第七单元倍数与因数应用题（专项训练）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 以生活情境为载体，系统整合最大公因数、最小公倍数等核心方法，构建“概念-方法-应用”三维训练体系，突出数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最大公因数|15题（如第2、5、7题）|分解质因数法求公因数，解决“均分无剩余”问题|从因数概念到最大公因数，应用于裁剪、分组等实际场景| |最小公倍数|12题（如第4、13、30题）|短除法求公倍数，解决“同时发生”问题|从倍数概念到最小公倍数，关联周期、相遇等情境| |质数合数|3题（如第1、3、57题）|质数性质与奇偶性分析|质数概念延伸至长方形面积最大化等几何问题| |倍数特征|7题（如第9、27、33题）|2、3、5倍数特征判断|倍数概念应用于整除验证、错账分析等场景|

第七单元 倍数与因数应用题 1．齐白石是中国近代绘画大师，以画虾而闻名。言言学习齐白石，画了一幅以虾为素材的画，画卷为长方形，长和宽都是质数，并且周长是32分米，言言画的这幅画面积最大是多少平方分米？ 2．小明家客厅长45分米，宽30分米。小明爸爸准备用地砖将客厅的地面铺满，从不浪费材料的角度考虑（使用的地板砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？你认为选择边长是多少分米的正方形地砖比较合适？请说明理由。 3．一辆车的车牌号为五位数，最高位上是最小的质数，第三位上面的数字是6，任意相邻三个数字的和都是15，这辆车的车牌号是多少？ 4．4路车和5路车的始发站是火车站，4路车每8分钟发一次车，5路车每10分钟发一次车，这两辆车同时在6时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？这时是几时几分？ 5．某小学举行“大课间”活动，有49个男生和42个女生表演花样跳绳。男生、女生分别排队，且每排的人数相等，每排最多有多少人？这时一共可以排成多少排？ 6．插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？ 7．剪纸小组要把一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余。裁成的正方形边长最长是几厘米？一共可以裁成多少个小正方形？ 8．把48个红球装在同一种盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 9．有95个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要多少个苹果才能正好装完？ 10．有一张长方形纸，长30厘米，宽24厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 11．东昌府木版年画是国家非物质文化遗产。要用长24厘米，宽18厘米的小年画展板拼成一个正方形大展板，拼成的正方形展板边长至少是多少厘米？需要多少块？ 12．兄弟俩在操场上跑步锻炼，哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，他们同时从起点出发后，哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇？ 13．食品店运来一些面包，无论平均分给9个小朋友，还是平均分给12个小朋友，都正好分完。这些面包最少有多少个？ 14．学校舞蹈队（人数少于50人）举行校园集体舞表演，如果排成8排则多1人，如果排成10排也多1人，这个舞蹈队有多少人？ 15．在2023年的庆元旦晚会上，五（1）班同学准备了18个苹果、24根香蕉，现要把它们分别放在盘子里。如果每个盘子只放同一种水果，且每盘水果的个数相同，没有剩余，每盘最多放多少个水果？ 16．把一块长60米、宽48米的长方形菜地分成同样大小的正方形菜地而没有剩余，分出的正方形菜地的边长最长是多少米？如果用其中的5块正方形菜地种西瓜，那么种西瓜的菜地面积是这块菜地的几分之几？（用最简分数表示） 17．如果要用两种彩带制作彩带花装饰包装盒。现有红色彩带3卷，每卷70厘米；蓝色彩带4卷，每卷84厘米。制作要求如下：所有彩带剪成相同长度的短彩带，无剩余；每位学生分到2段红色和3段蓝色短彩带。 (1)每段彩带最长是多少厘米？ (2)照这样剪，一共能剪出多少段短彩带？ 18．五年级学生参加武术体操表演活动，人数在90和100人之间，如果6人一列或8人一列，都正好站整齐，没有剩余。五年级有多少人参加了这次表演活动？ 19．科技小组制作廊桥模型，老师把45块木板和27盒木条平均分给小组里所有成员，刚好分完。这个小组最多有多少人？此时每人分得多少块木板？多少盒木条？ 20．丁老师把36支钢笔和45本笔记本平均奖给若干名“三好学生”，得奖的“三好学生”最多有多少人？ 21．现有一种长45厘米，宽30厘米的长方形纸若干张。 （1）将这些纸拼成一个正方形，正方形的边长最短是多少厘米？至少要用多少张这样的长方形纸？ （2）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少张正方形纸片？ 22．把一张长45厘米，宽36厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，且纸张没有剩余，至少可以裁多少个这样的正方形？正方形的边长是多少？ 23．为响应“全民健身”的号召，爸爸带着小明积极参加晨跑锻炼。爸爸每跑一圈用时4分钟，小明每跑一圈用时6分钟，两人在起点同时同向起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时两人分别跑了多少圈？ 24．把一张长90厘米，宽50厘米的长方形纸板剪成同样大小的正方形纸板，要使剪成的正方形尽可能大且无剩余，正方形的边长应该是多少厘米？ 25．把一张长36厘米，宽24厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，裁成的正方形的边长是多少厘米？ 26．为促进小学生的脊柱健康，花园小学决定编排“护脊课间操”，要从六年级学生中选择56名男生和35名女生拍摄教学视频，要求男、女生分别站成若干排，且每排的人数相同。每排最多站多少人？这时男生、女生分别站了几排？ 27．妈妈在花店里买了一些百合和康乃馨，百合每枝10元，康乃馨每枝5元。妈妈付了50元，店员找回了13元。店员找回的钱对吗？为什么？ 28．一筐桃子有30个左右，如果分给5个小朋友，则剩余2个；如果分给6个小朋友，则还差4个。这筐桃子有多少个？ 29．在252米长的直路上挂红、蓝、紫三种颜色的灯笼，蓝灯笼每隔6米挂一个，紫灯笼每隔9米挂一个。如果蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼，那么除两端外，中间挂有多少个红灯笼？ 30．一座喷泉由内外两层构成。外层每10分钟喷水一次，内层每8分钟喷水一次。12：00同时喷过一次水后、下次同时喷水是几时几分？ 31．五年级一、二、三中队分别有24人、36人和42人参加社区志愿服务活动。 (1)一中队参加社区志愿服务活动的人数是二中队的几分之几？二中队参加社区志愿服务活动的人数占总人数的几分之几？ (2)如果把他们分成人数相等的小组，且每个中队的学生都不打乱，每组最多有多少人？一共分成多少组？ 32．有两根铁丝，长度分别是18米和30米。现在要把它们截成同样长的小段，而且没有剩余。每段最长可以有几米？两根铁丝一共可以截成几段？ 33．王老师到文化用品超市买了一些钢笔和卡通笔记本。钢笔每支8元，卡通笔记本每本6元，她付给营业员100元，营业员找给王老师15元。请判断营业员找的钱对吗？并说明理由。 34．大理石是重结晶的石灰岩，因最初产地在我国云南大理而得名，主要用于加工成各种形材。当地一家加工厂将一块长60厘米、宽4分米、高32厘米的大理石截成同样大小的正方体（棱长为整厘米数），且没有剩余，截成的正方体的棱长最长是多少？一共可以截成多少个这样的正方体？ 35．把一根长彩带剪成长度相等的几段，如果剪成4分米一段的，那么少1分米；如果剪成6分米一段的，那么少1分米；如果剪成8分米一段的，也少1分米。这个长彩带的长度至少是多少分米？ 36．妈妈买了28个橘子和42个苹果，让小云把这些水果装入塑料袋，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同一种水果个数相同。小云最多需要多少个塑料袋？每个塑料袋中两种水果各放多少个？ 37．学校组织打扫卫生，一班来了48人，二班来了36人，如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 38．明明和亮亮去图书馆借书，明明每3天去一次，亮亮每4天去一次，4月20日他们两人都去了图书馆借书，再过多少天两人又都去图书馆借书？是几月几日？ 39．甲、乙、丙三人周末早晨相约在剑邑广场跑步，甲跑完一圈要5分钟，乙跑完一圈要8分钟，丙跑完一圈要10分钟，三人同时从起点同向出发，至少多少分钟后三人再次在起点相遇？ 40．篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？ 41．新年到了，妈妈准备用某聊天软件给姐姐和弟弟共发100元的红包。 （1）如果弟弟收到的红包钱数为奇数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，姐姐收到的红包钱数为奇数还是偶数？ 42．五年级学生表演武术操，要将男生36人、女生24人分别站成若干排，每排的人数相同，每排最多有几人？ 43．四年级（1）班有50多个同学参加活动，每14人一组或每8人一组正好分完，四年级（1）班有多少个同学？ 44．已知某小学六年级学生超过100人，而不足150人。如果将他们按每组10人分组，多5人；按每组12人分，也多5人。这个学校六年级学生共有多少人？ 45．学校美术室有一些长48厘米，宽32厘米的长方形彩色卡纸。 (1)李老师拿出一张彩色卡纸，把它裁成正方形制作手工，如果使正方形纸最大且没有剩余，正方形纸的边长是多少厘米？ (2)张老师准备用彩色卡纸拼一个正方形，至少需要几张这样的彩色卡纸？ 46．五年级一部分同学参加植树活动，不管是分成6人一组，还是8人一组，都多4人。已知总人数在50至60人之间，五年级参加植树活动的同学有多少人？ 47．光明小学五年级学生，分为7人一组、8人一组或6人一组排队做操，都恰好分完，五年级至少有多少学生？ 48．在缝纫机博物馆展厅中，要用大小相同的正方形文化展板，拼成一块长32分米、宽28分米的长方形主题背景板（展板无重叠，无空隙），可以选择边长是多少分米的正方形展板？边长最大是几分米？ 49．用长12厘米、宽9厘米的长方形拼成一个正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少要多少个长方形才能拼成这个正方形？ 50．清华园学校组织五年级的同学于重阳节到敬老院义务劳动，其中男生有36人，女生有48人，为了行动方便，男生、女生分别分成人数相等的小组，且没有剩余，最少可以分成多少个小组？ 51．有49颗奶糖和35颗巧克力，平均分给第一小组的同学，结果奶糖剩一颗，巧克力少一颗。第一小组最多有多少名同学？ 52．手工坊要制作一批文创产品，准备了30张特色卡纸和45颗装饰珠。打算把它们组合成若干个文创礼盒，要求每个礼盒中卡纸的数量相同，装饰珠的数量也相同，并且所有卡纸和装饰珠都能正好用完，最多可以制作多少个这样的文创礼盒？ 53．希望小学开展“绿色未来，共创生态文明”为主题的植树活动。五年级有84人，六年级有72人参加该活动。要求按年级分组，如果两个年级每组的人数必须相同且大于1人，可以怎样分？每组最多有多少人？ 54．学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 55．五年级参加龙舟比赛的学生有140~150人，分组时4人一组或6人一组，都剩余1人，五年级参加龙舟比赛的学生有多少人？ 56．榆林市建立了许多长城保护工作站，数量在60～70之间，若把这些长城保护工作站平均分布在13个辖区，还余下3个长城保护工作站，榆林市的长城保护工作站有多少个？ 57．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 58．阳光小学五（1）班有男生36人，女生27人。如果男、女生分别排队，要使每排人数相同，每排最多排多少人？这时男、女生各排了几排？ 59．六一儿童节到了，五（3）班同学买了65个苹果，98颗奶糖，平均分给班里的全体同学，结果苹果还剩1个，奶糖还剩2颗。这个班最多有多少名同学？ 60．小华的爸爸每上班4天休息1天，妈妈每上班6天休息1天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么下一次同时在家休息是几月几日？ 61．五（1）班有四十多人，同学们在数学课上开展小组合作学习，不论4人一组还是6人一组都少3人，请你算一算，五（1）班有多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．55平方分米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知：长方形的周长是32分米，则长与宽的和是32÷2＝16（分米）。再把16写成两个质数相加的和有：13＋3和11＋5两种情况，最后根据长方形的面积＝长×宽，得出其中面积最大是11×5＝55（平方分米）。 【详解】长与宽的和：32÷2＝16（分米） 16＝13＋3 16＝11＋5 13×3＝39（平方分米） 11×5＝55（平方分米） 55平方分米＞39平方分米 答：这幅画的面积最大是55平方分米。 2． 1分米、3分米、5分米、15分米； 15分米；因为通过计算发现选择边长15分米的地砖更节省材料。 【分析】用正方形地砖铺满，且都用整块的地砖，求选择的地砖边长是多少，就是求45和30的公因数，先列举出45和30的所有因数，再从中找出它们的公因数，就是可以选择正方形地砖的边长； 因为正方形地砖边长越大，所需地砖块数就越少，所以选择45和30的最大公因数作为正方形地砖的边长，所需地砖块数最少，最节省材料，据此解答。 【详解】45的因数：1，3，5，9，15，45； 30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30； 45和30的公因数：1、3、5、15。 地砖边长可以是1分米、3分米、5分米、15分米。 最大公因数为15分米，此时所需地砖块数最少： 长边铺：45 ÷ 15 ＝ 3（块） 宽边铺：30 ÷ 15 ＝ 2（块） 总块数：3 × 2 ＝ 6（块） 因此，选择边长15分米的地砖更节省材料。 答：可以选择边长是1分米、3分米、5分米、15分米的正方形地砖；选择边长15分米的地砖比较合适。因为选择边长15分米的地砖更节省材料。 3．27627 【分析】先确定万位是最小的质数2，百位是6，再根据任意相邻三个数字的和是15，用15依次减去万位和百位求出千位，减去千位和百位求出十位，减去百位和十位求出个位，即可得到车牌号。 【详解】万位是最小的质数2，百位是6，根据相邻三个数的和是15： 千位：15－2－6＝7 十位：15－7－6＝2 个位：15－6－2＝7 答：这辆车的车牌号是27627。 4．40分钟；6时40分 【分析】求这两辆车至少再过多少分钟又同时发车，就是求是8和10的最小公倍数；先把8和10分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积即是它们的最小公倍数，再加上第一次同时发车的时刻，得出下一次同时发车的时刻。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40 即这两辆车至少再过40分钟又同时发车。 6时＋40分＝6时40分 答：至少再过40分钟又同时发车，这时是6时40分。 【点睛】本题考查最小公倍数的实际应用，利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。 5．7人；13排 【分析】根据题意，男生和女生分别排队，且所有排的人数都相等，说明每排的人数是49和42的公因数。要求每排最多有多少人，即求49和42的最大公因数。 求出每排人数后，分别用男生人数和女生人数除以每排人数，得到各自的排数，最后将两者相加即可得到总排数。 【详解】49＝7×7 42＝2×3×7 49和42的最大公因数是7； 即每排最多有7人。 男生排数：49÷7＝7（排） 女生排数：42÷7＝6（排） 一共：7＋6＝13（排） 答：每排最多有7人，这时一共可以排成13排。 6．14束；8朵 【分析】花束的数量应该是70和42的最大公因数，用70和42分别除以他们的最大公因数，即可得到每束花中百合和玫瑰的数量，相加即可。 【详解】42＝2×3×7 70＝2×5×7 2×7＝14（束） 42÷14＝3（朵） 70÷14＝5（朵） 3＋5＝8（朵） 答：最多可以做14束花，这时每束花中有8朵花。 【点睛】此题考查最大公因数的应用，掌握求最大公因数的方法是解题的关键。 7． 6厘米；20个 【分析】要裁成同样大小且没有剩余的正方形，且边长最长，需先求出长和宽的最大公因数作为正方形边长；再分别计算长、宽方向能裁的正方形个数，相乘得到总个数。 【详解】分解质因数：， 和的最大公因数是，正方形边长最长为厘米； （个） （个） （个） 答：裁成的正方形边长最长是6厘米，一共可以裁成20个小正方形。 8．10种；每种装法和需要盒子数见详解 【分析】每个盒子装的数量相同，说明每盒装的数量是48的因数，盒子的数量＝红球总数÷每盒装的数量。先找出48的所有因数，再对应列出每一种装法和所需的盒子数量。 【详解】48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个，对应10种装法。 对应列出每种装法与所需盒子数： 每盒装1个，需要盒子：48÷1＝48（个） 每盒装2个，需要盒子：48÷2＝24（个） 每盒装3个，需要盒子：48÷3＝16（个） 每盒装4个，需要盒子：48÷4＝12（个） 每盒装6个，需要盒子：48÷6＝8（个） 每盒装8个，需要盒子：48÷8＝6（个） 每盒装12个，需要盒子：48÷12＝4（个） 每盒装16个，需要盒子：48÷16＝3（个） 每盒装24个，需要盒子：48÷24＝2（个） 每盒装48个，需要盒子：48÷48＝1（个） 答：有10种装法，具体装法与所需盒子数如上。 9．如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，不能正好装完，至少还需要1个苹果才能正好装完 【分析】先计算一下95能不能被5和3整除，如果能，就能正好装完，反之，则不能；求至少还需几个，先求出余数，然后用除数减去余数，即至少买的个数。 【详解】95÷5＝19（袋） 95÷3＝31（袋）……2（个） 3－2＝1（个） 答：如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，不能正好装完，至少还需要1个苹果才能正好装完。 【点睛】此题考查3和5的倍数特征，明确它们的倍数特征是解题的关键。 10．6厘米 【分析】30和24的最大公因数就是剪出的正方形的最大边长。 【详解】30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 30和24的最大公因数是：2×3＝6 所以，剪出的正方形的最大边长是6厘米。 答：剪出的正方形的边长最大是6厘米。 【点睛】可以用分解质因数和短除法求两个数的最大公因数。 11．72厘米；12块 【分析】要用长方形小展板拼成正方形大展板，那么正方形的边长一定是长方形长和宽的公倍数。要求拼成正方形的边长至少是多少厘米，也就是求长和宽的最小公倍数。求出正方形的边长后，用正方形边长分别除以长方形的长和宽，求出每行和每列需要的块数，再相乘得到总块数。 【详解】 和的最小公倍数是： 即拼成的正方形展板边长至少是72厘米。 （块） 答：拼成的正方形展板边长至少是72厘米，需要12块。 12．3圈 【分析】哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，则他们再次在起点相遇至少经过的时间是4和6的最小公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再用这个最小公倍数除以4，即为哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇；据此解答。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12÷4＝3（圈） 答：哥哥至少跑3圈又能在起点和弟弟相遇。 13．36个 【分析】根据题意，面包的个数既是9的倍数，也是12的倍数，即是9和12的公倍数。求这些面包最少有多少个，就是求9和12的最小公倍数。据此解答。 【详解】9的倍数有：9，18，27，36，45，54，63… 12的倍数有：12，24，36，48，60… 9和12的最小公倍数是36。 答：这些面包最少有36个。 14．41人 【分析】根据题干分析可得，这个班的人数是8的倍数多1，是10的倍数多1，由此求出50以内8和10的倍数，再加1，本题即可解答。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 2×2×2×5＝40（人）    40＋1＝41（人） 【点睛】抓住“8排多1和10排多1”得出这个班的人数是8的倍数多1，是10的倍数多1，是解决问题的关键。 15．6个 【分析】每个盘子只放同一种水果，且每个盘子水果的个数相同；要将18个苹果和24根香蕉全部放在盘子里，没有剩余，则每个盘子里放的水果个数应该是18和24的最大公因数；求出18和24的最大公因数即为每盘最多可以放的水果个数。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6，18和24的最大公因数是6。 答：每盘最多放6个水果。 16．边长最长是12米； 【分析】根据长方形菜地分成同样大小的正方形菜地而没有剩余，可知正方形菜地的边长是48与60的公因数；运用分解质因数的方法求出两个数的最大公因数，即可求出正方形菜地的边长最长是多少米，进而确定正方形菜地有多少块；接下来根据其中5块菜地种西瓜，可知种西瓜的菜地面积占这块菜地的面积的分率即为以5为分子，正方形菜地总块数为分母的数，将其化为最简形式，据此解答即可。 【详解】 60和48的最大公因数是：，所以正方形菜地的边长最长是12米。 正方形菜地块数： （块） 种西瓜的菜地面积是这块菜地的： 答：正方形菜地的边长最长是12米，种西瓜的菜地面积是这块菜地的。 【点睛】本题考查最大公因数、分数与除法的关系，解答本题的关键是掌握最大公因数、分数与除法的关系这两个知识点。 17．(1)14厘米 (2)39段 【分析】（1）要将两种彩带剪成相同长度且无剩余的短彩带，每段长度是70和84的公因数，求最长长度即求两个数的最大公因数。 （2）先分别算出红色、蓝色彩带能剪出的段数，再相加得到总段数。 【详解】（1）分解质因数： 70和84的最大公因数是 答：每段彩带最长是14厘米。 （2）红色彩带段数：（段） 蓝色彩带段数：（段） 总段数：（段） 答：一共能剪出39段短彩带。 18．96人 【分析】根据题意，参加表演的人数既是6的倍数，又是8的倍数，即人数是6和8的公倍数。先求出6和8的最小公倍数，再列出它们的公倍数，找出在90和100之间的数即可。 【详解】6和8的最小公倍数是：＝24 6和8的公倍数有：24，48，72，96，120…… 因为人数在90和100之间，所以人数是96人。 答：五年级有96人参加了这次表演活动。 19．这个小组最多有9人，此时每人分得5块木板和3盒木条。 【分析】要求把45块木板、27盒木条平均分且刚好分完，小组最多人数就是45和27的最大公因数，求出人数后，分别用木板、木条总数÷人数求出每人分得数量。 【详解】45＝3×3×5 27＝3×3×3 最大公因数：3×3＝9，所以小组最多9人。 每人木板：45÷9＝5（块） 每人木条：27÷9＝3（盒） 答：这个小组最多有9人，此时每人分得5块木板和3盒木条。 20．9人 【分析】求得奖的“三好学生”最多有多少人，实际上是求36和45这两个数的最大公因数是多少，求最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，即可得解。 【详解】36＝2×2×3×3，45＝3×3×5， 所以最大公因数是3×3＝9，即最多有9人。 答：得奖的“三好学生”最多有9人。 【点睛】此题的解题关键是掌握求两个数的最大公因数的计算方法，灵活运用解决问题。 21．（1）90厘米；6张 （2）6张 【分析】（1）对于拼成正方形的问题，需要找到45和30的最小公倍数，用最小公倍数作为正方形的边长，然后求出至少要用多少张这样的长方形纸； （2）对于裁成正方形且无剩余的问题，需要找到45和30的最大公因数，用最大公因数作为正方形的边长，然后求出最少可以裁多少张正方形纸片。 【详解】（1）45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最小公倍数为2×3×3×5＝90 （90÷45）×（90÷30） ＝2×3 ＝6（张） 答：正方形的边长最短是90厘米，至少要用6张这样的长方形纸。 （2）45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最大公因数为3×5＝15 （45÷15）×（30÷15） ＝3×2 ＝6（张） 答：最少可以裁6张正方形纸片。 【点睛】本题考查最小公倍数和最大公因数的应用。对于将长方形纸拼成正方形问题，要明确正方形的边长应是长方形长和宽的最小公倍数，这样才能保证使用的长方形纸张数最少；对于把长方形纸裁成无剩余正方形的问题，正方形的边长应为长方形长和宽的最大公因数，以此确定能裁出的最少正方形纸片数。 22．6个；15厘米 【分析】求出45和30的最大公因数，就是每个正方形的边长；用45和30分别除以正方形边长，得到的数字相乘就是最少可以裁成的正方形个数，据此解答即可。 【详解】45＝3×3×5 30＝3×2×5 所以45和30的最大公因数是3×5＝15； 即裁出的正方形的边长最大是15厘米。 45÷15＝3 30÷15＝2 3×2＝6（个） 答：至少可以裁6个这样的正方形；正方形的边长是15厘米。 【点睛】本题考查了灵活应用求解最大公因数的方法来解决实际问题。 23． 12分钟；爸爸跑了3圈，小明跑了2圈 【分析】两人在起点再次相遇，说明经过的时间既是爸爸跑一圈用时的倍数，也是小明跑一圈用时的倍数，即两人用时的公倍数。要求“至少”多少分钟，即求和的最小公倍数。求出时间后，分别除以两人跑一圈的用时，即可求出各自跑的圈数。 【详解】的倍数有： 的倍数有： 和的最小公倍数是。 爸爸跑的圈数：（圈） 小明跑的圈数：（圈） 答：至少12分钟后两人在起点再次相遇，此时爸爸跑了3圈，小明跑了2圈。 24．10厘米 【分析】求正方形的边长最大是多少厘米，就是求90和50的最大公因数，求两个数的最大公因数：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，据此进行解答。 【详解】90＝2×3×3×5 50＝2×5×5 90和50的最大公因数是2×5＝10 答：正方形的边长应该是10厘米。 25．12厘米 【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求36和24的最大公因数，根据求两个数的最大公因数的方法，即可得解。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是：2×2×3＝12。 所以正方形的边长最长是12厘米。 答：裁成的正方形的边长是12厘米。 【点睛】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题。 26． 每排最多站7人；这时男生站8排，女生站5排。 【分析】每排人数需要同时整除男生和女生的总人数，要让每排人数最多，就是求56和35的最大公因数；再分别用男、女生的总人数除以每排人数，就能得到各自的排数。 【详解】分解质因数： 56和35的最大公因数是7，即每排最多站7人。 男生排数：（排） 女生排数：（排） 答：每排最多站7人；这时男生站8排，女生站5排。 27． 不对；理由见详解 【分析】百合每枝10元，康乃馨每枝5元，10和5都是5的倍数，无论购买数量是多少，总花费的钱数一定是5的倍数。用付的钱数减去找回的钱数算出总花费的钱数，判断总花费的钱数是否是5的倍数（个位数字是0或5的数是5的倍数）即可。 【详解】店员找回的钱不对。 理由如下： 百合每枝10元，10是5的倍数；康乃馨每枝5元，5是5的倍数；无论购买多少枝百合和康乃馨，总花费的钱数一定是5的倍数。 50－13＝37（元） 37的个位上是7，不是5的倍数。 实际花费不可能是37元，所以店员找回的钱不对。（合理即可） 28．32个 【分析】由题意可知，如果分给5个小朋友，则剩余2个；如果分给6个小朋友，则还差4个，也就是还剩余2个，则这筐桃子的个数是5和6的公倍数，再加上2，最后再结合桃子有30个左右解答即可。 【详解】5×6＋2 ＝30＋2 ＝32（个） 答：这筐桃子有32个。 【点睛】本题考查最小公倍数，明确互质数的最小公倍数是它们的乘积是解题的关键。 29．13个 【分析】由于蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼，那么只需要找6和9的公倍数，注意两端要除外，据此即可找出相应的红灯笼数量。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 则6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18 18的倍数有：18、36、54、72、90、108、126、144、162、180、198、216、234。 答：一共挂有13个红灯笼。 【点睛】本题主要考查公倍数的求法，要注意252千米不要换成红灯笼。 30． 12时40分 【分析】先求10和8的最小公倍数，也就是得到内外层下次同时喷水的间隔时间，再加上上次同时喷水的时间即可求解。 【详解】10＝2×5，8＝2×2×2，所以10和8的最小公倍数为2×2×2×5＝40； 故，内外层同时喷水的间隔时间是40分钟； 12：00＋40分钟＝12：40 答：下次同时喷水是12时40分。 31．(1)； (2)6；17 【分析】（1）求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，结果需化为最简分数。求二中队占总人数的几分之几，需先计算三个中队的总人数，再用二中队人数除以总人数。 （2）要把三个中队分别分成人数相等的小组且不打乱中队，每组人数必须是各中队人数的公因数。要求每组最多有多少人，就是求 24、36 和 42 的最大公因数。再用各组人数除以这个最大公因数求出每个中队的组数，最后将三个组数相加。 【详解】（1） 答：一中队参加社区志愿服务活动的人数是二中队的。 （人） 答：二中队参加社区志愿服务活动的人数占总人数的。 （2）求 24、36 和 42 的最大公因数： 24 的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 36 的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 42 的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42 24、36 和 42 的公因数有：1，2，3，6 则最大公因数是 6，即每组最多有6人。 答：每组最多有6人。 （组） （组） （组） （组） 答：一共可以分成17个组。 32．6米；8段 【分析】要把它们截成同样长的小段，而且没有剩余，则铁丝的长18米和30米要分别是每段长的整数倍，则每段的长是18和30的公因数，要每段最长，则是求18和30的最大公因数；用两根铁丝的长度分别除以最大公因数，求出分别截成几段，然后相加即可。 【详解】18的因数有1、2、3、6、9、18； 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30； 所以18和30的最大公因数就是6，即每段最长是6米。 （30÷6）＋（18÷6） ＝5＋3 ＝8（段） 答：每段最长可以有6米，两根铁丝一共可以截成8段。 33．不对，王老师付的钱数和花去的钱数均为偶数，找回的钱数也应该为偶数。 【分析】钢笔和笔记本的单价为偶数，由“总价＝单价×数量”可知，购买钢笔和笔记本花的钱数为偶数，总钱数为100元，找回的钱数＝总钱数－花去的钱数，偶数与偶数的差为偶数，则找回的钱数应该为偶数，据此解答。 【详解】不对，钢笔的支数和笔记本的本数均为自然数，则买钢笔花的钱数为偶数，买卡通笔记本花的钱数也为偶数，找回的钱数＝总钱数－花去的钱数，根据“偶数－偶数＝偶数”可知，找回的钱数应该为偶数，营业员找给王老师15元，15为奇数，所以营业员找的钱数不对。 【点睛】判断花去钱数的奇偶性并根据和差的奇偶性判断出找回钱数的奇偶性是解答题目的关键。 34．4厘米；1200个 【分析】4分米＝40厘米，由题意可知，求截成的正方体的棱长最长是多少，就是求60、40、32的最大公因数，先把60、40、32分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；用60、40、32分别除以它们的最大公因数，再把它们的商相乘即可解答。 【详解】4分米＝40厘米 60＝2×2×3×5 40＝2×2×2×5 32＝2×2×2×2×2 60、40、32的最大公因数是2×2＝4   所以正方体棱长最长是4厘米； （60÷4）×（40÷4）×（32÷4） ＝15×10×8 ＝150×8 ＝1200（块） 答：截成的正方体的棱长最长是4厘米，一共可以截成1200个这样的正方体。 35．23分米 【分析】从题意可知：剪成4分米、6分米或8分米都少1分米，这根彩带的长度比4、6、8的公倍数都少1，从“至少”可知，求最小公倍数。用分解质因数的方法求出4、6和8的全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是4、6和8的最小公倍数。最后用最小公倍数减去1就是这根彩带的长度。据此解答。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 24－1＝23（分米） 答：这个长彩带的长度至少是23分米。 36．14个；橘子2个，苹果3个 【分析】求最多需要多少个塑料袋，就是求28和42的最大公因数，先将28和42分解质因数，这两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数。最后用这两个数分别除以最大公因数即可求出每个塑料袋中两种水果各有的个数。 【详解】28＝2×2×7 42＝2×3×7 28和42的最大公因数是：2×7＝14 28÷14＝2（个） 42÷14＝3（个） 答：小云最多需要14个塑料袋，每个塑料袋中橘子有2个，苹果3个。 37．12人 【分析】根据题意，每个小组的人数能同时分别被两个班的人数整除，也就是两个班人数的公因数，要使每组人数最多，就是求两个班人数的最大公因数。分解质因数法求最大公因数：先把两个数分解成质因数相乘的形式，再把它们共有的质因数相乘，结果就是最大公因数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（人） 答：每组最多有 12 人。 38． 天；月日 【分析】明明每天去一次，亮亮每天去一次，两人再次同时去图书馆经过的天数应是和的最小公倍数。求出经过的天数后，根据月份的天数推算具体日期。月是小月，共有天。 【详解】因为和互质，所以它们的最小公倍数是： （天） （天） （日） 答：再过天两人又都去图书馆借书，是月日。 39． 40分钟 【分析】根据题意，三人同时从起点同向出发，再次在起点相遇时，三人都跑了整数圈，所用时间需同时是甲、乙、丙各自跑一圈时间的倍数，要求最少时间，即求5、8、10的最小公倍数，据此解答。 【详解】根据分析可得： 先分别分解5、8、10的质因数： 5＝1×5 8＝2×2×2 10＝2×5 取每个质因数出现次数最多的部分相乘，得到最小公倍数： 2×2×2×5 ＝4×2×5 ＝8×5 ＝40（分钟） 答：至少40分钟后三人再次在起点相遇。 40．60根 【分析】已知萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完，求最少有多少根，说明萝卜的个数是12和15的最小公倍数，求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【详解】12＝2×2×3 15＝3×5 2×2×3×5＝60 12和15的最小公倍数是60， 答：篮子里至少有60根萝卜。 【点睛】本题考查了最小公倍数的求法和应用。 41．（1）奇数 （2）偶数 【分析】根据奇偶运算性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此进行解答即可。 【详解】（1）因为弟弟收到的红包钱数为奇数，100是偶数，根据奇数＋奇数＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为奇数。 答：姐姐收到的红包钱数为奇数。 （2）如果弟弟收到的红包钱数为偶数，100是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，则姐姐收到的红包钱数为偶数。 答：姐姐收到的红包钱数为偶数。 【点睛】本题考查奇偶运算，明确奇偶运算性质是解题的关键。 42．12人 【分析】由题意知：每排最多有几人，就是求36和24的最大公因数，用分解质因数的方法即可求得这两个数的最大公因数。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是：2×2×3＝12 答：每排最多有12人。 【点睛】此题主要考查了最大公因数的应用。 43．56个 【分析】每14人一组或每8人一组正好分完，说明四年级（1）班的人数是14和8的公倍数，并且人数应大于50小于60，据此即可解答。 【详解】14和8的公倍数有56、112、224……，其中50多的只有56，所以四年级（1）班有56人。 答：四年级（1）班有56个同学。 【点睛】本题主要考查学生对公倍数知识的掌握和灵活运用。 44．125人 【分析】根据题意，每组10人，多5人；每组12人，也多5人，说明六年级学生总人数比10、12的公倍数还多5；先求出10和12的最小公倍数，再求最小公倍数在100~150以内的倍数，最后加上5，就是六年级学生总人数。 【详解】10＝2×5 12＝2×2×3 10和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 60在100~150之间的公倍数是：60×2＝120 120＋5＝125（人） 答：这个学校六年级学生共有125人。 【点睛】本题考查求两个数的最小公倍数解决实际问题的能力。 45．(1) 16厘米 (2) 6张 【分析】（1）要使裁成的正方形最大且没有剩余，正方形的边长就是48和32的最大公因数。可用短除法计算。 （2）用长方形卡纸拼成正方形，正方形的最小边长是48和32的最小公倍数，再用边长分别除以长和宽，得到长与宽的张数，再相乘计算所需卡纸的数量。 【详解】（1） 2×2×2×2 ＝4×2×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 答：正方形纸的边长是16厘米。 （2）2×2×2×2×3×2 ＝4×2×2×3×2 ＝8×2×3×2 ＝16×3×2 ＝48×2 ＝96（厘米） （张） 答：至少需要6张这样的彩色卡纸。 46．52人 【分析】根据题意，总人数分成6人一组或8人一组都多4人，说明总人数减去4后，既是6的倍数，也是8的倍数，即总人数减去4是6和8的公倍数。先求出6和8的最小公倍数，再找出符合50至60之间条件的公倍数，最后加上多余的4人即可。 【详解】 6和8的最小公倍数是2×3×4＝24。 24×1＋4＝24＋4＝28（人） 24×2＋4＝48＋4＝52（人） 24×3＋4＝72＋4＝76（人） 总人数在50至60人之间，28和76不符合题意。 答：五年级参加植树活动的同学有52人。 47．168人 【分析】求五年级至少有多少学生，即求6、7、8三个数的最小公倍数，由此解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 则6、7、8三个数的最小公倍数是：2×2×2×3×7＝168 答：五年级至少有168个学生。 【点睛】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。 48．1分米、2分米或4分米；4分米 【分析】根据题意，用大小相同的正方形展板拼成长方形且无重叠、无空隙，说明正方形展板的边长必须能整除长方形的长，也能整除长方形的宽。因此，正方形的边长应是长方形长32和宽28的公因数。要求边长最大是多少，即求32和28的最大公因数。 【详解】由题意可知，正方形展板的边长是32和28的公因数。 32的因数有：1、2、4、8、16、32。 28的因数有：1、2、4、7、14、28。 公因数有：1、2、4。 32和28的最大公因数是4。 答：可以选择边长是1分米、2分米或4分米的正方形展板；边长最大是4分米。 49．36厘米；12个 【分析】求正方形最小边长是多少厘米，就是12和9的最小公倍数，最小公倍数就是正方形的边长，求出正方形的边长进行分析：看能放几排，几列，然后相乘即可解答。 【详解】12的倍数有12、24、36、48…… 9的倍数有9、18、27、36、45…… 12和9的最小公倍数是36 正方形边长最小是36厘米 （36÷12）×（36÷9） ＝3×4 ＝12（个） 答：正方形的边长最小是36厘米，至少要12个长方形才能拼成这个正方形。 【点睛】本题考查的是两个数的最小公倍数的求法，利用最小公倍数解答问题。 50．7个 【分析】已知男生有36人，女生有48人，要将男生、女生分别分成人数相等的小组，求最少可以分成多少个小组，要先求最多每组的人数，即36和48的最大公因数，把36和48进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。最后用总人数除以每组人数即可求出组数。 【详解】 48和36的最大公因数是 所以每组最多有12个人。 （个） 可以分成7个组。 答：每组最多有12个人，一共可以分成7个组。 【点睛】本题考查了最大公因数的应用，求最大公因数也就是两个数的公有质因数的连乘积。 51．12名 【分析】由于奶糖剩1颗，则奶糖分了：49－1＝48（颗），48是第一小组人数的倍数；巧克力少一颗，如果巧克力再多一颗，就是这些学生的倍数，即35＋1＝36（棵），由此可知这组学生的人数是48和36的公因数，由于最多有多少名同学，则求48和36的最大公因数即可。 【详解】49－1＝48（颗） 35＋1＝36（颗） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数：2×2×3＝12 答：第一小组最多有12名同学。 【点睛】本题主要考查最大公因数的求法，熟练掌握最大公因数的求法是解题的关键。 52． 15个 【分析】因为要将30张卡纸和45颗装饰珠正好用完，且每个礼盒中两种物品数量分别相同，所以问题可转化为求30和45的最大公因数。 【详解】30的因数有：1，30，2，15，3，10，5，6 45的因数有：1，45，3，15，5，9 30和45的最大公因数是15 答：最多可以制作15个这样的文创礼盒。 53．可以每组2人，3人，4人，6人，12人分组，每组最多12人。 【分析】要使两个年级每组人数相同，每组人数必须同时是84和72的因数，即两个数的公因数，且每组人数大于1；求每组最多人数，就是求84和72的最大公因数。 【详解】84＝2×2×3×7 72＝2×2×2×3×3 84和72的最大公因数是2×2×3＝12 84和72的大于1的公因数有2，3，4，6，12。 答：可以每组2人，3人，4人，6人，12人分组，每组最多12人。 54． 42人或48人 【分析】整数中，能被2整除的数是偶数；每3人一组，全部分完，说明能被3整除，总数是3的倍数，3的倍数：各位数字之和是否能被3整除；列出40~50之间所有的偶数：40、42、44、46、48、50，再从中筛选出能被3整除的数。 【详解】40~50之间的偶数：40、42、44、46、48、50 再判断能否被3整除： （4＋0）÷3＝4÷3＝1……1 （4＋2）÷3＝6÷3＝2 （4＋4）÷3＝8÷3＝2……2 （4＋6）÷3＝10÷3＝3……1 （4＋8）÷3＝12÷3＝4 （5＋0）÷3＝5÷3＝1……2 符合条件的数是42和48。 答案：五年级参加的学生可能是42人或48人。 55．145人 【分析】学生分组时4人一组或6人一组都剩余1人，说明学生总人数减去1后，既是4的倍数，也是6的倍数，即是4和6的公倍数。先找到这两个数的最小公倍数，再找出140~150之间符合要求的公倍数，最后加1即可求出总人数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12× 11＝132 12×12＝144 12×13＝156 因为学生人数在 140~150 之间，所以符合条件的公倍数是144。 144＋1＝145（人） 答：五年级参加龙舟比赛的学生有145人。 56．68个 【分析】考虑13的倍数：我们知道13的倍数有13、26、39、52、65、78等等。因为工作站数量在60～70之间，且是平均分给13个辖区后还余3个，所以我们要找13在这个范围内的倍数。在13的倍数中，符合60～70之间的是65。计算工作站总数：因为平均分配后还余下3个工作站，所以总数就是这个倍数加上余数。据此解答。 【详解】13的倍数有13，26，39，52，65，78… 60＜65＜70 65＋3＝68（个） 答：榆林市的长城保护工作站有68个。 57．77平方分米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知：长方形的周长是36分米，则长与宽的和是36÷2＝18（分米）。再把18写成两个质数相加的和有：11＋7和13＋5两种情况，最后根据长方形的面积＝长×宽，得出其中面积最大是11×7＝77（平方分米）。 【详解】长与宽的和：36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅画的面积最大是77平方分米。 58．每排最多9人；男生4 排；女生3 排 【分析】根据题意，男生36人，女生27人，要使每排人数相同，那么每排人数是36和27的公因数；求每排最多的人数，就是求36和27的最大公因数。 求出每排人数后，用男、女生各自的人数除以每排人数，即可求出各排了几排。 【详解】36＝2×2×3×3 27＝3×3×3 36和27的最大公因数：3×3＝9 即每排最多排9人。 男生排的排数：36÷9＝4（排） 女生排的排数：27÷9＝3（排） 答：每排最多排9人，这时男生排了4排，女生排了3排。 59．32名 【分析】将苹果与奶糖平均分给班里的全体同学，但苹果还剩1个，奶糖还剩2颗，说明班里所有同学的人数既是的因数，又是的因数，求这个班最多有多少名同学，就是求64与96的最大公因数。 【详解】（个）    （颗） 64的因数有1，2，4，8，16，32，64。 96的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96。 64和96的最大公因数是32。 答：这个班最多有32名同学。 【点睛】因为学生人数×每位学生分到的食品数量＝食品总数量，所以可以确定下来，学生人数是食品总数量的因数；而求最多有多少位学生，就可以转化为求苹果个数与奶糖颗数的最大公因数。 60．3月25日 【分析】根据题意，爸爸每上班4天休息1天，即爸爸每5天休息1天；妈妈每上班6天休息1天，即妈妈每7天休息一天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么他们下一次同时在家休息的天数为5和7的最小公倍数，再根据2022年是平年，2月有28天，得出下一次两人同时在家休息的日期。 【详解】4＋1＝5（天） 6＋1＝7（天） 5和7的最小公倍数是：5×7＝35 即每35天两人同时在家休息。 2022÷4＝505……2 2022年是平年，2月有28天。 28－18＝10（天） 35－10＝25（天） 即2022年2月18日再经过35天是3月25日。 答：下一次同时在家休息是3月25日。 61．45人 【分析】根据题干中不论4人一组还是6人一组都少3人，则五（1）班人数是4和6的公倍数再减去3人，运用质因数分解法得出4、6的最小公倍数是12，即人数是：12的倍数减去3。五（1）班有40多人，据此可得出答案。 【详解】，，即4和6的最小公倍数是：。即五（1）班人数是12的倍数减去3，12 的倍数有：12、24、36、48、60等。因为五（1）班有四十多人，则五（1）班人数应为：（人） 答：五（1）班有45人。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $