河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（四）平行A卷

**基本信息** 2027届数学周测平行A卷，以直线方程、空间几何为核心，通过解答题21题定点证明与面积最值、22题直三棱柱线面垂直证明，培养模型意识、空间观念与推理能力，适配基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|直线方程、向量运算|基础概念辨析，如第4题轴对称直线方程| |多选题|3/18|直线性质、位置关系|综合判断，如14题直线平行与垂直条件| |填空题|4/20|截距、反射光线|情境应用，如18题入射光线反射问题| |解答题|4/52|直线与方程、空间几何|分层设计，22题结合二面角求线面角，体现空间观念与推理能力|

2027届数学作业规范化练习（四） （平行A卷） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1.已知直线，若，则(    ) A. 或 B. C. 或 D. 2.已知直线过定点，则点到直线距离的最大值是(    ) A. B. C. D. 3.设向量，，且，，则(    ) A. B. C. D. 4.与直线关于轴对称的直线的方程是(    ) A. B. C. D. 5.已知两点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.直线，的斜率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知空间向量满足，，，，则的夹角为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在大小为的二面角中，四边形与都是边长为的正方形，则与两点间的距离是(    ) A. B. C. D. 10.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点含边界，且平面，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 11.已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为(    ) A. B. C. D. 12.如图，点在正方体的面对角线上运动点异于,，则下列结论不正确的是(    ) A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 13.下列说法正确的是(    ) A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 若将直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线的斜率为 14.下列说法正确的是(    ) A. “”是“直线与直线垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. ，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 15.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是(    ) A. 点到直线的距离为 B. 直线到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为            ． 17.已知,，直线：，：，且，则的最小值为          ． 18.已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为          ． 19.设 ，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点异于，，则周长的最大值是__________． 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 已知直线，，其中为实数． 当时，求直线，之间的距离； 当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 21.本小题分 已知直线 证明：直线过定点； 若直线不经过第四象限，求的取值范围； 若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 22.本小题分 如图，在直三棱柱中，点在上，． 证明：平面 若，，二面角的大小为． 求与平面所成角的正弦值 点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 23. 本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． 证明：平面； 若，， 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2027届数学作业规范化练习（四） （平行A卷）答案 1-5 BDBDD 6-10 ACCDB 11-12 CD 13 ACD 14 BCD 15 AD 16. 或  17. 8 18. 19.   20.解：因为直线：，：，时， 则，解得，此时直线的方程为， 所以两条直线间的距离； 当时，则直线的方程为：， 联立，解得，，即两条直线的交点的坐标为， 又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为， 将点的坐标代入可得， 解得．所以直线的方程为．  21. 解：直线的方程可化为， 由，解得故无论取何值，直线总过定点； 直线的方程可化为，则直线在轴上的截距为， 且直线总过定点，故要使直线不经过第四象限， 则，解得； 依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， ，．又且，， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为，此时直线的方程为．  22. 解：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面. 在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 设平面的法向量，由得 取，得，， 所以平面的一个法向量  平面的法向量，所以，解得舍去负值  所以，，所以，． 设与平面所成角为，则． 因为，，，所以． 因为三棱锥的体积为，所以到平面的距离为， 因为在侧面上，可设， 到平面的距离为， 所以在侧面上的运动轨迹是线段，所以的轨迹长度为．  24. 证明：取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面； 解：，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又平面，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，， 为棱的中点， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ，平面的一个法向量为， ，， 二面角的余弦值为； 假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则，， 由知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是， ，．  19. 解：直线：过定点， 直线：，即，可得过定点， 由于，则与始终垂直，又是两条直线的交点， 则有，．由可得， 则，即有， 当且仅当时，上式取得等号，则周长的最大值为． 12.以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示直角坐标系， 设正方体的棱长为，， 则，，，，， 则，， 由正方体的性质知：，， ，，平面， 平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， ，，当时取得最大值， 若时，取得为， ，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $