21.2.3-因式分解法（第4课时）讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册 第四课时讲义 因式分解法 第二十一章 · 一元二次方程 · 第 4 课时   LECTURE NOTES 本课时从因式分解法出发， 掌握因式分解的主要方法（提取公因式法、平方差公式、完全平方公式），并了解十字相乘法的应用。 通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会'化积为零'的转化思想，根据方程特征灵活选择分解方法。   适用对象 九年级师生 学科 数 学 版本 人 教 版

SECTION 01

课程导入与学习目标

  1.1 课时地位与作用

本课时是人教版九年级数学上册第二十一章“一元二次方程”的第 4 课时，核心内容是因式分解法。在前三课时中，我们学习了直接开平方法、配方法和公式法。这些方法都是通过“降次”将二次方程转化为一次方程来求解。本课时介绍的因式分解法是另一种重要的解法——它利用“如果 ab=0，则 a=0 或 b=0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。

因式分解法的核心思想是“化积为零”——将方程化为一边为 0、另一边为因式乘积的形式，再令每个因式分别等于 0。这种方法在方程系数较为特殊（如整数根、有理根）时，往往比公式法更简便。同时，因式分解法也是后续学习二次函数与一元二次不等式的重要工具，掌握因式分解法有助于提高解题的灵活性和效率。

  1.2 本课时学习目标

本课时核心内容是因式分解法，具体学习目标如下：

 

  1.3 教学重难点

重点 · KEY POINT

因式分解法的原理与主要方法（提取公因式法、平方差公式、完全平方公式），并了解十字相乘法的应用；根据方程特征选择适当的因式分解方法。

 

难点 · DIFFICULTY 十字相乘法的灵活运用（特别是二次项系数不为 1 的情况）；避免“两边同除以含未知数的因式”导致丢根的错误。

 

SECTION 02

情境引入

数学中，解方程的方法往往不止一种。让我们从一个简单的问题出发，看看能否找到更简便的解法。

  问题 · 面积问题

一个矩形的长比宽多 2 cm，面积为 15 cm²，求矩形的长和宽。

设宽为 x cm，则长为 (x+2) cm。由题意得 x(x+2)=15，即 x²+2x−15=0。

用公式法解：a=1, b=2, c=−15, Δ=b²−4ac=2²−4×1×(−15)=4+60=64>0, 代入求根公式 x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)=[−2±√64]/(2×1)=(−2±8)/2, x₁=(−2+8)/2=3, x₂=(−2−8)/2=−5（舍去，因为边长不能为负）。所以宽为 3 cm，长为 5 cm。

但如果注意到 x²+2x−15 可以因式分解为 (x−3)(x+5)，则方程变为 (x−3)(x+5)=0，直接得 x−3=0 或 x+5=0，即 x=3 或 x=−5。这种方法更简便！

观察 · OBSERVE 当方程能化为一边为 0、另一边为因式乘积的形式时，只需令每个因式分别等于 0，就能将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。这就是因式分解法。

 

SECTION 03

因式分解法的定义

  3.1 原理

因式分解法的理论依据是：如果两个数的乘积为 0，那么至少有一个数为 0。即：

若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0