1.2 二次函数的图象 培优练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象性质与变换，以"基础巩固-能力提升-综合探究"分层设计，通过阶梯式题型培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|图象性质（开口、对称轴）、简单变换|选择题1-5（图象识别、平移）、填空题9（顶点式转化）| |能力提升|综合性质判断、对称变换、参数范围|选择题6-8（与正方形结合求a范围、代数推理）、填空题10-11（顶点坐标规律、多结论判断）| |综合探究|函数与几何综合、实际应用|综合题12-14（与线段交点、面积问题）、实践探究题15（"好点"情境创新）|

1.2二次函数的图象 培优练习 一、选择题 1．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 3．已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，且．有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 6．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1 7．已知点(x0，y0)是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上一个定点，而(m，n)是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0，则以x0为根的关于t的方程是（　　） A．at－2b＝0 B．at＋2b＝0 C．2at－b＝0 D．2at＋b＝0 8．已知二次函数的图像如图，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9． 已知二次函数可以写成，则的取值范围是　 　． 10．已知二次函数（a为常数）． （1）若，则二次函数的顶点坐标为　 　； （2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是　 　． 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1），其中结论正确的有　 　（填序号） 三、综合题 12．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。 （1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ； （2） 求抛物线的对称轴； （3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围． 13．如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标； （3）对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点. 图1 图2 图3 （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为　 　； （3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值. 四、实践探究题 15．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为“好点”.P为抛物线的顶点. （1）当m=0时，求该拋物线下方（包括边界）的“好点”个数. （2）当m=3时，求该抛物线上的“好点”的坐标. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图象经过一、二、四三个象限，反比例函数的图象位于一、三象限； 故答案为：A． 【分析】根据二次函数图象与系数的关系并结合图象判断、、的正负，再取特定点，令代入判断的正负，由此判断两个函数图象所在象限即可求解。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线， 故答案为：D 【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：①当a＞0时，b2-4ac＞0；当a＜0时，b2-4ac＜0； ②当x=-1时，a-b+c＜0； ③∵b＜c，∴-b+c＞0，∵a-b+c＜0，∴a＜0； ∴由a＜0，A和B选项不符合题意； 根据C和D的图象可得，c＜0，∵b＜c ∴b＜0 二次函数的对称轴x=-＜0， ∴D选项符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断。 4．【答案】B 【解析】【解答】 解：抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且， 抛物线开口向下，a<0，故①错误； 抛物线开口向下， 对称轴为 ， 当x=-2时，函数有最大值，且最大值为4a-2b+c， 对任意实数m都有：， ，故②正确； 对称轴为 ，且c>0， 当x=-4时，函数值大于0， 即16a-4b+c>0，移项得： ，故③正确； 对称轴为， 点（0，c）的对称点为（-4，c）， 抛物线开口向下， 当时， ，当时，，故④错误. 正确结论的个数为2个. 故答案为：B. 【分析】根据抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，可得开口向下，即可判断①；根据对称轴为，可知x=-2时取最大值，即可判断②；根据抛物线的对称性以及c>0，可得x=-4时，函数值大于0，即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：由抛物线得： 其对称轴为直线：， ∵抛物线与抛物线关于直线对称， ∴其对称轴也关于直线对称， ∴抛物线的对称轴为直线x==-1， 解得：m=1， ∵抛物线与y轴的交点为（0，-5）， ∴（0，-5）关于直线对称的点为（2，-5）， ∴（2，-5）在抛物线上， ∴， 解得：n=-2. 故答案为：D. 【分析】由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线x==-1，从而可求得m的值；由抛物线交y轴于点(0，-5)，可得点(0，-5)关于直线x=1对称的点( 2，-5)在抛物线上，进而求得 n=-2. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知： ≤a≤3. 故答案为：A. 【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：y0= ax02＋bx0＋c， n=am2＋bm＋c， ∴ a(y0－n)=a2x02＋abx0＋c-a2m2-abm-c =a2x02＋abx0-a2m2-abm =-a2m2-abm+a2x02＋abx0， 设w=-a2m2-abm+a2x02＋abx0 ∵对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0， ∵-a2<0， ∴△=（-ab）2-4（-a2）×（a2x02＋abx0）， =a2（b2+4abx0+4a2x02） =a2（2ax0+b）2≤0， ∵a2（2ax0+b）2≥0，a≠0， ∴2ax0+b=0， ∴x0是关于t的方程2at＋b＝0的根. 故答案为：D. 【分析】先根据条件列出a(y0－n)的表达式，整理化简，由于对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0， 可知关于m的一元二次方程的△≤0，据此列式，化简整理最后得出一个完全平方式形式，从而推出2ax0+b=0，则x0是关于t的方程2at＋b＝0的根. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确； 由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 则，，，故，故①错误； 当时，，即，当时，，即，故②错误； 当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故④正确； 当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故答案为：B 【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对①②③④⑤逐一判断即可求解。 9．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为： 【分析】根据题意顶点式转化为一般式，进而对比系数即可求解。 10．【答案】（1） （2） 【解析】【解答】（1）由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）； （2）设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=． 故答案为：． 【分析】（1）根据二次函数可知顶点坐标为（2a，a-1），令代入计算即可求解； （2）设顶点坐标为（x，y），可得x=2a，再运用等量变换，消掉a，即可得到y关于x的关系式。 11．【答案】③④ 【解析】【解答】 解：①∵图像开口向下， ∵a＜0， 又∵图像与y轴正半轴相交， ∴c＞0， ∵对称轴在y轴右边， ∴-＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②由图像可知当x=-1时，函数值小于0， ∴a-b+c＜0， ∴a+c＜b， 故②错误； ③由图像可知当x=2时，函数值大于0， ∴4a+2b+c＞0， 故③正确； ④由图像可知函数对称轴x=-=1， 即a=-b， 由②知a-b+c＜0， ∴-b-b+c＜0， 即3b＞2c， 故④正确； ⑤由图像可知当x=1时，函数取得最大值， ∴a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞am2+bm， 故⑤错误； 综上所述：结论正确的有③④. 故答案为：③④. 【分析】①根据图像开口向下可得a＜0，由图像与y轴正半轴相交得c＞0，结合对称轴在y轴右边可得b＞0，从而可判断①错误； ②由图像可知当x=-1时，函数值小于0，从而可判断②错误； ③由图像可知当x=2时，函数值大于0，从而可判断③正确； ④根据图像的对称轴可得a=-b，再将此式代入②中a-b+c＜0，即可判断出④正确； ⑤由图像可知当x=1时，函数取得最大值，从而可得x=1处的函数值大于x=m（m≠1）的函数值， 从而可判断⑤错误. 12．【答案】（1）解： 点 向右平移2个单位长度，得到点 ； （2）A与B关于对称轴直线 对称， 抛物线对称轴直线 ； （3）∵对称轴直线 ， ， ， 时， 如图 ， 当x=2时，， 当y= 时，= ， 解得x=0或2， 观察图象可知，线段PQ与抛物线无交点； ②若a<0时， 当y=2时，2= ， 解得：x=或， 如图， 当≤2时， 观察函数图象可知：a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点， 综上，a的取值范围是：a≤. 【解析】【分析】(1)根据坐标平移的特点，即上加下减，左减右加，求B点坐标即可； (2)由于A、B两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式可得抛物线的对称轴表达式； (3)根据对称轴直线x=-1，求出a与b的关系式，则可得出 ， 然后分两种情况讨论，即 时， 时，先分别画出图象的草图，用数形结合的方法分析求解即可. 13．【答案】（1）解：函数的图象与轴相交于， ， ， （2）解：假设存在点，过点作轴于点， 的面积等于6， ， 当， ， 解得：或3， ， ， 即， 解得：或（舍去）． 又顶点坐标为： 1.5，． ， 轴下方不存在点， 点的坐标为：； （3）解：点的坐标为：， ，， 当， ， 设点横坐标为：，则纵坐标为：， 即， 解得 或（舍）， 在抛物线上仅存在一点 ． 【解析】【分析】（1）将（0，0）代入可得k的值，进而可得二次函数的解析式； （2）假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D，根据三角形的面积公式可得x的值，然后求出AO、BD，令y=BD，求出x的值，然后结合顶点坐标可得点B的坐标； （3）根据点B的坐标可得∠BOD=45°，利用勾股定理可得BO，当∠POB=90°时，∠POD=45°，设P点横坐标为x，则纵坐标为x2-3x，即-x=x2-3x，求出x的值，进而可得点P的坐标. 14．【答案】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得：， ∴ （2）； （3）解：依题意，有抛物线的解析式为， 因抛物线经过点， ∴ ∴ 【解析】【解答】解：（2）∵， ∴抛物线的顶点为， ∵顶点关于原点的对称点为， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式。将点和点代入，即可求解； （2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式； （3）根据二次函数的图象及性质求解。利用平移的规律得到抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求得m的值． 15．【答案】（1）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图甲所示，“好点”的个数为5. （2）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图乙所示，抛物线上的“好点”的坐标分别为. 【解析】【分析】（1）将m=0代入函数解析式，可得到y=-x2+2，画出函数图象，可作出判断. （2）将m=3代入函数解析式，再画出函数图象，可得到此抛物线上的抛物线上的“好点”的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $