专题25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系这一核心知识点，基于求根公式推导两根之和与积的基本式子，延伸出8种常见变形拓展式，构建从基础公式到综合应用的学习支架，衔接方程解法与代数式求值、参数求解等内容。 资料通过分层题型设计（基础应用、变形拓展等5类），结合典例、变式及中考链接，培养学生运算能力与推理意识。如综合求值题型中利用根的定义降次与整体代换，提升问题解决能力。课中辅助教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。 2.掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。 3.能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。 教学重难点 1.重点 （1）根与系数的关系的基本式子； （2）根与系数的关系的变形拓展式； 2.难点 （1）根与系数的关系的变形拓展式的求值； （2）利用根与系数的关系求代数式的值； （3）利用根与系数的关系求方程中的未知参数。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ①； ②。 2.常见变形 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8） 【即学即练】 1．已知是方程的两根，则的值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系， 利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，然后化简代数式并代入计算． 【详解】解： 是方程的两根， 由根与系数的关系，得， 则． 故答案为 ：5． 2．已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分母有理化．根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，掌握先对代数式因式分解，再利用韦达定理代入计算是解题的关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 4．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值． 根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 5．若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，另一个根为 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 根据根与系数关系先求出另一个根，再将，代入原方程，得到关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， 设另一个根为， 则， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 题型01 根与系数关系的基础应用 【典例1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． （1）考查方向：根据方程求、；根据两根和或两根积求简单代数式；已知方程一个根，利用两根和或两根积求另一个根；由两个根反推方程中的简单关系。 （2）核心方法：先把方程化为一般形式，再确定a,b,c，最后代入根与系数关系。已知一个根时，可优先用两根和或两根积求另一个根；若常数项较简单，常用积的关系更快。 【变式1】若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再根据根与系数的关系，得到两根之和m和两根之积n，代入得到一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断图象不经过的象限即可． 【详解】解：整理原一元二次方程得 ， ∵两根之和为 ，两根之积为 ， ∴， ， ∴一次函数解析式为 ， ∵一次项系数 ，常数项 ， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 【变式2】若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 【变式3】已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【详解】∵实数、是关于的方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B 【中考链接】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 题型02 根与系数关系的变形拓展式求值 【典例1】已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A．6 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：． （1）考查方向：把含两根的复杂代数式转化为和的形式，进行变形拓展式求值。 （2）核心方法：先变形，后代入；尽量转化为两根和与两根积。​ 【变式1】若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】若，是方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后再运用分式的加减运算法则计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 【变式3】已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 【变式4】设是方程的两根，则(　　) A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及算术平方根，若是一元二次方程的两个根，则．先求出，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 而， 且， ∴ ∴， 故选：B． 【变式5】已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 【中考链接1】若方程的两个根是和，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 【中考链接2】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型03 根的定义与根的系数关系综合求值 【典例1】设，分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，先利用根的定义求出的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根 ∴ ∴ ∵分别为该方程的两个实数根 ∴（一元二次方程的两根之和为） ∴ 故选：D． （1）考查方向：已知 m,n 是方程的两个根，求含、、等代数式的值；利用某个根满足原方程进行降次；将高次式转化为低次式；再结合两根和、两根积进行整体代换。 （2）核心方法：先利用“根满足方程”降次，再利用“两根和、两根积”整体代换，最后化简求值。核心思路是：根的定义负责降次，根与系数关系负责整体求值。​ 【变式1】若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B．13 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根与系数的关系可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故选A． 【变式2】已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得 ． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 【中考链接】已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（ ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 题型04 据根与系数关系求参数 【典例1】若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ） A．或1 B． C．1 D．1或4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∵一元二次方程有两个根， ∴， ∴， ∴； 故选C． （1）考查方向：已知两根的和、积或倒数和求参数；已知两根互为倒数、互为相反数、满足某个代数关系求参数；含参数方程中，利用和表示根的关系；求出参数后结合实根条件进行检验。 （2）核心方法：用根与系数表示根的关系—列参数方程—求参—检验。​ 【变式1】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】若关于的方程的两根互为倒数，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，是关于的一元二次方程，为常数)的两个实数根，则 ． 根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值． 【详解】解：设是方程的两根， ， ∵两根互为倒数， ∴， 解得或2； ∵方程有两个实数根，， ∴当时，，舍去， 故的值为． 故选：C． 【中考链接】若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为a，b， 由题意得：，， ∴， ∴，解得：， 经检验：是分式方程的解， 检验：， ∴符合题意， ∴． 故答案为：2． 题型05 根与系数关系、判别式相关的综合应用 【典例1】已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． （1）考查方向：根据方程有实数根求参数范围；根据有两个不相等实数根确定参数条件；结合根与系数关系求参数；证明方程恒有实数根；在新定义问题中利用两根关系建立方程；在几何、函数背景中把边长、图象性质等转化为根的和与积。 （2）核心方法：判别式定根的存在与范围，根与系数关系定两根的数量关系，最后结合题意检验​ 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）把代入方程，因式分解法解方程即可； （2）求出判别式的符号，即可得证； （3）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ∴或， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∴不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵ ∴ ∴， 整理，得 ∴． 【中考链接】设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2) 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）略 A组·基础过关 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 2．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 3．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程化为一般形式，求出得到点坐标，再根据对称特征求对称点坐标即可． 【详解】解： ，其中， ∴，，即点坐标为， ∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于y轴对称的点为． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得，再解得，即可作答． （2）结合一元二次方程的根与系数的关系，得，，再代入，求出或，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 即， 整理得：， 解得：； （2）解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：或， 由（1）得， 则． B组·能力提升 6．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 7．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 8．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 9．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，将所求代数式变形后，结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，即． ． ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得． 代入，得 ． 10．已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． C组·拓展延伸 11．若实数满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 12．若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简绝对值，分两种情况当和分别求解，当时，解出x， 不满足题意，当时，则，然后再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则，即， ∵， ∴或，不满足题意， 当时，则， ∴， ∵方程有实数根， ∴当时，即， 解得（舍去）或， 把代入， 得，即， 解得：（不是正数，舍去）， 当时，即， 解得或， 设和为的两根， ，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根， ∴，， 解得：， 综上：． 13．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 14．如果，且满足，，那么代数式_________ 【答案】2037 【分析】由已知条件可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到和的值. 再将用含的式子替换，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，且满足，，即、， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系得：，， ，， ． 15．已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． (1)当时，求证：方程总有实数根； (2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵ ∴方程总有实数根． (2)解：以a、b、c为边长的三角形是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，方程总有实数根， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ，． ∴①；②． ②①得：，即，所以，即． ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 【分析】（1）利用条件得到，代入判别式，通过完全平方公式证明； （2）利用根与系数的关系写出根的和与积的表达式，对两式平方后相减，推导出，再用勾股定理逆定理判断三角形形状． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。 2.掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。 3.能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。 教学重难点 1.重点 （1）根与系数的关系的基本式子； （2）根与系数的关系的变形拓展式； 2.难点 （1）根与系数的关系的变形拓展式的求值； （2）利用根与系数的关系求代数式的值； （3）利用根与系数的关系求方程中的未知参数。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ； ② 。 2.常见变形 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8） 【即学即练】 1．已知是方程的两根，则的值为___________． 2．已知方程的两个解是，那么__________． 3．设，是方程的两个实数根，则的值为________． 4．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 5．若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 题型01 根与系数关系的基础应用 【典例1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B． C．3 D．5 （1）考查方向：根据方程求、；根据两根和或两根积求简单代数式；已知方程一个根，利用两根和或两根积求另一个根；由两个根反推方程中的简单关系。 （2）核心方法：先把方程化为一般形式，再确定a,b,c，最后代入根与系数关系。已知一个根时，可优先用两根和或两根积求另一个根；若常数项较简单，常用积的关系更快。 【变式1】若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【中考链接】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型02 根与系数关系的变形拓展式求值 【典例1】已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A．6 B．2 C． D．3 （1）考查方向：把含两根的复杂代数式转化为和的形式，进行变形拓展式求值。 （2）核心方法：先变形，后代入；尽量转化为两根和与两根积。​ 【变式1】若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【变式2】若，是方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式4】设是方程的两根，则(　　) A． B． C．3 D．5 【变式5】已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【中考链接1】若方程的两个根是和，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【中考链接2】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 题型03 根的定义与根的系数关系综合求值 【典例1】设，分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 （1）考查方向：已知 m,n 是方程的两个根，求含、、等代数式的值；利用某个根满足原方程进行降次；将高次式转化为低次式；再结合两根和、两根积进行整体代换。 （2）核心方法：先利用“根满足方程”降次，再利用“两根和、两根积”整体代换，最后化简求值。核心思路是：根的定义负责降次，根与系数关系负责整体求值。​ 【变式1】若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B．13 C． D． 【变式2】已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 【中考链接】已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（ ） A．175 B．210 C．245 D．365 题型04 据根与系数关系求参数 【典例1】若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ） A．或1 B． C．1 D．1或4 （1）考查方向：已知两根的和、积或倒数和求参数；已知两根互为倒数、互为相反数、满足某个代数关系求参数；含参数方程中，利用和根的关系；求出参数后结合实根条件进行检验。 （2）核心方法：用根与系数表示根的关系—列参数方程—求参—检验。​ 【变式1】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A． B． C．或 D．或 【变式2】若关于的方程的两根互为倒数，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【中考链接】若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 题型05 根与系数关系、判别式相关的综合应用 【典例1】已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． （1）考查方向：根据方程有实数根求参数范围；根据有两个不相等实数根确定参数条件；结合根与系数关系求参数；证明方程恒有实数根；在新定义问题中利用两根关系建立方程；在几何、函数背景中把边长、图象性质等转化为根的和与积。 （2）核心方法：判别式定根的存在与范围，根与系数关系定两根的数量关系，最后结合题意检验​ 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【中考链接】设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． A组·基础过关 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．3 B． C．10 D． 2．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 3．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． B组·能力提升 6．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） A．16 B．11 C．9 D．7 7．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（ ） A． B．2 C． D．4 8．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 9．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 10．已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． C组·拓展延伸 11．若实数满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D．或 12．若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 14．如果，且满足，，那么代数式_________ 15．已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． (1)当时，求证：方程总有实数根； (2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $