第四章圆的再认识单元测试 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

**基本信息** 青岛版九年级数学“圆的再认识”单元卷，以圆的性质、切线、内接多边形等为核心，融合文化传承（筒车、《九章算术》）与实际应用（摩天轮），适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆周角定理、阴影面积计算、点与圆位置关系|结合筒车（古代水利工具）考查垂径定理，体现文化传承| |填空题|5/15|圆内接四边形、直线与圆位置关系、弧度概念|引用《九章算术》弧田面积公式，渗透数学文化| |解答题|8/75|切线证明、内心外心综合、二次函数与圆综合|分层设计，从基础切线证明（16题）到创新综合题（23题菱形与圆动态问题），培养数学思维与推理能力|

2026-2027学年九年级上学期数学青岛版第四章圆的再认识单元测试 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 5．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 6．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 12．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 13．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，，则与的大小关系是_____．（填“”“”或“”） 14．“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为 _______ m．（结果保留） 15．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 三、解答题（共8小题，共75分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 17．（8分）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 18．（8分）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 19．（9分）如图，为的直径，为的中点，过作垂线与交于、两点．过点作的切线与延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求长． 20．（9分）已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 21．（10分）如图，在中，，，点D是上一点，且． (1) 的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交于点F，过点B作于点E，求的长． 22．（11分）如图，在等腰三角形中，，以为直径的分别交于点D，E，延长至点F，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)请用无刻度的直尺和圆规作出点E关于线段的对称点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 23．（12分）如图1，在菱形中，，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于． (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E运动到何处时，图中阴影部分面积最小，并求出这个最小值； (3)当时，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级上学期数学青岛版第四章圆的再认识单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B C B B B B A 1．B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据同弧所对的圆周角相等可得：． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ． 2．A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 3．B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 4．B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 5．C 【分析】先根据“直径所对的圆周角是直角”得，再根据圆周角定理得，最后利用网格求直角三角形正切值． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵ 为直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中， ∵ ， ∴ ． 6．B 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 7．B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 8．B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 9．B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 10．A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 11． 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 12． 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 13． 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当圆心角时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：∵圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角， ∴此时圆心角所对的弦长小于圆的半径， ∴此时圆心角的度数小于， 即与的大小关系是． 14． 【分析】首先根据摩天轮最高点高度和圆心高度求出圆的半径，然后过点作圆心所在水平线的垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出圆心角的一部分，结合点的位置求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设摩天轮的圆心为，半径为，由题意可知，最高点离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴． 过点作水平线，过点B作于点C，如下图， ∵点B离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∵点为最低点， ∴， ∴， ∴劣弧的长度为． 【点睛】圆的最低点与圆心的连线垂直于圆心所在的水平线，的圆心角所对的弧长为． 15． 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 16．(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 17．30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 18．(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 19．(1)证明：如图所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，证明，得到，则可证明，由切线的性质得到，则可证明； （2）连接，由垂径定理得到；解直角三角形可得到，则；解直角三角形求出的长，进而得到的长，再求出的长，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵，为的直径， ∴； ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）得，即， ∴， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴． 20．(1)证明：平分， ， 如图，连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，等边对等角，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等以及切线的判定定理推导即可； （2）由（1）得，，利用两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余，直角三角形中所对的边是斜边的一半以及勾股定理推出、的长，再利用阴影部分面积为三角形的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 阴影部分的面积扇形的面积． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系得到，得到，即可求出的最大值； （2）根据切线得到，再求出，根据，求出，，最后根据，求的长即可． 【详解】（1）解：∵点是上一点，且， ∴， ∴， ∴的最大值为． （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．(1)证明：连接， ∵是的直径， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； (2)2 (3)如图，点即为所求： 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到，再结合已知条件进行等量代换证明即可； （2）连接，则，设，则，根据，求出，再由求解，即可求解； （3）先过点作的垂线，然后在垂线上截取对称点即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵是的直径， ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）略 23．(1)证明：连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ． 为等边三角形， ， ． 又， ， ， ， 是的切线． (2)当点为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为 (3)的周长为 【分析】（1）连接，由菱形及可知与均为等边三角形，进而，，得到，即可证明为切线． （2）阴影部分面积为两弓形面积之和，等于扇形的面积减去四边形的面积；其中扇形面积固定，故只需使四边形面积最大，即使的高最大，从而确定为中点． （3）由得；利用圆周角及等边三角形性质证明，得到与的关系；再证，从而求出；最后在含的中作垂线，用勾股定理求出． 【详解】（1）略； （2）解：过点O，作于点P， 是边长为的等边三角形， ∴， 的半径， ． 由图2可知，阴影部分面积为弓形与弓形的面积之和， ． 与在直线的两侧， ． 在中，，， ， ． 对于，底边固定，其面积取决于点到的距离， 当为的中点时，共线，该距离最大，最大值为， 的最大值为， 的最大值为， 的最小值为． 故当运动到的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． （3）解：，， ． ， ， ． 是等边三角形， ， ． 又， ， ， 即， ． ，， ， ， ． 过点作于点， 在中，，， ， ， ． 在中，由勾股定理得 ， ， 的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $