第七单元 倍数与因数（单元自测）2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 本单元卷聚焦因数与倍数单元复习，融合人文历史（天干地支）与数学文化（亲和数）情境，通过问题解决发展抽象能力、推理意识和应用意识，适配小学数学单元巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|5|完全数、亲和数|结合古希腊数学文化，培养推理意识| |探究题|3|4的倍数特征、孪生质数|通过材料阅读与推导，发展抽象能力| |解决问题|10|最小公倍数、最大公因数|联系野餐分碗等生活情境，强化应用意识|

1.人文历史 自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次相配，例如：2025年是乙巳年，2026年是丙午年……那么下一个丙午年是( )年。 2.数学文化早在古希腊时期，数学家们就已经发现了亲和数与完全数的存在。 (1)如果一个数除它本身之外的全部因数之和等于另一个数，而另一个数除它本身之外的全部因数之和也正好等于前一个数，这两个数就称为亲和数。例如220和284 就是一对亲和数：220除它本身之外的全部因数之和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,而284除它本身之外的全部因数之和=1+2+4+71+142=220。那么1184和( )也是一对亲和数。 (2)完全数是一种特殊的亲和数：当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就被称作完全数。例如6的因数有1，2，3，6，1+2+3=6，所以6是完全数。请你判断28和54这两个数是否是完全数，并写出判断的过程。 3.材料阅读阅读下面材料，并回答问题。 (1)写出20以内除了3和5、5和7以外的所有孪生质数。 (2)如果用a和b表示任意一对孪生质数(a，b均大于2)，那么2a+b的和一定是( )。(填“奇数”或“偶数”) 学科网（北京）股份有限公司 4. 推导探究 (1) 判断一个数是不是4 的倍数，为什么只要看末两位数是否是4的倍数就可以?请照样子举例说明。 (2)为验证“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，笑笑把867进行了拆分(如图)。发现：8个99和6个9都是3的倍数，关键要看框中的几个1合起来是不是3的倍数，因为合起来共有21个1，也就是21，21是3的倍数，所以867就是3的倍数。 a=3×100+4×10+1 b=2×1000+2×100+3×10+6 c=5×99+6×9+(5+6) d=2×999+4×99+8×9+(2+4+8+7) 想一想，上面a，b，c，d四个数中 ( )是3的倍数。 5.数感 要打开银箱，需要先输入密码，密码由 7个数组成，它们不是 2就是 3。 已知密码中 2 比 3多，并且密码表示的七位数既是 3的倍数又是 4的倍数。请你找出这个银箱的密码。 6.推理意识有 15位同学，每位同学都有一个编号，依次是 1至 15号。1号同学写了一个五位数，2号同学说：“这个数能被 2整除。”3号同学说：“这个数能被 3整除。”4号同学说：“这个数能被 4整除。”……15号同学说：“这个数能被 15整除。”1号的同学一一做了验算，发现只有编号连续的两位同学说得不对，其他同学说得都对。 (1)说得不对的两位同学是( )号和( )号。 (2)这个五位数是( )。 学科网（北京）股份有限公司 7. 如图，桌子上放了4个杯口朝上的杯子，每次只允许翻3个杯子，要使杯口都朝下，最少要翻多少次?请写出翻转方法。 8. 桌子上放着6个杯子，其中3个杯口朝上，3个杯口朝下，如果每次翻转5个杯子，那么至少翻转多少次，才能使个杯子都杯口朝上? 9.9个连续的自然数，它们都大于 80，其中质数最多有多少个? 10.八月份，小明有 5天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其余 4 天都是质数，这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘 2减去1，这个合数乘 2加上1。你知道小明哪几天住在姥姥家吗？ 11.把一篮苹果分给 4人，使四人的苹果个数一人比一人多 1 个，且他们的苹果个数之积是5040。这篮苹果共有几个？ 12.班主任王老师带领五( 1)班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知王老师与学生共植了 312棵树，老师与学生每人植的树一样多，并且不超过 10棵。这个班共有学生多少人？每人植树多少棵 13.两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数是( )。 14. 甲、乙两数的最小公倍数是 90，乙、丙两数的最小公倍数是 105，甲、丙两数的最小公倍数是126。求甲数是多少。 15.张氏花店有一些百合花，如果每 12枝扎成一束，就多出 9枝，如果每 18枝扎成一束，就少3枝，这批花的枝数在 350~380之间，这批百合花共有多少枝？ 16.一次野餐时，每 2人合用 1个饭碗，每 3人合用 1个菜碗，每 4人合用一个汤碗，野餐共用了 78 个碗，你知道参加野餐的人数是多少吗？ 17.幼儿园买来苹果40个、杏95个、橘子54个，分给大班的小朋友，每人分得的苹果、杏、橘子的数量都同样多。最后苹果余下 4个，杏余下 5个，橘子正好分完。你知道大班的小朋友最多有多少人吗？ 18. 甲、乙两地原来每隔 24m安装一根电线杆，现在改为每隔 36 m安装一根电线杆。在安装过程中，除了两端的两根电线杆不需要移动外，还有 16根不需要移动，那么甲、乙两地相距多少米？ 第七单元素养提优 1.2086 2. (1)1210 (2)28的因数有1,2,4,7,14,28,非本身的因数相加:1+2+4+7+14=28,则28是完全数。 54的因数有1,2,3,6,9,18,27,54,非本身的因数相加:1+2+3+6+9+18+27=66,则54不是完全数。 3. (1)11和13 17和19 (2)奇数 4. (1)如 4524=4500+24,4500肯定是 4的倍数,所以只要看末两位数 24就可以了，24是 4的倍数，所以 4524是 4的倍数。 (表述合理即可) (2)d 5.2222232 6.(1)8 9 (2)60060 7.最少要翻 4次。方法不唯一，示例：第 1 次翻动1,2,3号,第 2次翻动 2,3,4号,第 3次翻动 3,4,1号,第 4次翻动 4,1,2号。 8.至少翻转3次。 9.最多有4个。 10.5号,6号,7号,11号,13号 11.5040=2×2×2×2×3×3×5×7=7×(2×2×2)×(3×3)×(2×5)=7×8×9×10 7+8+9+10=34(个) 答：这篮苹果共有34个。 12.312=2×2×2×3×13=(2×3)×(2×2×13)=6×52=6×(1+51) 答：这个班共有学生51人，每人植树6棵。 13.3和120或15和24 14. 因为 90=2×5×3×3,105=5×3×7,126=3×2×3×7,甲、乙两数的最小公倍数是 90，甲、丙两数的最小公倍数是 126，乙、丙两数的最小公倍数是105，所以甲数的因数中没有 5和 7，有因数 3，3和2，所以甲数为2×3×3=18。 15.12和18的最小公倍数是36 350~380之间18和 12的公倍数是360 360-3=357(枝)答:这批百合花共有357枝。 16.2,3,4的最小公倍数是12 12人共用碗:12÷2+12÷3+12÷4=13(个) 78÷13×12=72(人) 答：参加野餐的人数是72。 17.40-4=36(个) 95-5=90(个) 36,90和 54的最大公因数是18，即大班的小朋友最多有 18人。 18.24和36的最小公倍数是72 72×(16+1)=1224(m) 答:甲、乙两地相距1224 m。 学科网（北京）股份有限公司 $