河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（四）平行B卷

**基本信息** 2027届高中数学周测试卷（平行B卷），涵盖直线方程、空间几何等知识，通过基础辨析、综合应用与创新情境设计，强化逻辑推理与空间观念，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|直线平行条件、倾斜角、充要条件判断|基础概念辨析，如第1题直线平行的充分必要条件分析| |多选题|3/18|直线位置关系、方向向量与法向量应用|知识综合判断，如第14题线面关系的向量法推理| |填空题|4/20|三点共线、距离最值、数形结合|创新情境转化，如第19题结合华罗庚名言将代数问题几何化| |解答题|4/52|直线方程求解、三角形面积、空间几何证明与线面角计算|逻辑推理与空间想象，如第22题四棱锥中面面垂直证明及线面角正弦值计算|

2027届数学作业规范化练习（四） （平行B卷） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1.已知两条直线：，：，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 3.““是“，两点到直线：的距离相等”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则(    ) A. B. C. D. 6.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于(    ) A. B. C. D. 7.已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 10.以下命题中不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件； 若，则存在唯一的实数，使得； 若，，则； 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ． A. B. C. D. 11.如图，在正方体中，， ，则下列结论中正确的是(    ) A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是(    ) A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 13.已知直线下列选项正确的是(    ) A. 若 B. 若 C. 直线恒过点 D. 若直线在轴上的截距为，则直线的斜截式为 14.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(    ) A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 15.正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的一个动点，则(    ) A. 存在点，使 B. 直线与平面所成角为定值 C. 平面截正方体的截面可能是五边形 D. 当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16.若三点，，共线，则的值为          ． 17.已知直线：和：垂直且，，则的最小值为          ． 18.已知点，，点在直线上运动，则的最小值为          ． 19.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决已知，，则的最小值为            ． 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 已知直线：与直线：，． 若，求的值 若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 21.本小题分 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． 求顶点，的坐标 求的面积． 22.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点． 求证：平面． 求证：平面平面． 求与平面所成角的正弦值． 23.本小题分 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． 证明： 当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 当二面角的余弦值为时，求． 2027届数学作业规范化练习（四） （平行B卷）答案 1-6 ACAAAA 7-12 DBBCCD 1.解：充分性：当时，，满足两线平行的条件． 必要性：当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件． 3.解：，两点到直线：的距离相等， ，解得或，故““是“，两点到直线：的距离相等”的充分不必要条件． 4.解：，而， 由图易得直线的取值范围为：． 5.解：由题意可得直线的斜率， 所以直线的方程为：，令，可得，即， 同理可得直线的方程为：，所以，所以． 6.解：直线与互相垂直，， ，直线即，垂足代入得，， ．把代入，可得，， 7.解：直线，得，此方程是过两直线和交点的定点直线系方程． 设交点为，解方程组，可知两直线的交点为， 故直线恒过定点，如图所示，可知， 8.解：为所在平面上一动点，且， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 故，设，则，其中，故当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围为． 9. 解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点，，． 设，则，，由且，可得，， ，，， 10.解：对，向量同向时，，不满足必要性，错误； 对，当为零向量，不是零向量时，不存在使等式成立，错误； 对，和垂直的向量有无数个，其中任意两个不一定相等，故错误； 对，用反证法，若不构成空间的一个基底， 设，则，即共面， 与为空间的一个基底矛盾，正确； 对，，错误． 11.解：因为为正方体，设正方体棱长为， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 又因为，对于，所以，故A错误； 对于，，故B错误； 对于，又因为，，， 所以，， 所以，，又因为， 所以平面，故C正确；对于，易知平面的一个法向量为， 因为，故D错误． 12.解：在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，，分别为，的中点， 则，，所以， 设，则， 因为，所以， 当时，，当时，，取， 连结，，，，则，， 所以四边形为矩形，则， 即，，又和为平面中的两条相交直线， 所以平面，又， 所以为的中点，则平面，所以为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，因此点不可能是棱的中点， 又，， 所以，则点的轨迹不是正方形，且矩形的周长为， 因为点的轨迹为矩形，所以当点在矩形的四个端点时，取得最大值，线段的最大值为，故选项B错误；故选：． 13. 解：若，则，解得或，经检验，符合，A正确 若，则，解得或，故B不正确由得，则得所以恒过点，故C正确若直线在轴上的截距为，则，得，所以直线的方程为，斜截式为，故D不正确． 14. 解：对于，因为，，即， 且直线，不重合，所以，故A正确；对于，因为，， 即，所以，所以，故B正确； 对于，因为，， 所以，所以，所以，故C错误． 对于，因为，，即，所以，所以，故D错误． 15. 解：对于，如图，以原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，其中， ，符合题意，故A正确； 对于，令在平面所的射影为，连接，则直线与平面所成角，因为为定值，是变化的，故直线与平面所成角不为定值，B错误； 对于，当为的中点时，平面截正方体的截面为五边形，故C正确； 对于，当点与点重合时，平面截正方体的截面为边长为的菱形， 如图，，， 所以截面的面积为，故D正确． 16.  17. 解：由题意得，故， 因为，，由基本不等式得 ， 当且仅当，即，时，等号成立．故答案为：． 18.  设关于直线的对称点为，根据对称性得 解得，最小值即． 19.  解：相当于动点到定点，，，的距离之和，而，，，为矩形， 所以，，所以当为矩形对角线的交点时， ，，且此时的最小值为．故答案为：． 20.解：因为，所以，且， 由，得，解得或舍去所以， 因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为， 易知直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为 令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距之和为， 所以，解得或，所以直线的方程为或．  21.解：设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以解得即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以解得即的坐标为． 因为，，所以． 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为．  22.证明：取的中点，连接，，又为的中点，所以，且， 因为四边形是菱形，所以，，又为的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 证明：作，连接，底面是边长为的菱形，是等边三角形， 所以，则，． 因为，，由余弦定理得． 所以，所以．又，，平面 所以平面．因为平面，所以平面平面． 解：由知平面，， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 因为为的中点，所以 所以，， 设平面的法向量为，由得取，得．设与平面所成的角为，则． 所以与平面所成角的正弦值为． 23.证明：因为，，，所以，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以．解：因为，，所以，则．由可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，当点为棱的中点时，，，，设平面的一个法向量，则即令，解得，，故，设直线与平面所成角为，则，，故直线与平面所成角的正弦值为． 解：由可知，，设，则，设平面的一个法向量，则即令解得，，故，设平面的一个法向量为，由得令，解得，，故，所以，即，整理，得，解得或舍去．故．  学科网（北京）股份有限公司 $