第二章 有理数的运算 单元过关测试题 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数运算，通过100分钟120分测试，融合时代情境与文化素材，全面考查运算能力、推理意识及应用意识，适配初中数学有理数单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|相反数、绝对值、科学记数法（如1300万表示）、运算律|结合新能源汽车产量（时代情境）、《九章算术注》算筹（文化传承）| |填空题|5题/15分|近似数、新定义运算（如a⊕b规则）、数轴距离、周期规律|设置符号纠错（如运算符号写错）、个位数字规律探究| |解答题|8题/75分|混合运算、新定义、规律探究（如分数裂项）、实际应用（检修/公交/扑克牌游戏）|通过检修行程、公交乘客等真实情境，考查数学语言表达与模型意识|

· 第二章 有理数的运算 单元过关测试题 · （时间：100分钟 总分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列说法正确的个数是（   ） ① 的相反数是；② 的绝对值是；③ 的倒数是． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（本题3分）十四届全国人大第三次会议于2025年3月5日在北京隆重召开．政府工作报告中指出：我国产业升级有新进展，高技术制造业、装备制造业不断增长，其中2024年新能源汽车年产量突破1300万辆，数据1300万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）把写成省略括号的形式，结果为（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列各组数中，相等的是 （    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（本题3分）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 7．（本题3分）某日天气预报中承德市的气温为，承德市这天的温差（温差＝最高气温最低气温）是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）利用绝对值的几何意义，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 10．（本题3分）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）是一个由四舍五入得来的近似数，它精确到了_________位． 12．（本题3分）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 13．（本题3分）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 14．（本题3分）在数轴上，点、表示的数分别是和6，点表示的数为，点到的距离是点到距离的3倍，则点表示的数为________． 15．（本题3分）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 三、解答题（共75分） 16．（本题12分）计算： (1) (2) (3)(4) 17．（本题8分）已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 18．（本题8分）中考新趋势•新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 19．（本题8分）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)请写出第5个等式：________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）________； (3)根据上述规律，计算：． 20．（本题9分）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 21．（本题9分）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 22．（本题10分）某路公交车从起点站台发车，经过四站后到达终点站，已知各站上下车的乘客人数如下（上车为正，下车为负）∶起点，，，，，终点 )． (1)请在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义． (2)行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？此时乘客有多少人？ (3)若该公交车的票价为每人元，则这趟出车能收入多少元？ 23．（本题11分）佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A D D C B C C 1．A 【分析】本题考查了相反数、绝对值和倒数，解题的关键是掌握相关的定义和计算方法，互为相反数的两个数相加为；任意实数的绝对值为；两个互为倒数的非零数相乘为，且没有倒数． 【详解】解： 是的相反数，① 符合题意； ， ，② 符合题意； ， 为的倒数，③ 符合题意． 故选：． 2．D 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中为比原数的整数位数少 1 的正整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．根据科学记数法的表示方法即可得解． 【详解】解：1300万， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，根据减法法则、加法法则省略括号，正号不影响符号，负号改变符号．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查有理数的乘方、相反数及绝对值．根据有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质对各选项分别进行计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A、∵，，∴，不相等，故此选项不符合题意； B、∵，，，不相等，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，不相等，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，相等，故此选项符合题意； 故选：D． 6．D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 7．C 【分析】本题考查有理数的减法，根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，图2中最左边的黑色小棍（所有的黑色小棍整体）表示，最左边的白色小棍（所有的白色小棍整体）表示，据此结合题意即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图2表示的过程是在计算， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法，理解绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键；根据绝对值的几何意义可知的几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和，当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小，即可得解． 【详解】解：几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和， 当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小， 的最小值是， 故选：． 10．C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 11．百 【分析】本题考查了科学记数法，近似数．科学记数法表示的近似数，其精确度由末位数在原数中的数位决定． 【详解】解：， ∵3在中是百位， ∴精确到了百位． 故答案为：百． 12．38 【详解】解：根据新运算的定义，， ． 13．39 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的加减混合运算，先计算原式的正确结果，与错误结果比较得出差值，根据差值判断写错的符号类型及对应的数字，从而确定写错的运算符号位置． 【详解】解：由题知， 因为，且算错的结果为30， 则， 所以是将偶数前面的“-”错写成了“+”． 又因为， 所以数字前面的运算符号为第个运算符号，故写错的是第个运算符号． 故答案为：39． 14．或 【分析】首先根据数轴上两点之间的距离公式得．再根据点到的距离是点到距离的3倍．得．解此方程求出的值即可． 【详解】∵点、表示的数分别是和6．点表示的数为． 又∵点到的距离是点到距离的3倍， 即． 或 由解得：． 由解得：． 综上所述：点表示的数为或 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了数轴上两点之间的距离．解答此题的关键是理解：在数轴上点所表示的数为．点所表示的数为．则之间的距离为． 15．9 【分析】根据已知数据得到的个位数字以四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得到的个位数字． 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （3）先计算乘方，再计算括号里的减法，计算除法，最后计算减法即可； （4）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1)； (2)的值为或． 【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由绝对值的定义和，求出的值，代入求解即可； （2）由绝对值的定义和，求出的值，分两种情况代入求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为或． 18．(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则和有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则可得出关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以， 所以， 解得． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律可得 ； （3）结合上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 则第4个等式为： ∴第5个等式为： 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， 原式 ． 20．(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 21．(1)小明：第一步，小红：第二步 (2) 解： 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 （2）略 22．(1)；的实际意义是到终点站下车的乘客有人 (2)公交车行驶在站和站之间时车上的乘客最多，为人 (3)这趟出车能收入元 【分析】（1）根据上车为正，下车为负计算每一站到站后车上的实际人数，最后得到到达终点站之前车上的人数，即可得到答案． （2）根据（1）中的计算即可得出答案． （3）计算所有站的上车人数乘票价，即是这趟出车的总收入． 【详解】（1）解：起点站到站，车上人数是人， 站到站，车上人数是人， 站到站，车上人数是人， 站到站，车上人数是人， 站到终点站，车上人数是人， ∴到终点站下车的乘客有人． 故答案为：；的实际意义是到终点站下车的乘客有人； （2）解：由（1）可知，公交车行驶在站和站之间时车上的乘客最多，为人； （3）解：这趟出车总收入为：（元）． 答：这趟出车能收入元． 23．(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【分析】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【详解】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 答案第4页，共10页 答案第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $