河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学学科规范化练习（十三）（平行A卷）

**基本信息** 本卷聚焦数列、解析几何、立体几何核心模块，通过基础概念辨析（如数列定义）、跨模块综合应用（如椭圆与抛物线交汇）、创新情境设计（如“心形”曲线）的梯度布局，适配周测对知识巩固与思维提升的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|数列定义、轨迹方程、空间向量|考查数学眼光，如第1题辨析数列函数本质| |多选题|3/18|曲线综合、正方体点线面、数列前n项和|体现数学思维，如第14题结合空间坐标系分析位置关系| |填空题|4/20|双曲线中点弦、数列通项、椭圆与圆最值|强化运算能力，如第16题用点差法求直线方程| |解答题|4/52|直线与圆、双曲线综合、立体几何面面垂直与夹角、轨迹方程与定值问题|突出数学语言表达，如第22题融合几何证明与空间向量计算，第23题探究定值培养推理意识|

2027届数学作业规范化练习（十三） （平行A卷） 一、单选题（每题5分） 1．下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 2．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（    ） A． B． C．2 D． 4．椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 5．若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列， ，，，，…，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 10．在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 11．椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题（每题6分） 13．如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 14．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（      ） A．，，，四点共面 B．与所成角的大小为 C．在线段上存在点，使得平面 D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 15．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．单调递减 三、填空题（每题5分） 16．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 17．已知数列的前n项和为，且满足，则的通项公式为 . 18．椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 19．数列中，，则 ． 四、解答题 20(12分)．已知直线和. (1)求证：直线过定点，且此定点在内； (2)若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 21（13分）．已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 22（13分）．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，， (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 23（14分）．在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值． 试卷第1页，共3页 2027届数学作业规范化练习（十三）答案 （平行A卷） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B C B D B A 题号 11 12 13 14 15 答案 A D ACD ABD AB 1．C 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误；对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误．故选：C 2．B 【详解】设，则，整理可得， 所以点的轨迹方程是.故选：B. 3．A 【详解】由题可知，，且， 故，， 则， 所以，即的长为. 故选：A. 4．C 【详解】由题意可得，所以，根据椭圆定义有：， 两边同时平方得：，①因为，所以， 根据勾股定理可得，② 将②代入①中得，解得， 所以；故选：C 5．B【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时，则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上，所以.故选：B. 6．C 【详解】由数列，可化为数列，可得数列的第项为，所以第项为.故选：C. 7．B 【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即.不妨取，又，则直线的斜率为，所以直线为，联立，消去整理得：，解得：，，即点的横坐标为，由此可得：，即得：. 故选：B 8.D【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：，在双曲线的一条渐近线上，又，，即；由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为， ，解得：，双曲线方程为：，即.故选：D. 9．B 【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，   设双曲线的右焦点为，由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 10．A 【详解】因为，，， 令，则，即，且，可得， 可知数列的一个周期为3，所以.故选：A. 11．A 【详解】因为抛物线的焦点为，则抛物线方程可写为， 若，则，由椭圆的定义得，所以，，由抛物线的定义得，所以点的横坐标， 代入抛物线方程得，， 所以， 即，所以.所以椭圆的离心率. 故选：A. 12．D 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，故，而，，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积，可得，设，由的倾斜角为， 得，， 于是由，得，又，则， 解得，故的虚轴长为．故选：D． 13．ACD 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或（舍去）， 取直线和直线； 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 若点到直线，即的距离，解得或（舍去），取直线和直线； 以直线为临界，结合图形可知：若直线与曲线有2个交点，则或，所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，且两平行线间距离为，所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确；故选：ACD. 14．ABD. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，即， 则，解得，即共面， 又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确； ，则，， 因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则，由，得，由，得，即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误；，则，，又，则， 又平面，平面，因此平面，点到平面的距离即为点到平面的距离为定值，又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确. 15．．AB 【详解】因为数列的前项和，所以当时，，所以， 当时，不符合上式，所以，故C不正确； 所以，故A，B正确； 当时，，当时，， 所以数列先增后减，故D不正确.故选：AB. 16． 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：，则，满足题意； 直线的方程为：. 17． 【详解】当n＝1时，；当时，． 综上，．故答案为：． 18．【详解】 椭圆，，， 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， ， ，，当在的延长线与椭圆交点时取等号，，，故答案为：． 19．．/ 【详解】因为，所以，，，…所以.所以.故答案为： 20【详解】（1）直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点，        因为，所以点在内部； （2）的方程可化为，所以的圆心为，半径.         因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以直线的方程为. 21【详解】（1）对双曲线，令，得， ∴当与轴垂直时，． 由得，即，故， ∵，∴，∴的方程为． （2）①不合题意． ②设， 联立得，， ∴， ，解得， ，∴直线方程为， 故，同理， ∴ ∴当时，． 22【详解】（1）平面，平面，. 是矩形，.，平面，平面， 平面.平面，.又，，平面，平面，平面.平面，.又，，平面，平面，平面.又平面，平面平面 . （2）因为底面是矩形，平面，所以两两垂直， 所以可分别以射线为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，. 因为，，垂足为E，所以E是PC的中点， 由题意可得，，，，， 所以，，. 由（1）知平面，所以是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 则取，得，，所以是平面的一个法向量.，所以平面与平面的夹角的余弦值为 23【详解】（1）设，依题意，，两边平方并整理，得， 所以曲线C的方程为. （2）设， 依题意，设直线l的方程为， 由消去y并整理，得， 则， 则， 由（1）知，， 若直线l交曲线C于M，N两点，且，则直线l与相交， 由消去y并整理，得， 则， 于是，从而， 要使为定值，则，即， 则实数λ的值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $