暑假自学同步练——二次函数y=a（x−h）2+k的图象与性质分层专题训练（2026年人教版九年级数学上册）

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖二次函数图象与性质全知识点，从基础概念到综合创新，适配不同能力学生暑假巩固需求，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层基础过关|二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向、平移规律等基本概念|单选+填空，直接应用公式，强化概念记忆与基础运算能力| |B层能力提升|函数值比较、含参数二次函数、平移综合应用|解答题融入推理证明（如证明顶点在定函数上），培养运算能力与逻辑推理意识| |C层综合创新|最值探究、关联抛物线、实际情境中的函数应用|综合解答题结合开放探究（如“互为关联”抛物线），发展创新意识与模型观念|

2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数 y=a（x−h）2+k的图象与性质专题训练 A层 基础过关 一、单选题 1．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 5．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．二次函数的最小值为__________． 9．已知函数，当时，y的取值范围____________． 10．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 11．已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 12．抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． B层 能力提升 一、单选题 1．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 二、填空题 6．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 7．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 8．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 三、解答题 9．已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 10．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)当x取何值时，？ C层 综合创新 一、单选题 1．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 二、填空题 3．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 4．如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 三、解答题 5．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． (1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； (2)若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数 y=a（x−h）2+k的图象与性质专题训练 A层 基础过关 一、单选题 1．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 2．二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 5．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 7．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 二、填空题 8．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 9．已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 10．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 11．已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 / 【分析】先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较两个函数值的大小即可． 【详解】∵抛物线解析式为， 又∵， ∴抛物线开口向上，由顶点式可知对称轴为直线， 根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵点，的横坐标都满足，，即两点都在对称轴右侧，且， ∴． 12．抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． B层 能力提升 一、单选题 1．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 2．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 3．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 5．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键． 求出抛物线的顶点为，可以得到顶点在直线上． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵为任意实数， ∴顶点坐标满足， ∴顶点总在直线上． 故选：B 二、填空题 6．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 7．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 8．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 三、解答题 9．已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】(1)①；②2 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握其图像性质是解题的关键． （1）将代入得到二次函数，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，验证顶点坐标是否在二次函数上即可； （3）由（2）可知该二次函数开口向下，对称轴为，根据当时，总有，说明当时，随的增大而减小，据此解答即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数， ①该函数的顶点坐标为， 故答案为：； ②由①知该函数的顶点坐标为， 由于， 则当时，该函数的最大值为2， 故答案为：2； （2）证明：二次函数， 则顶点坐标为， 将代入得， 因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为， 当时，总有， 则当时，随的增大而减小， 由于该二次函数开口向下，对称轴为， 则， 故答案为：． 10．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)当x取何值时，？ 【答案】(1)顶点，对称轴； (2)当时，y随x的增大而减小 (3)当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将函数解析式一般式化为顶点式为解题关键． （1）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定对称轴，顶点； （2）根据对称轴左右两侧图象的上升和下降趋势确定函数的增减性； （3）求出抛物线与x轴的交点的横坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ， 顶点，对称轴； （2），对称轴，抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小． （3）解方程 得或， 因为， ∴当1 < x < 3时， C层 综合创新 一、单选题 1．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解析式写出和，作差整理后结合已知绝对值的关系即可得到结论． 【详解】解：由题意，得 ，， 两式作差，得 ， 等式两边同乘，得 ． ∵ ， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即，故C符合题意． 2．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 平移该抛物线的顶点始终在直线上， 设平移后抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为， 当时， 可得：， 整理得：， ， 有最大值， 即当时，取最大值，最大值为． 故选：A． 二、填空题 3．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 4．如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据“互为关联”的定义，需找到另一抛物线，其顶点在给定抛物线上，且给定抛物线的顶点也在该抛物线上，通过设另一抛物线的顶点坐标，代入条件求解即可． 【详解】解：给定抛物线的顶点为， 设另一抛物线方程为，则顶点坐标为， 根据题意，， 将点代入得，即， 将代入得，整理得， 由于顶点不同，则，故，即， 取，则， 故另一抛物线可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 5．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． (1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； (2)若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 【答案】(1) (2)①1；1 【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可； （2）①过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解； ②过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．由，可知当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，过点P作直线与直线成角，过点C作交x轴于F，解直角三角形得到F点坐标为，可求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，然后根据进行求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴该抛物线顶点P的坐标为； （2）解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P点坐标为， ∵P为抛物线的顶点， ∴P点坐标为， ∴， ∴M点坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴c的值为1； ②∵， ∴当取得最小值时，的值最小． 由①知，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴C点坐标为，顶点P坐标为， ∵， ∴， 如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接． 在中，， ∴， ∴当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值， 在中，， ∴，即， 过点C作交x轴于F， ∴， 在中，，即， ∴，即F点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $