河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（五）平行A卷

**基本信息** 本卷聚焦立体几何与解析几何，通过单选、多选、解答等题型，考查空间向量、线面关系、直线与圆等知识，注重逻辑推理与空间想象，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|空间向量（2）、线面关系（3）、直线与圆（8）|基础概念辨析，如第3题充分必要条件判断| |多选题|3题|基底性质（14）、轨迹问题（15）|逻辑推理，如14题基底构成判断| |填空题|4题|圆方程（16）、光线反射（17）|实际应用，如17题反射光线方程| |解答题|4题|向量运算（20）、二面角计算（23）|综合应用，如23题四棱锥证明与二面角求解|

2027届数学作业规范化练习（五） （平行A卷） 一、单选题 1．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 3．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 8．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 9．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 10．已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 11．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 12．过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，若点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 14．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，使得 B．也构成空间的一个基底 C．若，则直线与异面 D．若，则，，，四点共面 15．直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为. B．直线与平面所成的角为定值． C．点到平面的距离的最小值为. D．的最小值为-2． 三、填空题 16．已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为 ． 17．一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 . 18．已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为 ． 19．在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 ． 四、解答题 20．已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； 21．在中，已知顶点，AB边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的方程． 22．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 23．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，． （Ⅰ）求证：直线平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （Ⅲ）设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为，求点M到底面ABCD的距离． 试卷第2页，共2页 2027届数学作业规范化练习（五） （平行A卷）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A B C D A C 题号 11 12 13 14 15 答案 A C BC BCD BC 1．D 由点是点在坐标平面内的射影，则，则，得.故选：D. 2．B 由题意，选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误．故选：B． 3．A 当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 4．B 连接． 故选：B. 5．A 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 6．B 解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则，有 故． 已知，故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以，所以．故选B． 7．C 设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为.故选：C 8．D 由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 9．A 设圆心，则，化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号，故选：A. 10．C 由圆的方程，可知圆心，半径， 直线过定点， 因为，则定点在圆内， 则点和圆心连线的长度为， 当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时， 由圆的弦长公式可得，故选：C 11．A 解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 12．C 直线即为， 令，则，故； 直线即为直线， 令，则，故； 又因为和满足， 即直线和垂直， 则点P在以为直径的圆（不含点）上，线段的中点为， ， 故以为直径的圆的方程为（不含点）， 设，其中， 则 ，其中为辅助角，， 当时，取到最大值，符合题意， 故的最大值是，故选：C 13．BC 对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误.故选：BC. 14．BCD 由题意知，三向量不共面，所以错误； 若三向量共面，则有， 化简有：，因为不共面， 则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B正确； 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故C正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D正确．故选：BCD 15．BC 直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形， 又，则和都是等边三角形， 设与相交于点，由，以为原点，为轴， 为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，， 点在四边形及其内部运动，设，， 由，有， 即， 所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点的轨迹的长度为， A选项错误； 平面的法向量为，， 直线与平面所成的角为，则， 又由，则， 所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确； ，设平面的一个法向量为， 则有，令，得，， 所以点到平面的距离， ，所以时，， 所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确； ， ，其几何意义为点到点距离的平方减12， 由，点到点距离最小值为， 的最小值为，D选项错误.故选：BC. 16． 设圆的方程为， 则由题意可得，解得， 所以圆的方程为故答案为： 17． 由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即.故答案为： 18．由题意可得：，∵点E在直线上， ∴， 又∵，则， ∴，故点E的坐标为.故答案为： 19．/ 解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.   因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则，所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 20．（1）或；（2）5. 解：∵空间中三点，，，所以， ，∴， （1）∵，且，设，∴， ∴，∴，∴或； （2）∵，， 且向量与互相垂直，∴，解得，∴的值是5. 21．（1）；（2）． 解：由内角的平分线所在直线方程为知，点B在直线上， 设，则AB中点D的坐标为． 由AB边上的中线所在直线方程为知，点D在直线上， ，解得．点B的坐标为． 设点与点关于直线对称， 则，，解得． 点E的坐标为． 由直线为内角的平分线所在直线，知点E在直线BC上． 直线BC方程为，即． 22．(1) (2) （1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得，所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则，可取， 设平面的一个法向量，则，可取， 则，所以二面角的正弦值为. 23．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)1或者 (Ⅰ)底面ABCD是菱形，， PA平面ABCD,BC平面PAC ，又， 直线平面； (Ⅱ)以点A为坐标原点，AD，AP方向为y轴，z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 则直线PB的方向向量，很明显平面PAD的法向量为， 设直线PB与平面PAD所成角为， 则，. (Ⅲ)设，且， 由于， 故：，据此可得：， 即点M的坐标为， 设平面CMB的法向量为：，则： ， 据此可得平面CMB的一个法向量为：， 设平面MBA的法向量为：，则： ， 据此可得平面MBA的一个法向量为：， 二面角的余弦值为，故：， 整理得 ，解得：或. 由点M的坐标易知点M到底面ABCD的距离为1或者. 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届数学作业规范化练习（五) (平行A卷)答题卷 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 注意事项 ■ 1. 答题前请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 [o] [o] [o] [0] [o] [o] 缺考标记 2.客观题答题，必须使用2B铅 [1] [1] [1] [1] [1] [1] ▣ 笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域 [3] [3] [3] [3] [3] [3] 内作答，超出答题区域书写无 [4] [4] [4 [4] [4] [4] 效。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6 [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 填空题(1~12为单选题，每题5分，；1315为多选题， 每题6分) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 13[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 15[A][B][C][D] 三、填空题（每题5分，共4个小题） 16. 17. 18 19 囚囚■ 第1页共6页 解答题 20.(12分) ㄖ囚■ 第2页共6页 21.(13分) ■ 第3页共6页 逆9详逆嵬 囚■囚 a 0 1 0 ig (ED) 'EE a 9并s嵬 囚■囚 (I)EZ ▣ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■ 第6页共6页