第一章 二次函数 暑假预习 基础训练卷（一 ) 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数暑假预习基础训练卷，聚焦二次函数定义、图像性质及实际应用，通过生活情境（如葡萄酒杯设计、喷水装置）与分层设问，适配暑假预习巩固需求，培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二次函数定义、顶点坐标、对称轴、图像平移|结合图像辨析（如第6题方程根的情况），考查抽象能力与几何直观| |填空|4/20|函数取值范围、顶点式解析式、实际应用（杯子高度）|融入文化情境（葡萄酒大赛设计），发展空间观念| |解答题|6/60|解析式求解、利润问题（第15题）、抛物线模型（喷水装置，第16题）|分层设计，从基础计算到综合应用，培养推理能力与模型意识，贴合中考实际应用趋势|

第一章二次函数暑假预习基础训练卷（一）浙教版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知函数，当时，y的取值范围____________． 10．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 11．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 12．若二次函数的图象顶点在 轴的上方，则实数的取值范围是 _____． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 14．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 15．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 16．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 18．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 参考答案 1．B 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 1．B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 3．A 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 4．B 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 5．A 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 6．C 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 7．A 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 8．A 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 二、填空题 9． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 10．11 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 11． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 12． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 13．【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 14．【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 15．【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 16．【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 17．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 18．【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 学科网（北京）股份有限公司 $