26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 暑假自学同步练（基础版） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 二次函数图象和性质专题训练（基础版）含40道选择题，覆盖顶点式转化、图象性质等8模块，分层递进巩固基础，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础版|顶点式转化、图象性质、系数符号|以选择题型为主，从单一知识点（如顶点坐标求解）到综合应用（如函数图象与系数符号关系判断）| |基础版|函数最值、对称性应用|结合表格数据与图象分析，适配暑假基础巩固，逐步提升符号意识与空间观念|

2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质专题训练（基础版） 一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 2．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 4．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 5．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 二、y=ax²+bx+c的图象与性质 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 7．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 8．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、顶点坐标和对称轴，再利用二次函数的增减性比较，和的大小，即可得到正确结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 9．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 10．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 三、二次函数图象与各项系数符号 11．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 12．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 13．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 14．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 15．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 四、一次函数、二次函数图象综合判断 16．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 17．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 18．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 19．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 20．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，运用数形结合的方法是解题的关键． 先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致，即可得出答案． 【详解】解：A、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，故本选项符合题意； D、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 五、根据二次函数的图象判断式子符号 21．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 22．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 23．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 24．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 25．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 26．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【答案】C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 27．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 28．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 29．点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 30．二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 【详解】解：根据题意，得是对称点， 抛物线的对称轴为直线， 故选：． 七、根据二次函数的对称性求函数值 31．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 32．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 33．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 34．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答． 【详解】解：∵时， ∴是方程的一个根； ∵与时y值均为2， 故对称轴为， 设另一个根为， 则与关于对称，即； 解得 ∴方程的根为，， 故选：C． 35．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴可以大致画出图象如图， ∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界） ∴点、、、必在区域内． 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域内有6个整点， 当代入抛物线解析式，得， 解得：， 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域有8个整点， 将代入抛物线解析式，得， 解得：， ∴当时，区域恰有6个整点． 故选：D． 八、y=ax²+bx+c的最值 36．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 37．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 38．如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】通过构造全等三角形，将的长度转化为关于线段长度的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】解： 是等腰直角三角形，为中点， ， ， ， ， 过点作交直线于点， ， ， 又在 中，， ， 在 和 中 ， ， ， ， 设，则， 点在直线上，点在直线上，， ， 在 中，， ， 当时，取得最小值 4， 的最小值为2． 39．已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将表示为关于的二次函数，确定的取值范围，再根据二次函数的顶点位置的最值情况即可． 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 40．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质专题训练（基础版） 一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 3．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 4．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 5．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 二、y=ax²+bx+c的图象与性质 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 8．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 10．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 三、二次函数图象与各项系数符号 11．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 12．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 13．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 14．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 四、一次函数、二次函数图象综合判断 16．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 17．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 18．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 19．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 20．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 五、根据二次函数的图象判断式子符号 21．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 22．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 23．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 24．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 26．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 27．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 28．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 29．点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 30．二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 七、根据二次函数的对称性求函数值 31．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 32．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 33．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 34．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 35．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 八、y=ax²+bx+c的最值 36．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 37．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 38．如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 39．已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 40．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $