21.2.3-因式分解法（第4课时）讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的因式分解法，系统阐述其“ab=0则a=0或b=0”的核心原理，涵盖提取公因式法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法，承接前三课时“降次”转化思想，为后续二次函数与不等式学习搭建知识支架。 该资料以面积问题情境引入激发兴趣，通过例题分层教学培养逻辑推理能力，对比表格与易错点口诀强化数学思维，知识结构图辅助梳理。课中助力教师高效授课，课后练习及解析帮助学生查漏补缺，提升数学运算与模型意识。

人教版九年级数学上册 · 第二十一章 一元二次方程 · 第 4 课时 人教版九年级数学上册 第四课时讲义 因式分解法 第二十一章 · 一元二次方程 · 第 4 课时 LECTURE NOTES 本课时从因式分解法出发， 掌握因式分解的主要方法（提取公因式法、平方差公式、完全平方公式），并了解十字相乘法的应用。 通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会'化积为零'的转化思想，根据方程特征灵活选择分解方法。 适用对象 九年级师生 学科 数 学 版本 人 教 版 SECTION 01 课程导入与学习目标 1.1 课时地位与作用 本课时是人教版九年级数学上册第二十一章“一元二次方程”的第 4 课时，核心内容是因式分解法。在前三课时中，我们学习了直接开平方法、配方法和公式法。这些方法都是通过“降次”将二次方程转化为一次方程来求解。本课时介绍的因式分解法是另一种重要的解法——它利用“如果 ab=0，则 a=0 或 b=0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。 因式分解法的核心思想是“化积为零”——将方程化为一边为 0、另一边为因式乘积的形式，再令每个因式分别等于 0。这种方法在方程系数较为特殊（如整数根、有理根）时，往往比公式法更简便。同时，因式分解法也是后续学习二次函数与一元二次不等式的重要工具，掌握因式分解法有助于提高解题的灵活性和效率。 1.2 本课时学习目标 本课时核心内容是因式分解法，具体学习目标如下： 目标维度 具体要求 知识与技能 理解因式分解法的原理（ab=0 则 a=0 或 b=0），能熟练运用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式解一元二次方程，了解十字相乘法的应用；掌握因式分解法的适用条件。 过程与方法 经历从具体方程出发探究因式分解法的过程，体会“化积为零”的转化思想；通过比较常用因式分解方法，培养选择适当方法的能力。 情感态度与价值观 感受因式分解法的简洁与灵活，体会数学方法的多样性；在解题中培养严谨求实的态度，避免丢根等常见错误。 核心素养 逻辑推理（选择适当的分解方法）、数学运算（准确进行因式分解）、数学建模（将实际问题转化为方程）。 1.3 教学重难点 重点 · KEY POINT 因式分解法的原理与主要方法（提取公因式法、平方差公式、完全平方公式），并了解十字相乘法的应用；根据方程特征选择适当的因式分解方法。 难点 · DIFFICULTY 十字相乘法的灵活运用（特别是二次项系数不为 1 的情况）；避免“两边同除以含未知数的因式”导致丢根的错误。 SECTION 02 情境引入 数学中，解方程的方法往往不止一种。让我们从一个简单的问题出发，看看能否找到更简便的解法。 问题 · 面积问题 一个矩形的长比宽多 2 cm，面积为 15 cm²，求矩形的长和宽。 设宽为 x cm，则长为 (x+2) cm。由题意得 x(x+2)=15，即 x²+2x−15=0。 用公式法解：a=1, b=2, c=−15, Δ=b²−4ac=2²−4×1×(−15)=4+60=64>0, 代入求根公式 x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)=[−2±√64]/(2×1)=(−2±8)/2, x₁=(−2+8)/2=3, x₂=(−2−8)/2=−5（舍去，因为边长不能为负）。所以宽为 3 cm，长为 5 cm。 但如果注意到 x²+2x−15 可以因式分解为 (x−3)(x+5)，则方程变为 (x−3)(x+5)=0，直接得 x−3=0 或 x+5=0，即 x=3 或 x=−5。这种方法更简便！ 观察 · OBSERVE 当方程能化为一边为 0、另一边为因式乘积的形式时，只需令每个因式分别等于 0，就能将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。这就是因式分解法。 SECTION 03 因式分解法的定义 3.1 原理 因式分解法的理论依据是：如果两个数的乘积为 0，那么至少有一个数为 0。即： 若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0 因此，对于一元二次方程，如果能将方程化为一边为 0、另一边为两个一次因式乘积的形式 (x−p)(x−q)=0，则可得 x−p=0 或 x−q=0，从而 x₁=p, x₂=q。 ◆ 因式分解法 通过因式分解，将一元二次方程化为一边为 0、另一边为两个一次因式乘积的形式，再令每个因式分别等于 0，从而求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。 3.2 适用条件 关键 · KEY 使用因式分解法的前提是：方程必须能化为一边为 0 的形式，且另一边能够进行因式分解。当方程的系数较为特殊（如整数根、有理根）时，因式分解法往往比公式法更简便。 SECTION 04 常用的因式分解方法 4.1 提取公因式法 如果方程的各项有公因式，可以先提取公因式，将方程化为因式乘积的形式。 ab + ac = a(b + c) 例如，解方程 3x²−6x=0。提取公因式 3x，得 3x(x−2)=0。令 3x=0 或 x−2=0，得 x₁=0, x₂=2。 4.2 平方差公式 如果方程能化为两数平方差的形式，可以用平方差公式因式分解。 a² − b² = (a + b)(a − b) 例如，解方程 x²−9=0。用平方差公式，得 (x+3)(x−3)=0。令 x+3=0 或 x−3=0，得 x₁=−3, x₂=3。 4.3 完全平方公式 如果方程能化为完全平方式的形式，可以用完全平方公式因式分解。 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 例如，解方程 x²−6x+9=0。用完全平方公式，得 (x−3)²=0。令 x−3=0，得 x₁=x₂=3（二重根）。 再如，解方程 4x²−12x+9=0。注意到 4x²=(2x)²，9=3²，且 2×2x×3=12x 恰为一次项，可用完全平方公式：4x²−12x+9=(2x−3)²=0。令 2x−3=0，得 x₁=x₂=3/2（二重根）。 4.4 十字相乘法 十字相乘法是因式分解法中最常用、最灵活的方法。对于二次项系数为 1 的方程 x²+px+q=0，如果能找到两个数 m、n，使得 m+n=p 且 mn=q，则： x² + px + q = (x + m)(x + n) 口诀 · MNEMONIC “竖分二次项，竖分常数项，交叉相乘再相加，和为一次项。” 具体操作：将二次项系数和常数项分别分解为两个因数的乘积，按十字交叉相乘后相加，若和等于一次项系数，则分解成功。 4.5 方法选择技巧 方程特征 推荐方法 示例 各项有公因式 提取公因式法 3x²−6x=0 → 3x(x−2)=0 可化为平方差 平方差公式 x²−9=0 → (x+3)(x−3)=0 可化为完全平方 完全平方公式 x²−6x+9=0 → (x−3)²=0 整数根、有理根 十字相乘法 x²+5x+6=0 → (x+2)(x+3)=0 无法因式分解 公式法或配方法 x²+3x−1=0 → 公式法 SECTION 05 知识梳理 5.1 三种解法对比 解法 核心思想 适用条件 优缺点 配方法 配方→开平方 所有一元二次方程 通用但步骤繁琐 公式法 代入求根公式 所有一元二次方程 通用但计算量大 因式分解法 化积为零 一边为0且可分解 简便但需可分解 5.2 知识结构图 SECTION 06 例题精讲 例 1 ｜ 提取公因式法 用因式分解法解方程：x²−3x=0。 解：提取公因式 x，得 x(x−3) = 0 令 x=0 或 x−3=0，解得 x₁ = 0，x₂ = 3 例 2 ｜ 平方差公式 用因式分解法解方程：3x²−12=0。 解：先提取公因式 3，再用平方差公式： 3(x²−4) = 0 → 3(x+2)(x−2) = 0 令 x+2=0 或 x−2=0，解得 x₁ = −2，x₂ = 2 例 3 ｜ 十字相乘法 用因式分解法解方程：x²−5x+6=0。 解：用十字相乘法，找两数 m、n 使 m+n=−5，mn=6。 因为 (−2)+(−3)=−5，(−2)×(−3)=6，所以 (x−2)(x−3) = 0 令 x−2=0 或 x−3=0，解得 x₁ = 2，x₂ = 3 例 4 ｜ 移项后因式分解 用因式分解法解方程：(x−2)(x+5)=x−2。 解：注意不能两边同除以 (x−2)（会丢根），应先移项： (x−2)(x+5)−(x−2) = 0 提取公因式 (x−2)： (x−2)[(x+5)−1] = 0 → (x−2)(x+4) = 0 令 x−2=0 或 x+4=0，解得 x₁ = 2，x₂ = −4 例 5 ｜ 二次项系数不为 1 的十字相乘 用因式分解法解方程：2x²−5x−3=0。 解：二次项 2x²=2x·x，常数项 −3=(−3)×1 或 3×(−1)。 十字相乘：2x×(−3)+1×x = −6x+x = −5x ✓（等于一次项系数） (2x+1)(x−3) = 0 令 2x+1=0 或 x−3=0，解得 x₁ = −1/2，x₂ = 3 SECTION 07 课堂练习 7.1 选择题 1. 方程 x²−4=0 的解是（　　） A. x=2　　B. x=±2　　C. x=4　　D. x=±4 2. 用因式分解法解方程 x²−7x+12=0，下列分解正确的是（　　） A. (x−3)(x−4)=0　　B. (x+3)(x+4)=0　　C. (x−3)(x+4)=0　　D. (x+3)(x−4)=0 3. 方程 x(x−2)=x−2 的解是（　　） A. x=2　　B. x=1　　C. x=1 或 x=2　　D. x=−1 或 x=2 4. 用因式分解法解方程 2x²−3x−2=0，正确的是（　　） A. (2x+1)(x−2)=0　　B. (2x−1)(x+2)=0　　C. (2x−1)(x−2)=0　　D. (2x+1)(x+2)=0 7.2 填空题 5. 方程 x²−6x=0 的解为 x=______。 6. 方程 (x+1)(x−3)=0 的解为 x=______。 7. 若 x²−5x+6 因式分解为 (x−2)(x−3)，则一般形式 x²+mx+n=0 中的 m=______，n=______。 8. 方程 x²+3x−10=0 的解为 x=______。 7.3 解答题 9. 用因式分解法解下列方程： （1）x²−3x+2=0　　（2）x²+4x=0　　（3）(x−1)²=2x−2 10. 用因式分解法解方程：3x²−5x−2=0。 SECTION 08 课堂小结 8.1 核心知识梳理 知识模块 核心内容 原理 若 A·B=0，则 A=0 或 B=0。将方程化为一边为 0、另一边为因式乘积的形式。 常用方法 提取公因式法、平方差公式、完全平方公式（拓展：十字相乘法）。 适用条件 方程能化为一边为 0，且另一边可因式分解。 解题步骤 ①移项化一边为 0；②选择分解方法；③分解因式；④令各因式=0 求解。 8.2 易错点口诀 记忆口诀 · MNEMONIC “化零分解是前提，公因平方十字乘；两边同除最危险，丢根漏解后悔迟；移项提取保安全，逐个令零求出根。” 8.3 易错点提示 1. 两边同除以含未知数的因式：如解 (x−2)(x+5)=x−2 时两边同除以 (x−2)，会丢失 x=2 这个根。正确做法是移项后提取公因式。 2. 未化为一边为 0 的形式：如解 x²−5x+6=2 时直接写 (x−2)(x−3)=2，这是错误的。必须先移项 x²−5x+4=0，再分解。 3. 十字相乘时符号弄错：如 x²−5x+6 误分解为 (x+2)(x+3)，应检验 m+n 是否等于一次项系数。 4. 结果未化简：如 x=2/4 应化简为 x=1/2，x=(−√4)/2 应化简为 x=−1。 SECTION 09 课后作业 9.1 必做题 1. 用因式分解法解方程：x²−4x=0。 2. 用因式分解法解方程：x²−7x+10=0。 3. 用因式分解法解方程：x²+2x−8=0。 4. 用因式分解法解方程：2x²−x−1=0。 5. 用因式分解法解方程：(x+3)(x−1)=x+3。 6. 用因式分解法解方程：3x²−6x+3=0。 9.2 拓展探究 7. （★ 拓展提升）用因式分解法解方程：x²−5x−6=0。 8. （★ 拓展提升）已知方程 (x−2)(x+3)=0，请将其化为一般形式，并写出一次项系数和常数项的值。 SECTION 10 参考答案与解析 课堂练习答案 1. B。x²−4=0 → (x+2)(x−2)=0 → x=±2。 2. A。x²−7x+12=0，找 m+n=−7，mn=12，得 m=−3，n=−4，故 (x−3)(x−4)=0。 3. C。移项得 x(x−2)−(x−2)=0 → (x−2)(x−1)=0 → x=1 或 x=2。 4. A。2x²−3x−2=0，十字相乘：2x×(−2)+x×1=−4x+x=−3x ✓，故 (2x+1)(x−2)=0。 5. x²−6x=0 → x(x−6)=0 → x₁=0，x₂=6。 6. (x+1)(x−3)=0 → x₁=−1，x₂=3。 7. 由 (x−2)(x−3)=x²−5x+6 可知，一次项系数 m=−5，常数项 n=6。 8. x²+3x−10=0 → (x+5)(x−2)=0 → x₁=−5，x₂=2。 9. （1）x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0 → x₁=1，x₂=2。 （2）x²+4x=0 → x(x+4)=0 → x₁=0，x₂=−4。 （3）(x−1)²=2x−2 → (x−1)²−2(x−1)=0 → (x−1)(x−1−2)=0 → (x−1)(x−3)=0 → x₁=1，x₂=3。 10. 3x²−5x−2=(3x+1)(x−2)=0，验证：(3x+1)(x−2)=3x²−6x+x−2=3x²−5x−2 ✓，所以 3x+1=0 或 x−2=0，解得 x₁=−1/3，x₂=2。 课后作业答案 1. x²−4x=0 → x(x−4)=0 → x₁=0，x₂=4。 2. x²−7x+10=0 → (x−2)(x−5)=0 → x₁=2，x₂=5。 3. x²+2x−8=0 → (x+4)(x−2)=0 → x₁=−4，x₂=2。 4. 2x²−x−1=0 → (2x+1)(x−1)=0 → x₁=−1/2，x₂=1。 5. (x+3)(x−1)=x+3 → (x+3)(x−1)−(x+3)=0 → (x+3)(x−2)=0 → x₁=−3，x₂=2。 6. 3x²−6x+3=0 → 3(x²−2x+1)=0 → 3(x−1)²=0 → x₁=x₂=1（二重根）。 7. x²−5x−6=(x−6)(x+1)=0，验证：(x−6)(x+1)=x²+x−6x−6=x²−5x−6 ✓，所以 x−6=0 或 x+1=0，解得 x₁=6，x₂=−1。 8. 展开 (x−2)(x+3)=x²+3x−2x−6=x²+x−6=0，所以一般形式为 x²+x−6=0，其中一次项系数为 1，常数项为 −6。 九年级数学 · 第四课时 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $