河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（六）宏奥A卷10.26

**基本信息** 试卷聚焦高中解析几何核心内容，通过基础题型与综合探究题的梯度设计，强化几何直观与逻辑推理能力，适配周测对知识巩固与思维提升的双重需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|直线方程、圆的位置关系、斜率范围|如第4题结合线段交点求斜率范围，考查数形结合| |多选题|3/18|两圆相交、平行四边形性质|第13题综合判断圆心距、公切线条数及公共弦，强调推理严谨性| |填空题|4/20|轨迹方程、弦长计算、对称问题|第18题通过两平行线间距离与最值，培养空间观念| |解答题|4/52|圆的实际应用、切线综合|第21题航海触礁问题构建模型，第23题切线定点探究发展创新意识|

2027届数学作业规范化练习（六） (宏奥A卷) 2025.10.26 1、 单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线经过点，且方向向量，则的方程为(    ) A. B. C. D. 2.直线与直线的距离为(    ) A. B. C. D. 3.圆与圆的公切线的条数是(    ) A. B. C. D. 4.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知圆和圆都和轴正半轴相切，且圆心都在直线上，半径之差为，则(    ) A. B. C. D. 6.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.已知直线与圆：交于，两点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 9.如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是(    ) A. B. C. D. 10.已知圆：，圆：，圆上存在点，过作圆的两条切线，，若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 11.设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则直线必过定点(    ) A. B. C. D. 12.已知向量，满足，，若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.已知圆与圆，则(    ) A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 14.已知，，，且四边形是平行四边形，则(    ) A. 直线的方程为 B. 是直线的一个方向向量 C. D. 四边形的面积为 15.已知实数，满足，则下列选项成立的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16.已知为圆上的动点，点，，若为常数，则          ． 17.直线与圆相交所得弦长为          ． 18.已知，分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为           19.已知二元函数的最小值为，则正实数的值为______． 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分已知点在圆上运动，，，点为线段中点． 求点的轨迹方程 已知，，求的最大值． 21.本小题分如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过三点． 求圆的一般方程 在圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 22.本小题分 已知圆圆心在轴上，且过点，两点． 求圆的方程 设点，以线段为直径的圆与圆交于，两点，求线段长度的最小值． 23.本小题分 已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切． 求圆的方程； 设点，过点作直线与圆交于两点，若，求直线的方程； 设是直线上的点，过点作圆的切线，切点为求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 2027届数学作业规范化练习（六） (宏奥A卷)答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A A B B C A D 题号 11 12 13 14 15 答案 B D AB 16.  17. 18． 19．  7.解：设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又点在直线上，所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选：． 8.解：直线可化为，由， 可得，，所以直线过定点，设， 将圆：化为标准式为， 所以圆心，半径，， 当时，的最小，此时． 故选：． 9.解：如图， 可求出直线的方程为，设点关于直线的对称点为， 则 解得即， 点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程的长为．故选A． 10.解：圆：的圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为． 若过点作圆的两条切线，切点为，，，，又， 则四边形为正方形，则， 则的轨迹是以为圆心，半径的圆，其方程为． 若圆上存在这样的点，则圆与有公共点， 则有，解得．故选：． 11.解：设，，因为点在直线上，不妨设因为直线，为圆的切线，，为切点，可知，，所以有，可知直线的方程为，即为，结合，可得，，所以直线必过定点 故选B 12.解：由题意，可建立如图所示直角坐标系，其中，，， 则令，，， 设，则，， ，， ， 所以问题等价于当点在线段：上运动时，求的最小值， 设点关于：的对称点为，则，解得， ， 当且仅当为直线与线段的交点时取得最小值， 这时由，得，符合题意，故选：． 15.解：对于选项A，令，由，可得，由判别式，解得，即的最大值为，正确 对于选项B，设，则表示直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，解得，所以可知的最小值为，正确 对于选项C，，表示圆上的点到直线的距离的倍，其最大值为，错误 对于选项D，因为，所以，且，所以当时，的最小值为，错误． 故选AB． 18.解：因为，，所以直线与间的距离为， 又，故，过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或舍去， 则，连接交直线于点， 过作于，连接，有，， 即四边形为平行四边形，则， 即有， 显然是直线上的点与点，距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为．故答案为． 19.解：由题意得， 其几何意义为：点与点，，的距离之和，如图所示：   设点，，，则求的最小值即可， 以为旋转中心，将绕点顺时针旋转至，连接，，， 则，均为等边三角形，所以，， 所以，取等号时，，，四点共线，即，又， 所以，化简可得， 左右同时平方，根据，解得， 故答案为：． 20.【答案】解：设点，，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动，所以， 代入得， 化简得； ， 因为，所以， 所以的最大值为．  21.【答案】解：依题意，， 设过、、三点的圆的方程为， 则有，解得， 所以圆的方程为； 由知，圆的圆心，半径， 依题意，该船初始位置为点，且该船航线所在直线的斜率为， 则该船航线所在直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以该船没有触礁的危险． 22.【答案】解：依题意，设圆的方程为， 将点，代入圆方程得：，解得： 即圆的方程为：； ，， 以为直径的圆的方程为：， 整理得：， 由知圆的方程为：，即， 得直线的方程为：， 点到直线的距离为，， ，， ，，，， 当时，， 即线段长度的最小值为．  23.【答案】解：设圆心，， 则由直线和圆相切的条件：， 则，解得负值舍去，即圆的方程为． 若直线的斜率不存在，即， 代入圆的方程可得，即有，成立； 若直线斜率存在，可设直线：，即为， 圆心到直线的距离为， 由，即有， 则，即，解得， 则直线的方程为； 所以直线的方程为：或． 证明：由于是直线上的点， 设，由切线的性质可得， 则经过，，三点的圆，即为以为直径的圆， 则方程为， 整理可得， 可令，且， 解得，或，． 则有经过，，三点的圆必过定点， 所有定点的坐标为，．  学科网（北京）股份有限公司 $