26.2二次函数y=ax2+k的图像和性质 暑假自学同步练 2026年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习分基础过关与能力提升两层，基础聚焦二次函数概念与性质辨析，能力侧重综合应用与实际问题解决，形成从单一到综合的知识巩固路径，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|函数值计算、增减性、顶点坐标、对称轴等基本性质|单选题为主，直接考查概念辨析与性质判断，如给定抛物线判断顶点坐标、比较函数值大小| |能力提升|图像平移/旋转、几何综合（与正方形结合）、实际应用（车灯反射镜）|含单选与解答题，通过动态变换、几何图形融合、实际情境问题，考查综合推理与应用能力，如抛物线平移后交点问题、根据顶点与交点确定解析式|

2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数的图像和性质专题训练 基础过关 一、单选题 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得 2．下列函数中，的值随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据一次函数与二次函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对于选项，是开口向上的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是开口向下的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是一次函数，，根据一次函数性质，可得的值随值的增大而增大，∴符合要求． 对于选项，是一次函数，，可得的值随值的增大而减小，∴不符合要求． 3．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 4．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 5．已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小． 通过直接代入抛物线方程计算两点纵坐标值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选：A． 6．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 7．下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 8．二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 9．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，对称轴为y轴，比较各点横坐标的绝对值，绝对值越大，函数值越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线方程为 ∴开口向上，对称轴为， ∵抛物线上有三点，，，且 ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ ． 故选：D． 能力提升 一、单选题 1．当时，下列函数中，随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解此题的关键． 根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解． 【详解】选项A：为一次函数，， 当时，随增大而减小； 选项B：为二次函数，，对称轴， 当时，随增大而减小； 选项C：为反比例函数，， 当时，随增大而减小； 选项D：为二次函数，，对称轴， 当时，随增大而增大． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，正方形的性质．可得，即，根据正方形的性质以及二次函数的对称性可得，再代入函数解析式求解． 【详解】解：连接，交于点 当， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则 解得， 故选：B． 3．下列函数中，当时，随的增大而减小的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，根据二次函数的性质和一次函数的性质即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为轴，开口向下，当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； B. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，，对称轴为轴，开口向上，当时，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；     故选：A． 4．若函数，当函数值时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分段函数. 将分别代入两段函数计算即可. 【详解】解：将代入得，， 解得x或， ∵， ∴； 将代入得，， 解得， 故自变量x的值为或． 故选：B． 5．若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性，是解题的关键． 根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大， ∵，，都在二次函数的图象上，且, ∴． 故选：B． 6．如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的变换，根据旋转的性质，得到两条抛物线的开口方向相反，顶点关于原点对称，对称轴相同，即可得出结论． 【详解】解：的图象的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为：， ∴抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线的开口向下，顶点坐标为：，对称轴为轴， ∴这两条抛物线的变化情况不同，对称轴相同； 故选D． 7．如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 二、解答题 8．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和， ∴此抛物线的大致图象如下图所示： （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 9．如图①，直线与抛物线：交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，则点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示），点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示） (3)如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，当抛物线与直线只有1个交点时，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C的坐标，根据轴得到点D的纵坐标为，进而求出点D的坐标； （3）先求出直线解析式，再求出直线在时的两点和的坐标，根据平移的性质得到的解析式，根据图象求出抛物线与直线只有1个交点时，的取值范围． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点C的坐标为， 轴， 点D的纵坐标为， 点D在直线上， 将点D的纵坐标为代入得： ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得： 解得， 直线的解析式为， 当时，，直线对应点为， 当时，，直线对应点为， 将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， 则的解析式为， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点， 则， 解得， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有两个公共点， 则， 解得， 当抛物线与直线有唯一公共点时， ， 整理得， ， 解得， 当时，当抛物线与直线只有1个交点时，的取值范围为或． 10．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 11．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数的图像和性质专题训练 基础过关 一、单选题 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，的值随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 5．已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 7．下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 8．二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 能力提升 一、单选题 1．当时，下列函数中，随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 3．下列函数中，当时，随的增大而减小的是(   ) A． B． C． D． 4．若函数，当函数值时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 5．若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 7．如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 9．如图①，直线与抛物线：交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，则点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示），点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示） (3)如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，当抛物线与直线只有1个交点时，直接写出的取值范围 10．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 11．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $