中三角形区域，则小宇获胜；若小恒掷中阴影区域，则小恒获胜．这个规则公平吗？为什么？ 2．小明操纵一辆遥控汽车在如图所示的圆内运动，遥控汽车开动后随意停止（遥控汽车可看作一个点）．遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率是否相等？停在红色区域的概率是多少？    3．有一个转盘如图，转盘可以自由转动． (1)让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． (2)让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 【列举法求概率】 4．如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 5．长度为3，5，7，9的4条线段，任意抽出3条，能组成三角形的概率为__________． 6．从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为______． 【列表法或树状图法求概率】 7．现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒装有1个红球、1个白球；B盒装有2个红球、1个白球；C盒装有1个红球、2个白球． (1)随机打开一个盒子，选中B盒的概率是多少？ (2)随机从B盒中摸出一个球，求摸到红球的概率； (3)随机从A盒和C盒各摸出一个球，求摸出两个球颜色相同的概率． 8．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： (1)本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； (2)扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； (3)小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 9．校团委举办传承红色基因，牢记初心使命唱响红歌比赛活动．报名参赛的同学被随机分成A、B、C三个小组进行第一轮预选，求双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 【游戏的公平性】 10．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 11．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 12．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【概率在转盘抽奖中的应用】 13．端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 14．为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 15．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【概率在比赛中的应用】 16．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【求某事件的频率】 17．如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 18．在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 19．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【由频率估计概率】 20．周末，某文具店进行促销活动，制作了一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（若指针指向分界线，则重新转动，直至指针指向某一区域为止）．如表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 落在“矿泉水”的次数 落在“矿泉水”的频率 (1)填空：________，________； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 21．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 22．“一人一盔安全守规,一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 3932 合格品频率 (1)求出表中 ， ； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔,若用（2）中的估计值作为生产头盔中合格品的概率,则该厂估计要生产多少头盔？ 【用频率估计概率的综合应用】 23．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 24．一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． (1)估计红球、白球数量； (2)现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 25．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 概率的进一步认识 题型1 几何概率 题型2 列举法求概率 题型3 列表法或树状图法求概率 题型4 游戏的公平性 题型5 概率在转盘抽奖中的应用 题型6 概率在比赛中的应用 题型7 求某事件的频率 题型8 由频率估计概率 题型9 用频率估计概率的综合应用 【几何概率】 1．如图，在一块三角形面板上，分别为的中点，小宇随意向三角形面板内部掷飞镖（假如每次都能掷在三角形的区域内）． (1)求掷中三角形区域的概率； (2)小恒与小宇比赛，规定如下：若小宇掷中三角形区域，则小宇获胜；若小恒掷中阴影区域，则小恒获胜．这个规则公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查了几何概率，游戏的公平性，三角形的中线，掌握概率的计算方法是解题的关键． （）根据三角形中线的性质可得，进而根据概率公式计算即可求解； （）根据三角形中线的性质可得，进而求出掷中阴影区域的概率，再根据掷中三角形区域的概率比较即可求解； 【详解】（1）解：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴掷中三角形区域的概率为； （2）解：公平，理由如下： ∵分别为的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴，, ∴， 即， ∴掷中阴影区域的概率， ∵掷中三角形区域的概率与掷中阴影区域的概率相等， ∴这个规则公平． 2．小明操纵一辆遥控汽车在如图所示的圆内运动，遥控汽车开动后随意停止（遥控汽车可看作一个点）．遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率是否相等？停在红色区域的概率是多少？    【答案】遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率不相等，停在红色区域的概率是 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先分别求出整个圆的面积、绿色区域的面积、黄色区域的面积、红色区域的面积，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：整个圆的面积为， 绿色区域的面积为， 黄色区域的面积为， 红色区域的面积为， 所以遥控汽车停在黄色区域的概率为， 停在绿色区域的概率为， 停在红色区域的概率为， 所以遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率不相等，停在红色区域的概率是． 答：遥控汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率不相等，停在红色区域的概率是． 3．有一个转盘如图，转盘可以自由转动． (1)让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． (2)让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分， 这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为． （2）解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为：； 【列举法求概率】 4．如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 5．长度为3，5，7，9的4条线段，任意抽出3条，能组成三角形的概率为__________． 【答案】 / 【分析】先列举出从4条线段中任意抽取3条的所有等可能结果，再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”找出能组成三角形的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：从长度为3，5，7，9的4条线段中任意抽出3条，所有等可能的结果为，，，共4种； ∵，能组成三角形， ，不能组成三角形， ，能组成三角形， ，能组成三角形， ∴能组成三角形的结果共3种， 则能组成三角形的概率为． 6．从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 计算从中任取两个不同数的所有等可能性的结果数，再计算最大公约数不为1所有等可能性的结果数，即最大公约数为2、3、4的所有等可能性的结果数，然后作差求最大公约数为1的所有等可能性的结果数，最后利用概率公式求出最大公约数为1的概率即可． 【详解】解：从中任取两个不同的数，所有等可能性的结果数共有：（种）， 最大公约数为2的结果有：、、、、，共5种， 最大公约数为3的结果有：、、，共3种， 最大公约数为4的结果有：，共1种， ∴最大公约数不为1的结果数有：（种）， ∴最大公约数为1的结果数有：（种）， ∴从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为； 故答案为：． 【列表法或树状图法求概率】 7．现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒装有1个红球、1个白球；B盒装有2个红球、1个白球；C盒装有1个红球、2个白球． (1)随机打开一个盒子，选中B盒的概率是多少？ (2)随机从B盒中摸出一个球，求摸到红球的概率； (3)随机从A盒和C盒各摸出一个球，求摸出两个球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）直接由概率公式求解即可； （3）画树状图，可得共有6种等可能的结果，摸出的两个球颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总共有A、B、C三个盒子，随机选一个，每个盒子被选中的可能性相等； 选中B盒的概率是； （2）解：B盒装有2个红球、1个白球，共个球； 摸到红球的概率为； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，摸出的两个球颜色相同的结果有3种， 则摸出的两个球颜色相同的概率为． 8．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： (1)本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； (2)扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； (3)小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 【答案】(1)，补充条形统计图如下： ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意求出参加调查的总人数和喜欢C类红枣粽的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以C类粽子所占的比例即可； （3）画出树状图，得出共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2，即可求解． 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的居民有（人）， 喜欢C类红枣粽的人数有（人）； （2）解：扇形统计图中C所对应的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2， ∴他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 9．校团委举办传承红色基因，牢记初心使命唱响红歌比赛活动．报名参赛的同学被随机分成A、B、C三个小组进行第一轮预选，求双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：画树状图，如图所示： ∵共有种等可能的结果数，其中双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的结果数为， ∴双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 【游戏的公平性】 10．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求出指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）列表把所有可能出现的情况表示出来，可知所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以游戏不公平． 【详解】（1）解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； （2）略 11．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 【答案】(1)列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． (2)（答案不唯一） 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 【详解】（1）略 （2）（2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个． 12．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 【分析】（1）画树状图列举出所有可能的情况和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况，然后利用概率公式求解； （2）分别求出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； （2）略 【概率在转盘抽奖中的应用】 13．端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 14．为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 15．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：如图， ∴（谢谢），（古灶挂件），（祖庙模型）（电影票）， ∴（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【分析】根据概率公式即可求解； 先列表，然后通过概率公式即可求解； 根据概率公式进行图案设计即可． 【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是； （2）解：列表如下， 谢谢 谢谢 谢谢 古灶挂件 古灶挂件 醒狮恤 国潮狮头 祖庙模型 电影票 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 国潮狮头，醒狮恤 祖庙模型，醒狮恤 电影票，醒狮恤 国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 醒狮恤，国潮狮头 祖庙模型，国潮狮头 电影票，国潮狮头 祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 醒狮恤，祖庙模型 国潮狮头，祖庙模型 电影票，祖庙模型 电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 古灶挂件，电影票 古灶挂件，电影票 醒狮恤，电影票 国潮狮头，电影票 祖庙模型，电影票 一共有种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有种， ∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是； （3）略． 【概率在比赛中的应用】 16．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 【求某事件的频率】 17．如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)494   0.991 (2)从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99 【分析】（1）利用500乘以其合格品率即可求出，利用1982除以2000即可求出； （2）由表中数据可判断合格品率在0.99左右摆动，根据频率估计概率可判断从这批灯泡中任意抽取一颗是合格品的概率． 【详解】（1）解：，． （2）解：随着抽取灯泡数增大，合格品频率逐渐稳定在0.99附近，根据频率估计概率，且结果精确到0.01， 从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99． 18．在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率=频数÷总次数的关系，可计算出、的值； （2）大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，由表格数据即可得出答案； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据频率的计算公式，可得， 根据频数的计算公式，可得； （2）解：观察表格可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是； （3）解：由（2）中得到的概率估计值，可得口袋中原有白球数量约为（个）， 向口袋中加入个白球后，白球总数量为个，球的总数量为个， 根据题意列方程得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 因此的值为． 19．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】(1)100；803 (2) (3)120 (4)④ 【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可； （4）分别计算出①④的概率，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：，． （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． （3） 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为120次． （4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． 【由频率估计概率】 20．周末，某文具店进行促销活动，制作了一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（若指针指向分界线，则重新转动，直至指针指向某一区域为止）．如表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 落在“矿泉水”的次数 落在“矿泉水”的频率 (1)填空：________，________； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】(1)； (2)获得矿泉水的概率约是． 【分析】（1）根据频数，频率之间的关系进行列式计算，即可作答． （2）先结合（1）的表格数据，得出落在“矿泉水”的频率稳定在附近，即转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， ∴转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 21．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 22．“一人一盔安全守规,一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 3932 合格品频率 (1)求出表中 ， ； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔,若用（2）中的估计值作为生产头盔中合格品的概率,则该厂估计要生产多少头盔？ 【答案】(1)， (2) (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，再由频率估计概率可判断任意抽取一顶头盔是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一顶是合格品的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产50000顶头盔是合格品． 【用频率估计概率的综合应用】 23．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 (1)表中________；________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)0.57；0.604 (2)0.6 (3)12 【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数计算即可． 【详解】（1）解：根据频率公式得，； （2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． （3）解：原盒子里共有白球数为（个），现放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 根据题意，得，解得． 24．一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． (1)估计红球、白球数量； (2)现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) 估计红球有个，白球有个 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率的思路，用总球数乘以估计得到的红球概率，计算出红球数量，再得到白球数量； （2）分三种情况讨论取出2个球的颜色组合，分别计算每种情况发生的概率和对应条件下摸到白球的概率，再求和得到最终结果，用到概率的基本计算方法． 【详解】（1）解：∵盒子中共有小球个，摸到红球的概率约为， ∴红球的估计数量为：（个）； 白球的估计数量为：（个）． （2）解：由（1）可知，盒中原有4个红球，6个白球，一次性取出2个球，分三种情况计算： 从10个球中一次性取2个，共有种等可能的取法， ①取出2个红球： 取出2个红球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有6个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ②取出1个红球1个白球： 取出1红1白的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有5个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ③取出2个白球： 取出2个白球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有4个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； 将三种情况的概率相加得总概率： ． 25．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，然后变形即可求出b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； ∵发芽的频率接近， ∴概率估计值为，精确到为； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $