河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（八） （平行B卷）

**基本信息** 聚焦解析几何与立体几何核心内容，融合阿基米德椭圆面积等数学史情境，通过基础巩固、能力提升、综合应用的梯度设计，适配周测对逻辑推理与空间观念的阶段性培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|直线方程、圆的轨迹与方程、椭圆定义|如第3题结合平面向量判断轨迹为圆，夯实轨迹思想| |多选题|3/18|两圆位置关系、直线过定点|如14题综合公切线、相交弦长，考查空间想象| |填空题|4/20|椭圆焦点三角形、圆的中点轨迹|如16题用椭圆定义求焦半径乘积，强化数学表达| |解答题|4/52|轨迹方程、空间几何夹角与距离、椭圆与圆的综合应用|如21题建系求线线夹角与点面距离，23题结合切线与最值，体现综合思维|

2027届数学作业规范化练习（八） （平行B卷） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 2.已知直线：过定点，点在直线上，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为(    ) A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 4.已知点，，则以为直径的圆的方程为(    ) A. B. C. D. 5.圆与圆有且仅有一条公切线，则(    ) A. B. C. D. 6.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 7.“”是“方程表示椭圆”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 9.阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是(    ) A. B. C. D. 10.设为椭圆上一动点，、分别为椭圆的左、右焦点，已知点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 11.过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为(    ) A. B. C. D. 12.设为椭圆上的一个点，，为焦点，，则的周长和面积分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.已知直线，则 A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 14.已知圆与圆，下列说法正确的是(    ) A. 与的公切线恰有条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 15.已知椭圆：的焦距为，则(    ) A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则          ． 17.已知直线过圆的圆心且与直线垂直．则的方程是          ． 18.点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为          ． 19.已知过点有且仅有一条直线与圆：相切，则           ． 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 已知动点与两个定点，的距离的比是． 求动点的轨迹的方程 直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程． 21.本小题分 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、中点． 求直线和夹角的余弦值； 求点到平面的距离． 22.本小题分 已知椭圆的两个焦点分别是，，且． 求此椭圆的标准方程； 若点在这个椭圆上，且，求的余弦值． 23.本小题分 已知表示圆的方程． 求实数的取值范围； 当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程； 为圆上任意一点，已知，在的条件下，求的最小值． 2027届数学作业规范化练习（八） （平行B卷）答案 一、单选题：1-12每题5分，13—15每题6分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D A B B B 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 A B A D ABD BCD BC 1.【答案】  解：直线的一个方向向量为，斜率为，直线方程，即． 2.【答案】  解：由得，所以直线过定点，依题意可知的最小值就是点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得． 3.【答案】  解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，，，则，，由题意，得即，因此，动点的轨迹是圆， 4.【答案】  解：，，线段中点为，圆的半径， 以线段为直径的圆的圆心坐标为，圆的方程为． 5.【答案】  解：由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，又两圆有且仅有一条公切线，则两圆位置关系为内切，所以，即，解得 6.【答案】  解：设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或， 所以圆心坐标为，圆心到直线的距离都是 7.【答案】  解：若方程表示椭圆，则，解得或， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 8.【答案】  解：的周长为，顶点，，， ，，点的轨迹是椭圆不包含上、下顶点，易知，，，椭圆的方程是． 9.【答案】  解：由题意可得：，可得，，所以椭圆的标准方程为：． 10.【答案】  解：由椭圆的定义可得，所以， 由于当，，共线时等号成立， 由，所以，故，故的最小值， 11.【答案】  解：直线：中，令，可得，所以右焦点， 设，，则的中点， 联立，整理可得：， 所以，，所以， 所以，而，，所以可得，，所以椭圆的方程为：， 12.【答案】  解：是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，，所以椭圆中，，， 设：，，根据余弦定理得：，由于，求得：， 所以的周长，． 13.【答案】  解：直线，令得直线恒过点，A正确． 当时，到直线的距离最大，且最大值为，B正确． 当时，直线的斜率为，C错误． 当时，直线的斜率，则可设直线的方程为，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为，D正确． 14.【答案】  解：由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，则，故两圆相交，所以圆与圆的公切线恰有条，故选项A错误； 两圆的方程相减可得圆与圆相交弦的方程为，故选项B正确； 圆心到相交弦的距离为，故弦长为，C正确； 若，分别是圆，上的动点，则，故选项D正确． 15.【答案】  解：因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，故A项错误； 因为焦距为，所以，解得，椭圆的标准方程为， 所以，，，即椭圆的长轴长是短轴长的倍，故B项正确； 离心率，故C项正确； 椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为，故D项错误． 16.【答案】  【解析】解：方法一：因为，所以， 从而，所以； 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又， 平方得：，所以． 17.【答案】  解：由圆：，可化为：，则圆心为，所以直线经过点，因为直线与直线垂直，直线斜率为，直线的方程是，即． 18.【答案】  解：设，，则，所以，， 又点在圆上，则，即， 所以线段的中点的轨迹方程为． 19.【答案】  【解析】解：过点有且仅有一条直线与圆：相切， 则点在圆上， 则，解得或， 又为圆的方程， 则，即，即， 20.【答案】 解：设点，因为动点与两个定点，的距离的比是， 则，化简得， 即，所以动点的轨迹的方程为 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 可计算得圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，此时圆心到直线的距离是，不符合条件， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，所以， 化简得，解得或， 所以直线的方程是或．  21.【答案】解：因为平面，平面，所以，， 又底面为正方形，所以，则、、两两互相垂直， 如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，、分别是、中点， 则，，，，， 则直线的方向向量，直线的方向向量， ， 所以直线和夹角的余弦值为； 由知，，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 所以点到平面的距离为．  22.【答案】解：依题意：，焦点在轴上， 又，且，，，， 椭圆的标准方程为； 在椭圆上，， ，，又， 由余弦定理得：， 的余弦值为． 23.【答案】解：由题可知：， 该方程表示圆，则，即，解得， 则实数的取值范围为； 令，，开口向下， 对称轴为，当时，圆的面积取得最大值， 此时圆的方程为， 当切线方程斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离等于半径长，即，解得； 当切线斜率不存在，切线方程为，与圆相切于点，满足题意． 即切线方程为，即；另一条切线方程为； 设，则 ， 设，则表示圆上的点与点的距离的平方， 由知，又因为， 则点在圆外面， 所以， 则， 则可知的最小值为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $