福建省福州高级中学2025-2026学年高一上学期第一学段（期中）考试数学试题

福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一数学试题 命卷教师：高岚龙 审卷教师：汤钧 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第I卷 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的 1.命题x∈R,x2+2x+2>0”的否定是() A.3x∈R,x2+2x+2≤0 B.3x∈R,x2+2x+2<0 C.Vx∈R,x2+2x+2≤0 D.xER,x2+2x+2>0 2.集合A={x∈W-1<x<3}的真子集的个数为() A.8 B.7 C.4 D.3 3.若f(2x+1)=x2-2x,则f(2)的值为() A.1 B.0 c.3 3 3 4.已知a=1.14,b=1.24,c=1.23，则() A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 1 5.“<”是“a>b的() 1 “20<25” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)= -x2+4x,x20 ,若f(x)在[-3，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为 -x,x<0 () A.[-2,2] B.[2,4] c.(2,4] D.[2,4) 7.己知函数∫(x)是定义在R上的偶函数，且∫(1)=0，若对任意的x1,x2∈(0，+o),当x≠x3 时，有f飞》f(>0成立，则不等式对)>0的解集为（) x-x 高一第一学段考试数学试卷第1页（共4页） A.(-o0,-1)U(1,+o0)B.（-1,0)U(1,+∞）C.(1,+m) D.(-1,0)U(0,1) &已知函数f)=x-2+3,且fa)+f3a-4少>4，则实数a的取值范围是() e"+1 A.（1,4) B.（-4,1) C.(-0,-1)U(4,+o) D.(-o,-4)U(1,+o) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有() Af)=x+1与8(9=X- x-1 B.fwx与g(x)=VR 1, c.f9=X与g()= x>0 -l,x<0 D.f(x)=Vx-1g(x)=/x+1./x-1 10.已知a>0,b>0,a2+b=1,则下列结论正确的是（) A.0<b<1B.a√b的最大值为 C.b+2a的最大值为2 D.a+Vb≤V2 1.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f()-f()=f x-y 且当-1<x<0时f(x)<0, 则() A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-1,1)上单调递增】 6+ 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 16 81 0.5i-VW2-32= 13.已知幂函数fx)=x-2p-(peN)的图象关于y轴对称，且f()在(0，+o)上单调递减，实 数a满足(a-)号<3a+3)i,则实数a的取值范国是 14.设函数f(x)=x+1,g(x)=3”+m,若对任意的x∈[0,1]，存在x∈[0,1，使得 f(x)=8(x),则实数m的取值范围是 高一第一学段考试数学试卷第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)已知全集U=R,集合A= <2<8,B={x0<x<4} (1)求(CA)∩B;(2)设集合C={xa<x<2a+3,a∈R},若C∩(CA)=C,求实数a的 取值范围 16.(本小题满分15分)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a<0). (1)若关于x的不等式f(x)≥-2有实数解，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)<a-1. 17.(本小题满分15分)某汽车制造企业计划在2025年利用新技术生产某款新能源电动汽车.通过 市场分析，生产此款新能源电动汽车全年需投入固定成本300万，每生产x百辆新能源电动汽车， 10x2+100x,0<x<40 需另投入成本f(x)万元，且f(x)= +10000-9500,x≥40 由市场调研知，每一百辆新 701x+ 能源电动汽车总售价700万元，且全年生产的新能源电动汽车当年能全部销售完， (1)求出2025年的利润W(x)（万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式.（注：利润=销售额 一成本)： (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 高一第一学段考试数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知函数f付=2b（b∈R)是奇函数. 2+1 (1)求b的值；(2)判断函数fx)在定义域上的单调性并用定义证明； (3)若对任意t∈R,不等式ft)+f(2t-1)<0恒成立，求实数k的取值范围. 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=3x2+x-1,g(x)=2x2-|x-a+x. (1)若a=1,求函数y=g(x),x∈[-2,2]的值域： (②)若存在实数x∈[-2,2]，使不等式f(2)<4"成立，求实数m的取值集合； (3)设p(x)=f(x)-g(x),是否存在实数a,使得记(x)的最小值为-二？若存在，请求出所有符 合条件的实数a;若不存在，请说明理由. 高一第一学段考试数学试卷第4页（共4页)福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一数学参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D C B C B D BC ABD ABC 12 13.(-1,414.[-1,0] 15.(本小题满分13分) D由2<8，即2<2<2，所以1<<3 即A=2<8=-1长<政.3分 所以GA=(-m,-U[3,+∞)，又B={x0<x<4}, 所以(CA)∩B=[3,4). 6分 (2)因为C∩(CA)=C,所以CCCA,7分 又C={xa<x<2a+3,a∈R},CA=(-m,-1]U[3,+w), 当a≥2a+3,即a≤-3时，C=⑦，符合题意；9分 a<2a+3 a<2a+3 当C≠☑，则 或 2a+3≤-1或a≥3 ,解得-3<≤-2或a≥3；12分 综上可得：a≤-2或a≥3，即实数a的取值范围为(-∞，-2]U[3,+oo) 13分 16.(本小题满分15分) (1)f(x)≥-2有实数解，等价于ax2+1-ax+a≥0有实数解， 且a<0,则△=(1-a}-4a2=-3a2-2a+1≥0,4分 解得-1≤a<0, 高一第一学段考试数学试卷答案第1页（共4页） 所以a的取值范围是[-1,0). ..6分 (2)依题意，f(x)<a-1等价于x2+1-a)x-1<0,即(ax+1)(x-1)<0, 且a<0,令(m+Xx-）=0,解得x=->0或x=1,…8分 当a=-1时，-上=1，不等式的解集为(xx≠少：10分 当-1<a<0时，->1，不等式的解集为{xx>-或x<1}: 12分 a 当a<-1时，<1，不等式的解集为xx>1或x<-}: .14分 综上，当a<-1时，原不等式的解集为{x>1或x<-引： 当a=-l时，原不等式的解集为{xx≠1： 当-1<a<0时，原不等式的解集为{x>-或x<15分 17.（本小题满分15分) -10x2+600x-300,0<x<40 (1)由题意可得：W(x)=700x-f(x)-300= 10000 +9200,x≥400 .6分（写对一个3分） (2)当0<x<40时，W(x)=-10x2+600x-300=-10(x-30)+8700, 当且仅当x=30时，W(x)取到最大值8700：10分 当x≥40时，W(x)= 10000 10000 9200≤-2 +9200=9000, 当且仅当x=100时，W(x)取到最大值9000；…14分 因为9000>8700，可知当2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润 为9000万元.15分 高一第一学段考试数学试卷答案第2页（共4页) 18.(本小题满分17分) (1)因为f)是奇函数，所以f(0)=0, 2°-b=0,.b=1, 20+1 经检验方-1时，心-二是R上奇面数： 2x+1 4分 (2)f(x)= 2-1_2+1-2=1-2 ，则f(x)在（-0，+0)上单调递增..5分 2+12+12+1 证明如下：任取x,x,∈R且x<x,则 ))=1 22 2 2(2-2） -1+ 2+112+125+121+1（2+1)(2+1) ,8分 因为x<x,所以0<2<2，所以f(x)-f(x)<0,即f(x)<f(x),所以 函数f0x)在（一0，十0）上单调递增.10分 (3)又因为f)是R上奇函数，所以f(2)+f(2t-1)<0, 等价于fk2)<-f2t-1),即ft2)<f1-2,. 13分 因为f)为R上增函数，则2<1-2kt对一切t∈R恒成立，即kt2+2t-1<0恒成 立， ①k=0显然成立， 14分 「k<0 ② △=42+4<0'解得-1<k<0 .16分 综上所述，k的取值范围是(-L,0].17分 19.（本小题满分17分) (1)若a=1,则g6x)=2x2-k-1+x={ 2x2+2x-1,-2≤x<1 2x2+1,1≤x≤2 】分 当-2≤x<1时，g)=2x2+2x-1=2(&+)2-[-,3], 3分 高一第一学段考试数学试卷答案第3页（共4页） 当1≤x≤2时，g(x)=2x2+1∈[3,9]， 所以函数y=g(8),x[-2,2]的值域为[-多，9]：5分 (2)由(2)<m4华，可得f)=3(22+2x-1<m:4华，所以m>3+是-京， 因为在实数x[-2,2],使不等式f(2)<m4成立，所以m>3+是-)n7分 因为y=3+京泰=3+京-（安）， 令t=∈[好4，则y=3+t-=-t-+, 所以当t=4,ymin=-9, 9分 所以实数m的取值集合{mm>一9).…。 ...10分 (3)由题意可得p(x)=fx)-g(x)= +x-a1=(x+)}-a x-xa1(- )ta-ix5a 11分 ①当a<-时，根据二次函数的性质，可知函数px)在(-o,-)上单调递减， 在(-+∞)上单调递增，所以函数p()的最小值为p()=--a, 因为p(x)的最小值为-子，则--a=-子，解得a=-子 ..13分 ②当-a≤时，根据二次函数的性质，可知函数p凶在（←∞，a上单调递减， 在(a,+∞)上单调递增，所以函数p(&)的最小值为p(a)=a2-1,因为p(x)的最小值为-子 则a2-1=-克解得a=士号，又-≤a≤分所以a0:15分 ③当a>时，根据二次函数的性质，可知函数p(x)在(-o,]上单调递减， 在(+)上单调递增，所以函数p()的最小值为0()=-+a, 因为p(x)的最小值为-克则-+a=-克解得a=子 综上所述：存在实数a,使得p(x)的最小值为-子此时a=士子l7分 高一第一学段考试数学试卷答案第4页（共4页）