13.2.2三角形的中线、角平分线、高 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的中线、角平分线、高及重心等核心概念，通过“连一连”复习旧知，结合动点问题引发思考，以三角形边的关系为学习支架，衔接新知探究。 其亮点在于通过动手画图、实例分析（如重心平衡框架）培养几何直观和空间观念，结合推理证明（边的关系推导）发展推理意识，用符号语言规范表达。助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

13.2.2 三角形的中线、 角平分线、高 学习目标 理解三角形的中线、角平分线、高等概念，了解三角形的重心的概念. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. 会画出任意三角形的中线、角平分线、高. 复习导入 连一连. 线段中点 角平分线 垂线 a = b a b 1 2 ∠1 = ∠2 它们在三角形中是什么样的？ 复习导入 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？ 任意画一个△ABC，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，有几条线路可以选择？ ① BA → AC ② BC 线路②更短：两点之间线段最短. 哪条线路较短？理由是什么？ 三角形的两边之和大于第三边. 这说明三角形的边之间有什么关系？ C A B 你能证明这个结论吗？ C A B 证明：对于任意一个△ABC， 如果把其中任意两个顶点看成定点， (例如B，C) 由“两点之间，线段最短”，可得 AB + AC > BC. 同理有 AC + BC > AB， AB + BC > AC. 这样，我们就证明了，三角形的两边之和大于第三边. C A B AB + AC > BC. 进一步，由不等式②③，移项可得 AC + BC > AB， AB + BC > AC. 这就是说，三角形的两边之差小于第三边. ② BC > AB – AC， BC > AC – AB. ③ 已知三角形的三边长分别为 3，8，x，则 x 的取值范围是______________. 三角形的任意两边之和大于第三边 5 ＜ x ＜ 11 三角形的任意两边之差小于第三边 x < 8 + 3 x > 8 – 3 x < 11 x > 5 对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 现有 12 条已知长度的线段： 试一试 任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长. 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况： ① ② ③ 因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形. 判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、9cm、5cm； （2）6cm、8cm、10cm. 解：（1）不能，因为 3 cm + 5 cm < 9 cm； （2）能，因为 6 cm + 8 cm > 10 cm， 10 cm – 6 cm > 8 cm. 已知三条线段，如何简单有效地判断能否组成三角形？ 计算两条较短的线段的和，若比最长的线段长，则可以组成三角形；若小于或等于，则不可以组成三角形. 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 教材P6 例题 A B C 如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D. 所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线. D ∴ AD 是△ABC 的中线. 几何符号语言： F 你能画出几条中线？ E 三角形有3条边，所以一个三角形有3条中线. 探究新知 知识点1 三角形的中线 知识点1 三角形的中线 画出直角三角形和钝角三角形的中线. A B C D F E A B C A B C F D E F D E 你发现了什么？ 三角形的三条中线相交于三角形内一点 三角形的重心 三角形的重心的实际意义 图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上. 一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心. 保持平衡 教材P8练习 第2题 A B C D F E CD AC AF BF 针对训练 知识点2 三角形的角平分线 如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D. A B C F 几何符号语言： 你能画出几条角平分线？ D E 三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线 ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线. 1 2 提示：可以折一折，或用量角器 角的平分线是一条______， 三角形的角平分线是一条_______. 射线 线段 1 2 A O C A B C 辨析提示 1 2 知识点2 三角形的角平分线 画出直角三角形和钝角三角形的角平分线. A B C A B C 你发现了什么？ 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点 F D E F D E A B C F D E 教材P8练习 第2题 A B C F D E 1 3 4 2 ∠2 ∠ABC ∠4 ∠ACF 针对训练 2. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAC 的平分线，则 BD = ________ = BC，∠BAE = _________ = ∠BAC. DC ∠CAE A B C E D 针对训练 知识点3 三角形的高 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？ A B C 垂线在三角形内是什么？ 知识点3 三角形的高 如图，从△ABC的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D. A B C 几何符号语言： D ∴AD是△ABC的高. ∵AD⊥BC(∠BDA =∠CDA = 90°) ， 所得线段 AD 叫作△ABC 边 BC 上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 知识点3 三角形的高 A B C D E F O 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高交于三角形内一点. 这个点叫作三角形的垂心. 画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 知识点3 三角形的高 画出直角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 A B C 直角边BC边上的高是_____； 直角边AC边上的高是_____； AC BC 斜边AB边上的高是_____； D CD 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点在直角顶点处. 知识点3 三角形的高 画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 A B C D E F 三条高的交点在三角形外部. O 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高交点的位置 三角形内 直角顶点上 三角形外 归纳总结 1.如图，AC⊥BC，CD ⊥ AB ，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法不正确的是（ ） A. AC是△ABC的高 B. DE是△BCD的高 C. DE是△ABE的高 D. AD是△ACD的高 C C A B D E √ √ √ △BCD或△BDE或△CDE 针对训练 针对训练 2. 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ） C A. B. C. D. A D C B A D C B A D C B A D C B 随堂演练 教材P8练习 第1题 1. 如图，过△ABC 的顶点 C，分别画出它的中线、角平分线和高. A B C D E F 解：如图，AD，AE，AF 分别是 △ABC 的中线、角平分线和高. 2. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线. （1）AC = ____AE =____EC； CD =______； AF =____AB； （2）若 S△ABC = 12 ，则 S△ABD =____. A B C D E F 2 2 BD 6 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 随堂演练 3. 如图，CM 是△ABC 的中线，△BCM 的周长 比△ACM 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，则 AC 的长为____cm. A B C M 分析： CM 是中线 C△BCM – C△ACM = 3 cm AM = BM BC – AC = 3 cm BC = 8 cm AC = 5 cm 5 随堂演练 随堂演练 4. 如图，在△ABC 中，已知 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC = 12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C A B C D E F S△ABD = S△ACD = S△ABC = 6 6 6 S△BDE = S△CDE = S△ABD = 3 3 3 S△BEF = S△BCE = 3 5. 如图，D 是△ABC 的边 AC 上一点，DE//BC 交 AB 于点 E，若∠EDB = ∠EBD，试说明：BD 是△ABC 的角平分线. 解：∵DE//BC，∴∠EDB =∠DBC. 又∵∠EDB =∠EBD， ∴∠EBD =∠DBC. 所以 BD 是△ABC 的角平分线. A B C E D 随堂演练 课堂小结 三角形的重要线段 高 中线 角平分线 A B C E D F A B C D A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F 课后作业 从课后习题中选取； 完成练习册本课时的习题. $