3.3 垂径定理 暑假预习同步训练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级数学上册“3.3垂径定理”暑假预习同步练，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到综合能力的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|垂径定理直接应用|选择1-5题、填空9-10题，如已知弦长与圆心距求半径，夯实概念理解| |中档|垂径定理与直径、折叠等结合|选择6-8题、填空11-12题，如折叠圆中求线段长，提升空间观念| |提升|垂径定理综合证明与计算|解答13-18题，如结合切线、坐标系证明线段关系，发展推理能力与模型意识|

3.3垂径定理暑假预习同步训练浙教版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,连接BC,若∠DCB=30°，⊙O的半径为6，则 BC的长为() A A.6 B.6V5 C.3 D.3V5 2.某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点A、C、D在⊙O上，点B是CD的中 点，且AB经过圆心O,若AB=25cm,CD=30cm,则⊙0的半径是() 地面 0 C B 地下 A.18cm B.17cm C.16cm D.15cm 3.已知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两条弦，AB川CD,AB=30cm, CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() A.7cm或23cmB.14cm或46cm C.7cm D.23cm 4.如图已知AB为半圆O的直径，AC,AD为弦，且AD平分∠BAC.若AB=6,AC=2 ,则AD的长为() D A26 B.5 C.4v2 D.45 5.如图，AB是O0直径，C,D是OO上的点，CD⊥AB于点E,OF L BC于点F, OF=3,则AD的长为() A D A.3 B.4 c.5 D.6 6.如图，⊙0 的直径MB上弦CD于E,若CD=4,BD=V5 则B的长为() A.5 B.2 c.5 D.6 0如图折叠，折痕4B长为16， 10⊙0 16C AB OC 7.将半径为的 为折叠后”的中点，则的长为 () C A.1 B.v② C⑤ D.2 8.如图，OA是⊙0半径，P是OA中点，卫在⊙0上从点A开始沿逆时针方向匀速运动一 周停止，运动时间是6，线段P的长度是m,图2是'随变化的关系图象，则当 t(s)PO 点运动到使P№LOA时，t的值是() Ay/cm 0.5 分 4 1 123 210 A.6 B.3 C.6或6 D. 3或3 二、填空题 9.已知⊙O中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为 cm 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙O的半径OC= D 11.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O, A两点，点的坐标为 (6,0)⊙ V13 P的半径为13，则点P的坐标为. A(6,0)主 12.如图在平面直角坐标系y中，已知⊙0的半径为2，弦AB绕点O旋转一周扫过的区 域记为W,若点 )在区域即内部《包含边界)，弦4B长为m,则m的取值范围是 三、解答题 13.如图，AB为⊙0的直径，C,D为圆上的两点，OC∥BD,OC交AD于点E. D E (1)求证：∠AOC=∠COD (2)若AD=16,CE=4,求⊙0的半径. 14.如图，AB是⊙0 CD⊙O 是 的直径， 是00的弦，CDLAB 于点E,C是 的中点，连接 AF. B E (I)求证：AF=CD (2)若AE=2,AF=10,求⊙0的半径. 15,知图、MB是0的直径，点C在00上，D为C的中点，过店D作 BC 的切线DE ,交AB的延长线于点E,连接CD,BC,BD B (I)求证：DE∥BC: (2)若⊙0的半径为3，DE=4,求CD的长. 16如图1，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，CE⊥AB于O,CE交BD于E, CD交AB于F. A B A B D D 图1 图2 (I)若AD+BC=BD 求DCE的度数： (2)设⊙0的半径为r,求证：CE.BF=2r2: (3)如图2，FG⊥BC于G,GH⊥BD于H,GH交AB于K,求证：OF=BK. 17.如图，AB是⊙ 是 的直径，CDg⊙0 是O0的弦，CDLA 于点，C是 的中点，连接 AF O (I)求证：AF=CD (2)若AE=2,AF=8,求⊙0的半径. 18.已知： 的直径B交弦CD于点E,其中点B CD的中点· G G H O E了D E B B 图2 (I)如图1，若AE=8,EB=2,请求出：弦CD的长； (②如图2，弦CF交O1于点G,其中CG=CD,连接DF,求证： 2DF =3AB 参考答案 1.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.5 109 11.(32) 12 2V2≤m≤4 13.(1)AB是⊙0的直径， .∠ADB=90 又.OC‖IBD .∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD :4C=CD .∠AOC=∠COD (2)解：设⊙0的半径为'， .CE=4, ..OE=OC-CE=r-4 :AD=16,由(1)知，OC⊥AD, 4E-14D-8 2 在Rt△AOE中，由勾股定理AE2+OE2=OA, 82+(r-4)2=2 代入得 解得r=10 因此，⊙0的半径为10 141证明：根据垂径定理得C=D,由S是F的中点即可得C=C示 :AF CD: (2)解：如图，连接OD, B E 由(1)可知AF=CD=10. 设⊙0的半径为r,则OA=OD=r, AE=2, ∴.OE=OA-AE=(r-2) CD⊥AB于点E, 0E-CD-5, ÷在a0DE中，0E2+DE2=0D2,即-2+5=2 解得r29 , 29 .⊙0的半径为4： 15.(1) 证明：连接OC,OD,OD交BC于点F, A DE是⊙O的切线， .DE⊥OD, ∠0DE=90°， ~D为C的中点， :.CD=BD .∠CQD=∠B0D, ..OB=OC. ∴OF⊥BC ∴.∠OFB=90° .∠OFB=∠ODE, ∴.DE∥BC (2)解：过点D作DH⊥B0于点H, :在RtODE中，OD=3,DE=4, ∴.OE=VDO2+DE2=5 S.D0E =ODx DE=OEx DH 1 2 DH=12 , :0H=V0D2-DH= 5, ·BH=OB-OH=6 ·BD=VDH2+BH_6 5, :D为BC的中点， BC ..CD=BD CD=BD=6 5. 16.【详解】(1)先由直径所对的圆周角是直角得到∠4CB=90°，由垂径定理可得 AC=B8C,进而可得AC=BC,等量代换即可得到 D=BD ∴CD=BD, ∠DCB=∠DBC=180P,∠D=67.5 2 .∠DCE=∠DCB-∠0CB=67.5°-45°=22.5° (2)证明：：∠CEB=∠D+∠DCE=45°+∠DCE, ∠FCB=∠OCB+∠DCE=45°+∠DCE, .∠CEB=∠FCB. ∠0CB=45°，∠C0B=90°， ∴.∠CBF=∠OCB=45° .△BCF∽△CEB, :郎C BC CE ∴CEBF=BC2 BC2=C02+0B2BC2=r2+r2=2r2 ，即 ∴CEBF=2r2 (3)证明：如图，过G作GQ⊥BF于Q, B ∠QGK+∠GKQ=90°∠KBH+∠BKH=90°∠GKQ=∠BKH ∴.∠QGK=∠KBH '∠ACD=∠KBH .∠QGK=∠ACD :∠GQB=∠COB=90° ∴.GOICO ∴.∠QGB=∠BC0=45° .'∠AC0=45 ∴.∠QGB=∠AC0=45° ∴.∠BGH+∠QGK=∠ACD+∠FCO=45° .∠BGH=∠FCO :∠BHG=∠COF=90° .∠QGB=45° ∴.∠GBQ=45° ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴BG=FG, :∠ACB=∠FGB=90°， ..ACI FG .∠CFG=∠ACD=∠KBH, BG BH CF BK, BH BG OF CF BH BH OF BK ..OF=BK 17.【详解】(1)解：(1)证明：AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E, .AC=AD C是 的中点， .AC=CF AF=CD ∴.AF=CD (2)解：如图，连接OD, C A 由(1)可知，CD=AF=8 :AB是⊙0的直径，CD⊥AB于点E, :.ED=CD=4 2 设⊙0的半径为r,则OE=r-2, 在Rt△OED中，OE2+ED2=OD2, 即-2+4=r2 解得r=5, .⊙0的半径为5。 18.【详解】(1)解：如图，连接OC, D B AE=8,EB=2, .AB=AE+EB=8+2=10」 :.OC=OB=1AB=5 ∴.OE=OB-EB=5-2=3, “点B为CD的中点，4B为o0 的直径， AB⊥CD,CE=ED-=CD 1 2 在Ra0CE中，CE=V0C2-OE=52-3=4 .CD=2CE=8: (2)解：如图，作直径FM,连接DM, G E C D MB .CD=2CE,CG=CD. :在RtCEG中，cos∠ECG=CE=CE-1 CG 2CE 2 .∠ECG=60° .∴∠DMF=∠ECG=60° :FM是直径， .∠FDM=90°， :.2DF =3FM FM=AB. ..2DF =3AB