河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（四）宏奥A卷

**基本信息** 2027届上学期数学周测（宏奥A卷）聚焦立体几何与解析几何，通过正方体、三棱柱等模型，考查空间观念、运算能力及推理能力，如解答题23题折叠问题融合空间想象与逻辑推理，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|点面对称、直线斜率、向量共面|基础题如点关于平面对称，注重概念理解| |多选题|3/18|正方体线面关系、直线位置关系|如13题结合线面平行与异面直线，考查辨析能力| |填空题|4/20|二面角、距离最值|17题二面角中线段长度计算，体现空间向量应用| |解答题|4/52|直线方程、四棱锥外接球、折叠问题|23题折叠问题探究二面角，融合空间观念与推理，适配周测能力梯度|

2027届上学期数学作业规范化练习（四） （宏奥A卷） 2025.09.28 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知，，若，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D．2 4．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 8．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 9．已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 10．已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 11．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．点轨迹的长度为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹所围成的图形面积为 12．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 14．已知直线，则（    ） A．若，则或 B．若，则的一个方向向量为 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 15．如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的半径为 C．当异面直线和所成的角为时， D．点F到平面与到平面的距离相等 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16．已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为 . 17．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 . 18．已知，则的最小值为 . 19．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 .    四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分已知直线与直线相交于点，则 (1)求过点且平行于直线的直线 (2)求过点且垂直于直线的直线 21.本小题分如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且，. (1)若平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：； (3)是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上?若存在，求与平面所成角的正切值；若不存在，说明理由. 22.本小题分已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 23.本小题分如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2027届上学期数学作业规范化练习（四） （宏奥A卷）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B D B B D C A C 题号 10 11 12 13 14 15 答案 A D B 16. 17. 18． 19．   1．【答案】A 【解析】由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.故选：A 2．【答案】B 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B. 3．【答案】D 【解析】由已知可得，.又，所以，即，解得.故选：D. 4．【答案】B 【解析】直线在轴上的截距为，点在直线上，又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.故选：B. 5．【答案】B 【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为.故选：B. 6．【答案】D 【解析】由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点， 则，又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：D. 7．【答案】C 【解析】与，，一定共面的充要条件是， 对于A选项，由于，所以不能得出共面. 对于B选项，由于，所以不能得出共面. 对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面. 对于D选项，由得，而， 所以不能得出共面.故选：C 8．【答案】A 【详解】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，.易知直线就是所在的直线.所以直线的方程为.设的重心为，则，所以，即，所以（舍去）或，所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为：.故选：A. 9．【答案】C 【解析】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 10．【答案】A 【解析】由于， 所以 ， 故选：A 11．【答案】D 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则，， 所以，， 又，且平面，平面，所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误；因此点不可能是棱的中点，故A错误； 正三角形边长为，则面积为，故D正确； 点轨迹的长度为，故B错误；故选：D 12．【答案】B 【解析】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，设关于平面的对称点为， 则，设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．故选：B． 13．【答案】AD 【解析】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，则， 则，则，则，又因为平面，所以平面.故选：AD. 14．【答案】BCD 【解析】对A，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率， 对B，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD. 15．【答案】ACD 【解析】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而， 则， 由，得，则， 对于A，，，则，于是，A正确； 对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为， 则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上， 因此，三棱锥的外接球，B错误； 对于C，，由异面直线和所成的角为，得，整理得， 而，解得，C正确； 对于D，， 设平面与平面的法向量分别为， ，令，得， ，令，得， 而，则点F到平面的距离， 点F到平面的距离，显然，D正确.故选：ACD 16．【答案】/ 【解析】将直线化为一般方程可得，由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.故答案为： 17．【答案】 【解析】由已知，，,，所以， 所以，故答案为： 18．【答案】 【解析】， 设在直线上，点，，则，， 则, 如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长， 设，则，解得，即，故，所以. 19．【答案】 【解析】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面，故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为．故答案为：. 20．【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由解得，即， 因为直线的斜率为，所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. （2）因为直线的斜率为，所以点且垂直于直线的直线的斜率为所以直线为：，化简得. 21．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为平面与平面的交线为，则平面，平面，所以 （2）因为平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以 （3）根据题意以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设四棱锥的外接球的球心，半径为， 所以，解得：， 所以，则， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，则，， 所以平面的法向量为 设与平面所成角为，则， 因为与平面所成角，则 所以与平面所成角的正切值 22．【答案】(1)；(2)当时，两直线平行，当时，两直线相交；(3)4， 【解析】（1）由直线不经过第四象限，又， 则，解得； （2）令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 23．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量，则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ，解得， 令，得，则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $