暑假预习：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程讲义-2026年八升九暑假数学（人教版）

暑假预习：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程讲义 暑假预习：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程讲义 考点目录 配方法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 考点一 配方法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 目标：把方程 化成 的完全平方形式，再开平方求解。 1. 完全平方公式： 1. 配方法标准步骤： ① 化二次项系数为 1； ② 常数项移到等号右侧； ③ 两边同时加一次项系数一半的平方，配方； ④ 写成完全平方式； ⑤ 右边 开平方， 无实数根。 1. 适用场景：求二次函数最值、代数式最值、推导求根公式、无法因式分解的方程。 二、解题原理 1. 等式性质：方程两边同时除以同一个非零数、同时加减同一个代数式，等式不变； 1. 构造完全平方式，将含未知数部分整合为平方，把一元二次降为一元一次方程； 1. 平方根定义：若 ， 则 ； 则 ；负数无实数平方根。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 例2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 例3．（25-26八年级下·河南开封·期末）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接开方法求解；（2）配方法求解． 【详解】（1）解：， 直接开平方得：， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 配方，两边加 4： ， ， 开平方：， 解得：，． 例4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，． 例5．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， 解得． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 变式2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 变式3．（25-26八年级下·北京顺义·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项，得， 配方，等式两边同时加1，得， 整理，得， 开平方，得， 解得，． 变式4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）解一元二次方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， ， 所以， 所以或， 变式5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解； （2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， 或； 解得：或； （2）， ， ， ， ， 所以或， 解得：或． 考点二 公式法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 由配方法推导通用求根公式： 对 ，判别式 1. 判别式根的情况： · ：两个不相等实数根； · ：两个相等实数根； · ：无实数根。 1. 解题前提：方程先整理成一般式 ，准确找出 、、。 二、解题原理 1. 先用配方法得到通用求根公式，无需每次配方，直接代入系数计算； 1. 先算判别式判断有无实数根，无根可直接停止计算； 1. 代入公式化简得到方程两个根，是万能解法，所有一元二次方程均可使用。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解答本题的关键． 方程利用公式法求解即可． 【详解】解： 整理，得， ∵， ∴， ∴ 解得： 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 例3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， 移项，得， 化二次项系数为1，得， ， ， ， 解得． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解方程即可． 【详解】解：移项得， 合并同类项得， ，，， ， 由求根公式得， 解得：，． 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，， ∴ 解得，． 变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)该方程在实数范围内无解 (3) (4) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值与0作比较，判断出方程根的情况，当判别式大于等于0时，代入求根公式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）解：， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 考点三 因式分解法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 理论依据：若 ，则 或 （零乘积原理）。 1. 常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。 1. 步骤： ① 移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； ② 将左边二次三项式分解为两个一次因式乘积； ③ 令每个因式分别等于 0，解两个一元一次方程得到根。 1. 适用：左边容易因式分解的方程，计算最快。 二、解题原理 1. 利用“乘积为 0 则至少一个因式为 0”，把二次方程拆成两个简单一元一次方程； 1. 先统一右侧为 0，不能直接拆分等式两边因式； 1. 优先提公因式，再用乘法公式、十字相乘分解，降低计算量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 例2．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 或， 即原方程的根是，． 例3．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，把右侧整体移到左边，提取公因式，利用因式分解法求解一元二次方程． （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解:， ， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得:,． （2）解：， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得：，． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，. 变式2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】先将一元二次方程合并同类项，再按照因式分解解方程即可求出答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得，    因式分解得，               或，              ． 变式3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由十字相乘因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项、合并同类项，再由完全平方公式因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）解：， ， 则， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程讲义 暑假预习：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程讲义 考点目录 配方法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 考点一 配方法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 目标：把方程 化成 的完全平方形式，再开平方求解。 1. 完全平方公式： 1. 配方法标准步骤： ① 化二次项系数为 1； ② 常数项移到等号右侧； ③ 两边同时加一次项系数一半的平方，配方； ④ 写成完全平方式； ⑤ 右边 开平方， 无实数根。 1. 适用场景：求二次函数最值、代数式最值、推导求根公式、无法因式分解的方程。 二、解题原理 1. 等式性质：方程两边同时除以同一个非零数、同时加减同一个代数式，等式不变； 1. 构造完全平方式，将含未知数部分整合为平方，把一元二次降为一元一次方程； 1. 平方根定义：若 ， 则 ； 则 ；负数无实数平方根。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 例3．（25-26八年级下·河南开封·期末）解方程： (1) (2)． 例4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 例5．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 变式3．（25-26八年级下·北京顺义·期末）解方程：． 变式4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）解一元二次方程：． 变式5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 考点二 公式法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 由配方法推导通用求根公式： 对 ，判别式 1. 判别式根的情况： · ：两个不相等实数根； · ：两个相等实数根； · ：无实数根。 1. 解题前提：方程先整理成一般式 ，准确找出 、、。 二、解题原理 1. 先用配方法得到通用求根公式，无需每次配方，直接代入系数计算； 1. 先算判别式判断有无实数根，无根可直接停止计算； 1. 代入公式化简得到方程两个根，是万能解法，所有一元二次方程均可使用。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）解一元二次方程：． 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 例3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程：． 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 考点三 因式分解法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 理论依据：若 ，则 或 （零乘积原理）。 1. 常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。 1. 步骤： ① 移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； ② 将左边二次三项式分解为两个一次因式乘积； ③ 令每个因式分别等于 0，解两个一元一次方程得到根。 1. 适用：左边容易因式分解的方程，计算最快。 二、解题原理 1. 利用“乘积为 0 则至少一个因式为 0”，把二次方程拆成两个简单一元一次方程； 1. 先统一右侧为 0，不能直接拆分等式两边因式； 1. 优先提公因式，再用乘法公式、十字相乘分解，降低计算量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）解方程：． 例2．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 例3．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）解方程： (1) (2) 变式2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：． 变式3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $