河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（八） （宏奥B卷）

**基本信息** 聚焦椭圆与双曲线核心内容，融合阿基米德历史情境与逻辑推理，梯度设计适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|椭圆方程、离心率、焦点三角形|从基础方程（第1题）到条件判断（第2题），梯度提升| |多选题|3/18|椭圆面积、焦点性质|第14题结合阿基米德求椭圆面积历史，体现文化传承| |填空题|4/20|离心率、直线斜率|第17题通过焦点弦比例求斜率，考查数学思维| |解答题|4/52|椭圆方程求解、直线过定点证明|20题需联立方程与斜率关系推理，培养逻辑推理能力|

2027届数学作业规范化练习（八） （宏奥B卷） 2025.11.10 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 2.已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的左､右焦点分别为､，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．10 6.设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13．在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ） A．恒过点 B．若恒过的焦点，则 C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则 D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点 14.伟大的古希腊哲学家､百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程可以为 B. 若，则 C. 存在点，使得 D. 的最小值为 15.椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为 C. 过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16．设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率是 . 17.已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 . 18.已知椭圆，，，斜率为的直线与C交于P，Q两点，若直线与的斜率之积为，且为钝角，则k的取值范围为 . 19.已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 . 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 21.本小题分已知双曲线C经过点，且渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 22.本小题分已知椭圆的焦距为，且与直线相切.直线与交于两点，为坐标原点，是上的点（异于），直线的斜率分别为. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的值； (3)是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 23.本小题分在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：． (1)求出双曲线的渐近线方程； (2)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； (3)设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：． 2027届数学作业规范化练习（八） （宏奥A卷）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D A A A D 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B A B D 16. 17. 或 18． 19．   1.【答案】C【解析】椭圆的一个焦点为，，，，椭圆方程为．故选:C 2.【答案】C【解析】若曲线 表示椭圆，则 ， 故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故选:C 3.【答案】B【解析】因为，所以. 因为的周长为，所以，所以， 所以椭圆的离心率为，故选:B 4.【答案】D【解析】设直线方程为， 联立方程组得则. 因为为钝角，所以. 因为 ，所以. 因为当时，三点共线，不符合题意，所以.故选:D 5.【答案】A 【解析】由椭圆的定义，知，， 所以的周长为， 所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为.故选:A 6.【答案】A【解析】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点，可得，即，因为为钝角三角形，则，可得，即，即，又因为，可得，即， 即，且，解得，即椭圆的离心率的取值范围为.故选：A. 7.【答案】A【解析】根据题意设，代入椭圆方程可得； 两式相减可得，整理可得； 又因为的中点坐标为，可得； 因此过两点的直线斜率为， 又和的中点在直线上，所以，即，可得； 又易知，且，计算可得； 所以椭圆的方程为，代入的中点坐标为，得，则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点. 故选：A 8.【答案】D【解析】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 所以，即， 设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以， 所以，即，所以， 当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式， 所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又因为A为椭圆上顶点，所以，当点位于圆的上顶点时，， 当点位于圆的下顶点时，，所以，故选:D 9．【答案】B【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于，所以，即， 设椭圆的焦距为，离心率为，则，可得.故选：B. 10．【答案】A【详解】令代入双曲线的方程可得. 由，可得，即为，即有①. 又恒成立，只要求出的最小值即可. 由双曲线的定义，可得，，即 由共线时， 取得最小值，可得， 即有②，由，结合①②可得，e的范围是. 故选：A. 11．【答案】B【解析】如图：的外接圆半径：. 设，，所以. 所以.又，所以. 由得.又， 所以，又，所以. 故选：B 12．【答案】D【解析】如下图所示：可知， 双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线， 因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 设，可得，所以；由可得， 在中利用正弦定理可得，可得， ； 再利用双曲线定义可得,整理可得， 因此可得.故选：D 13．【答案】ACD【解析】方程可化为， 所以直线恒过点，A正确；设椭圆的半焦距为，则点的坐标可能为或， 若直线恒过点，则，故，矛盾， 直线恒过点，则，故，所以，B错误； 联立，消可得:， 由对任意实数，与总有两个互异公共点， 可得方程有个不相等的实数解， 所以，所以，所以，C正确； 因为， 所以时，则，即时，可得， 此时方程组有且只有一组解，故与有且只有一个公共点，D正确.故选：ACD. 14.【答案】AD 【解析】对于A：由，解得，则椭圆的标准方程为，故A正确； 对于B：由定义可知，由余弦定理可得 ，解得， 则，故B错误； 对于C：当点为短轴的一个端点时，最大， 此时，为锐角，则不存在点，使得，故C错误；对于D： ，当且仅当， 即时，等号成立，故D正确；故选：AD 15.【答案】BD【解析】对于选项，由椭圆的方程知， 所以离心率，故选项不正确； 对于选项B， 由椭圆的定义可得， 所以， 即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确； 对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误； 对于选项D， 圆：， 所以， 故选项D正确； 故选：BD. 16．【答案】 【解析】不妨设椭圆方程为， 则，， 由于,所以由余弦定理可得， 化简得， 由于，所以，故.故答案为： 17.【答案】或【解析】设，，因为， 又A，F，B三点共线，所以，所以， 所以，.又，在椭圆上， 所以，所以，即， 所以，所以，所以，又，所以，所以，由，解得， 当时，直线l的斜率； 当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或. 18.【答案】【解析】设，，， 联立方程组，消去y得，由，即， 所以，，，， 所以，解得（舍去）或． 由为钝角，得，即， 所以，解得， 因为，所以．故答案为：． 19．【答案】【详解】如下图所示，根据题意可得， 设，则直线的方程为，所以直线与轴的交点， 由可得，即， 整理得，即； 又因为P为双曲线右支上一点，所以， 当时，共线与题意不符，即； 可得，整理得，即，解得或（舍）； 即双曲线E的离心率的取值范围为.故答案为： 20．【答案】(1) (2). 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由的面积为，得， 而，又，解得，所以椭圆的方程为. （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则，由， ，解得，不符合题设； 因此直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为， 由消去，得， ，， 由，得，即， 则，整理得， 于是， 整理得，而，则，当且仅当时，， 直线PQ的方程为，即，所以直线PQ恒过定点. 21．【答案】(1) (2)为定值. 【解析】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为， 将点代入双曲线方程中可得，故双曲线方程为 （2）由题意可知：直线有斜率，设其方程为， 联立直线与双曲线方程， 设,则， 由于,则， 将代入可得 由于点在直线上，所以，此时，只需要，即可，因此,故直线AM与直线AN的斜率之和为定值.    22．【答案】(1) (2)或 （3）0 ; 或 【解析】（1）因为的焦距为，所以， 由得， 则， 得，则，则的方程为； （2）设，由，得. ，. 设与y轴交于T，则的面积为： . 整理得，得或，则或. （3）设，则 由（2）知，，，则. 假设为定值，则， 要使方程恒成立，则，解得或， 且，故存在定点或，使得为定值0. 23．【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【解析】（1）由双曲线：，即， 可知，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为，即. （2）由（1）可知：的左顶点为， 不妨令过且与渐近线的平行的直线方程为， 联立方程，解答， 即直线与的交点坐标为， 所以围成的三角形的面积.      （3）圆的圆心为，半径， 设直线l的方程为，即，且， 则，可得，即，联立方程，消去y可得， 可得，且，又因为， 则， 所以，即.      — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $