第二章 有理数的运算 章末测试卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本试卷为初中数学有理数运算章末测试，涵盖加减乘除、科学记数法等核心知识，通过24点游戏、《周易》二进制等情境设计，融合运算能力与创新应用，适配同步教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数运算、科学记数法、新定义运算|结合24点游戏（第9题）、《周易》二进制（第10题），体现文化传承与创新意识| |填空题|6/18|相反数倒数、非负数性质、乘方应用|设计数值转换机（第14题）、细胞分裂（第15题），强化数学眼光观察现实世界| |解答题|6/52|分段运算、拆项法、规律探究、新定义运算律|劳动实践利润计算（第20题）、裂项求和规律（第21题），培养应用意识与推理能力|

第二章 有理数的运算 章末模拟测试卷 （考试时间：90 分钟 满分：100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．2026 年端午假期，某市共接待游客约 7205000 人次，数据 7205000 用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列有理数简便运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．“霜降” 是二十四节气之一，某日四个城市的最低气温与最高气温如下表所示，其中温差最大的是（ ） 城市 哈尔滨 呼和浩特 济南 杭州 最低温 最高温 A．哈尔滨 B．呼和浩特 C．济南 D．杭州 6．已知有理数，，在数轴上的对应点位置满足，且，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 7．若定义新的运算法则：，例如，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 9．“24 点游戏” 规则：从去掉大小王的扑克牌中任取 4 张，红色牌代表负数，黑色牌代表正数，通过加减乘除混合运算（每张牌用且只用一次）使结果为 24 或。现抽出四张牌对应数字为：黑桃 3、黑桃 4、梅花 6、红桃 2，下列算式能凑成 24 的是（ ） A． B． C． D． 10．《周易》是中国传统思想文化的经典著作，其中蕴含了二进制计数思想。阴爻 “- -” 对应数字 0，阳爻 “—” 对应数字 1，三爻卦从左到右对应二进制的高位到低位。例如 “☲”（阳、阴、阳）表示二进制数，转换为十进制为。若某三爻卦为 “☵”（阴、阳、阴），转换为十进制数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．的相反数的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ；的倒数是 。 12．用四舍五入法取近似值： （精确到 0.01）。 13．若，为有理数，且，则的值为 。 14．某数值转换机的运算程序为：输入有理数 → 乘以 → 加上 5 → 输出结果。若输入的值为，则输出的结果为 。 15．某种单细胞生物每 30 分钟由 1 个分裂为 2 个，分裂后的个体继续按相同速度分裂，经过 3 小时，1 个该生物可分裂成 个。 16．用简便方法计算时，可将原式变形为 （只写出变形后的算式，无需计算结果），利用乘法分配律简化运算。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（本题满分 8 分，每小题 2 分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 18．气象观测统计表明：某山区在海拔 2km 及以内，高度每升高 1km，气温大约下降；海拔超过 2km 的部分，高度每升高 1km，气温大约下降。已知山脚（海拔 0km）的地面气温为，求该山区海拔 5km 处的气温大约是多少摄氏度。 19．（本题满分 8 分）在有理数简便运算中，我们可以将带分数拆成整数与真分数的和，再利用加法运算律简化计算，这种方法称为拆项法。 例：计算 解：原式 （1）请用拆项法计算：。（5 分） （2）请直接写出拆项法用到的核心运算律： 。（3 分） 20．（本题满分 10 分）某校劳动实践基地中，七 (2) 班同学收获了 10 袋苹果，以每袋 20kg 为标准，超过的质量记为正数，不足的质量记为负数，称重记录如下（单位：kg）： ，，，，，，，，， （1）求这 10 袋苹果的总实际质量；（5 分） （2）已知播种时班级以 6 元 /kg 的价格购进苹果种子 10kg，收获后将苹果以 12 元 /kg 的价格全部售出，求本次种植的总利润。（5 分） 21．（本题满分 10 分）观察下列等式，探究规律： ； ； ； 将三个等式两边相加，可得； 请根据以上材料，解答下列问题： （1）仿照上述等式，写出的变形等式： 。（2 分） （2）计算：；（4 分） （3）计算：。（4 分） 22．（本题满分 10 分）在学习有理数运算后，某同学自主探究新定义运算 “”，规则为：对任意有理数，，都有，该运算称为 “差值运算”。 例如：； 【探究一：两个数的 “差值运算”】 （1）计算： ； 。（2 分） （2）根据上述计算结果，判断 “差值运算” 是否满足交换律，并说明理由。（2 分） 【探究二：三个数的 “差值运算”】 （3）类比有理数加法结合律，验证等式是否成立，并判断 “差值运算” 是否满足结合律。（6 分） 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．【答案】C 【解析】本题考查有理数的加法法则。异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：。 【核心知识点】有理数的加法基础运算 【易错点】混淆结果符号，误选 B。 2．【答案】B 【解析】本题考查科学记数法表示较大的数。科学记数法的形式为，其中，为正整数。。 【核心知识点】科学记数法 【易错点】的位数计算错误，误选 C。 3．【答案】C 【解析】本题考查有理数减法法则与省略加号的和的形式。根据 “减去一个数等于加上它的相反数”，原式。 【核心知识点】有理数的减法法则、加减混合运算的形式转化 【易错点】负数变号时符号处理错误。 4．【答案】A 【解析】本题考查有理数运算律的辨析与应用。 A 选项：符合乘法分配律，变形正确； B 选项：乘法结合律分组错误，简便运算应优先组合与，变形错误； C 选项：加法结合律应用时符号错误，移项后符号不变，变形错误； D 选项：除法不满足分配律，拆分错误。 【核心知识点】有理数的运算律（交换律、结合律、分配律） 【易错点】误将除法套用分配律，或忽略运算中数的符号。 5．【答案】A 【解析】本题考查有理数减法的实际应用（温差计算）。温差最高气温最低气温： 哈尔滨：；呼和浩特：； 济南：；杭州：。 因此温差最大的城市是哈尔滨。 【核心知识点】有理数减法的实际应用 【易错点】计算负数减法时符号出错。 6．【答案】B 【解析】本题考查数轴背景下有理数运算的符号判断。由题意得，且。 A 选项：负数绝对值更大，，错误； B 选项：负负得正，再乘正数，，正确； C 选项：，为正且绝对值最大，结果为正，错误； D 选项：，三项均为正，结果为正，错误。 【核心知识点】数轴、有理数加减乘法的符号判断 【易错点】减去负数转化为加正数时符号混淆。 7．【答案】A 【解析】本题考查新定义运算与有理数混合运算，需遵循先内后外的运算顺序。 第一步：计算括号内； 第二步：计算。 【核心知识点】新定义运算、有理数的乘方与乘法混合运算 【易错点】运算顺序错误，或乘方符号判断错误。 8．【答案】B 【解析】本题考查乘方的意义与符号辨析。 A 选项：，，不相等，错误； B 选项：，，相等，正确； C 选项：，，不相等，错误； D 选项：，，不相等，错误。 【核心知识点】有理数的乘方、相反数、绝对值 【易错点】混淆与的底数，导致符号判断错误。 9．【答案】A 【解析】本题考查有理数混合运算的实际应用（24 点游戏）。由题意得四个数字分别为、、、。 A 选项：，符合要求； B 选项：，不符合； C 选项：，不符合； D 选项：，不符合。 【核心知识点】有理数的混合运算 【易错点】忽略红色牌代表负数，误将红桃 2 当作正数计算。 10．【答案】A 【解析】本题考查传统文化背景下的乘方应用（二进制转十进制）。坎卦为阴、阳、阴，对应二进制数，转换为十进制：。 【核心知识点】有理数的乘方、二进制计数 【易错点】数位与指数对应错误，将最右侧爻对应最高次幂。 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】；； 【解析】本题考查相反数与倒数的概念综合。 的相反数是，的倒数是； 倒数等于本身的数是和（即）； 的倒数是。 【核心知识点】相反数、倒数的定义 【易错点】漏写，或倒数的符号判断错误。 12．【答案】 【解析】本题考查近似数与四舍五入法。精确到 0.01 即保留两位小数，看千分位数字，需舍去，故。 【核心知识点】近似数、四舍五入法 【易错点】误将万分位的 9 进位，错误得到。 13．【答案】 【解析】本题考查非负数的性质。偶次方和绝对值均为非负数，两者和为 0 则各自为 0： ；； 因此。 【核心知识点】非负数的性质：偶次方、绝对值 【易错点】符号计算错误。 14．【答案】 【解析】本题考查程序型有理数运算（数值转换机）。根据程序可得运算式：，代入： 。 【核心知识点】有理数的混合运算、程序框图 【易错点】负数乘法的符号计算错误。 15．【答案】 【解析】本题考查有理数乘方的实际应用（分裂增长问题）。3 小时包含 6 个 30 分钟，即细胞共分裂 6 次，每次数量翻倍，总数为个。 【核心知识点】有理数的乘方 【易错点】分裂次数计算错误，误算为 3 次得到结果 8。 16．【答案】 【解析】本题考查乘法分配律的简便运算变形。将接近整数的带分数拆成整数与分数的差，利用乘法分配律简化计算。 【核心知识点】有理数的乘法运算律（分配律） 【易错点】拆项时符号处理错误。 三、解答题（共 52 分） 17．【答案】（1）；（2）；（4）；（4）。 【解析】本题考查有理数四则与乘方混合运算，遵循 “先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内” 的原则，合理使用运算律简化计算。 （1）原式 【核心知识点】有理数的加减混合运算 （2）原式 【核心知识点】有理数的乘除混合运算 （3）原式 【核心知识点】乘法分配律的计算应用 （4）原式 【核心知识点】有理数的乘方、绝对值与混合运算 【易错点】乘方符号错误，如将误算为。 18．【答案】 【解析】本题考查分段情境下有理数运算的应用，需分两段计算气温下降量，再结合初始温度求解。 第一步：计算海拔 2km 以内的气温下降量： 第二步：计算超过 2km 的高度： 第三步：计算超过 2km 部分的气温下降量： 第四步：计算总下降量与最终气温：总气温下降量： 海拔 5km 处的气温： 答：该山区海拔 5km 处的气温大约是。 【核心知识点】有理数加减乘法的分段实际应用 【易错点】忽略分段降温规则，直接用总高度 5km 统一乘以计算，导致结果偏差。 19．【答案】（1）；（2）加法交换律和加法结合律 【解析】本题考查拆项法进行有理数加法简便运算。 （1）解：原式= = （2）拆项法通过重新组合整数部分和分数部分简化计算，核心运用了加法交换律和加法结合律。 【核心知识点】有理数的加法运算律、拆项法简便计算 【易错点】拆项时带分数的符号处理错误，如将误拆为。 20．【答案】（1）；（2）元 【解析】本题考查有理数运算的综合实际应用（劳动生产情境）。 （1）先计算 10 袋苹果的总偏差： 总实际质量： 答：这 10 袋苹果的总实际质量为 201kg。 （2）销售总收入：（元） 种子总成本：（元） 总利润：（元） 答：本次种植的总利润为 2352 元。 【核心知识点】有理数加减乘法的实际应用 【易错点】利润计算时混淆收入与成本的关系。 21．【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】本题考查规律探究类有理数运算（裂项求和）。 （1）根据规律，代入即可得结果。 （2）利用裂项相消，中间项全部抵消： 原式= （3）利用 “前 60 项和减去前 19 项和” 计算指定区间的和： 原式= 【核心知识点】有理数的运算、规律探究、裂项相消法 【易错点】末项的指数对应错误，或计算范围出错。 22．【答案】 （1）； （2）满足交换律，理由见解析 （3）等式不成立，“差值运算” 不满足结合律 【解析】本题考查新定义运算的运算律探究。 （1）根据定义计算： ； 。 （2）“差值运算” 满足交换律。 理由：对于任意有理数，， ，， 由绝对值的性质可知， 因此，故满足交换律。 （3）分别计算等式两边： 左边： 右边： 因为，所以等式不成立，故 “差值运算” 不满足结合律。 【核心知识点】新定义运算、绝对值的性质、运算律探究 【易错点】结合律验证时运算顺序错误。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $