数学臻选2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册12《第3章圆第5节点与圆、直线与圆的位置关系》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册12 《第3章圆第5节点与圆、直线与圆的位置关系》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   掌握点与圆、直线与圆3种位置关系，能通过距离d与半径r的大小关系互相转化判断，能根据位置求参数取值范围。 2.   熟记切线判定2种方法、切线3条核心性质，掌握两类切线证明辅助线套路：有切点连半径证垂直、无切点作垂线证d=r。 3.   区分切线（直线）与切线长（线段），熟练运用切线长定理完成线段、角度计算与证明；掌握多切线模型周长快速计算。 4.   掌握三角形内切圆、内心定义与性质，牢记通用面积公式S= (a+b+c)r、直角三角形内切圆简化公式r= ；区分内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）。 5.   掌握圆外切四边形核心性质：两组对边之和相等，能结合梯形、平行四边形综合应用。 6.   规避江苏考试高频易错点：判定切线遗漏 “ 半径外端 ” 条件、混淆切线与切线长、内心外心概念混淆、双解题型漏分类、参数范围漏等号。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   点、直线与圆位置关系的数量判定； 2.   切线判定定理、性质定理规范证明书写； 3.   切线长定理及衍生多切线周长模型； 4.   三角形内切圆半径计算、内心角度结论； 5.   圆外切四边形对边和相等性质。 （二）难点 1.   无公共切点类切线证明（作垂线证距离=半径）； 2.   切线长+圆周角+勾股综合几何证明大题； 3.   动点平移、直线运动相切临界值分类讨论； 4.   内心角度推导、内切圆与外接圆综合计算； 5.   复合多切线图形等量代换线段长度。 ) 三．自主探究 （一）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. 补充：圆内是所有d<r点集合，圆上是d=r点集合，圆外是d>r点集合。 （二）直线与圆的三种位置关系 【观察与思考】 如图在(1)至(4)这四幅图中,直线l与☉O的公共点的个数分别是多少? 如图以点P为圆心,分别以PA,PB,PC,PD为半径画圆,则圆与直线l的公共点的个数分别是多少? 【概括新知】 (1)直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交; (2)直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点; (3)直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离. 设☉O半径r，圆心到直线垂线段距离d（必须是垂线，斜线段无效），直线与圆的位置关系如下表 位置关系 公共点个数 数量关系 直线名称 相交 2个 d ＜ r 割线 相切 1个 d = r 切线，唯一公共点叫切点 相离 0个 d ＞r 无专用名称 （三）切线判定与性质 生活中，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮 上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的。 1.切线判定（2种） （1）定义：直线与圆有唯一公共点； 如图，在⊙0中，经过半径OA的外端点A作直线l10A, 则圆心0到直线l的距离是多 少 ? 直 线I和⊙0有什么位置关系? （2）切线的判定定理： ①定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆切线（两个条件缺一不可）。 ②文字语言： 经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ③符号语言：∵ 0C是⊙0的半径，且 0C⊥AB于点C , (注：两个条件缺一不可) ∴ AB是⊙0的切线. 【思考】：下面两个图中的直线AB是否是⊙0的切线，为什么? B 【辅助线套路】： a.已知直线交圆于一点：连接圆心与交点（半径），证明垂直； b.无明确交点：过圆心作直线垂线，证明垂线段长度=半径。 【归纳】切线的判定方法 （1）定义法:直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; （2）数量关系法:圆心到这条直线的距离等于半径(即d=)时，直线与圆相切; （3）判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线性质 【思考】如图，直线l是⊙0的切线，点A为切点.0A与l的有怎样位置关系? 【猜想】:圆的切线垂直于经过切点的半径. 【证明】已知:直线l是⊙0的切线，点A为切点 求证:0A⊥l l 【结论】切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言:∵直线1与00相切于点A.∴0A⊥l. 【讨论】条件中“经过切点”能否去掉? 【归纳】切线性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）过圆心且垂直切线的直线必经过切点； （3）过切点且垂直切线的直线必经过圆心。 （四）切线长定理 【做一做】用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里? （1）切线是直线，不能度量. （2）切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 【探究】PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B. （1）OB是⊙O的一条半径吗? （2）PB是⊙O的切线吗? （3）PA、PB有何关系? 3.切线长定理： （1）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. （2）几何语言:PA，PB分别切☉O于点A，B （3）推理验证 已知，如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点. 求证:PA=PB,∠APO=∠BPO. 4.切线长定理推论： 【想一想】：若连接 切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. 【归纳】切线长定理推论：OP垂直平分切点连线AB；A、O、B、P四点共圆。 （五）三角形内切圆（内心） 1.定义：与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心内心，是三条角平分线交点，永远在三角形内部。 2.性质： （1）点O到三角形三边的距离相等; （2）AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA; （3）内心O一定在三角形的内部 3..核心公式： （1）通用面积公式：S△=(a+b+c)·r（a、b、c三边长，r内切圆半径）； （2）Rt△简化公式：直角边a、b，斜边c，r=； （六）圆外切四边形 1.定义：圆外切四边形是指四边都与同一个圆相切的四边形，这个圆叫做四边形的内切圆。 2.性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，即：若四边形 ABCD 是圆外切四边形，则 AB+CD =AD+BC这个性质可以用切线长定理证明：设内切圆与四边的切点分别为 E,F,G,H，则AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH将这些等式左右分别相加，即可推导出对边和相等。 3.推论： （1）圆外切平行四边形一定是菱形.因为平行四边形对边相等，结合圆外切四边形对边和相等，可推出四边都相等，故为菱形。 （2）圆外切梯形的两腰之和等于上下底之和.因为梯形的上下底平行，结合对边和相等，可得 AD + BC = AB + CD（AB,CD 为底，AD,BC 为腰）。 4.圆外切四边形的判定方法 （1）判定1：四边都与同一个圆相切的四边形是圆外切四边形 ①几何描述：四边形四条边均存在切点，且所有切点在同一个圆（内切圆）上； ②图形特征：存在一个圆完全嵌在四边形内部，与四条边均有唯一公共点； ③适用场景：有图形、明确标注四边切点的直观判断题。 （2）数量关系判定（考试最常用，计算类题型核心） 凸四边形两组对边之和相等四边形有内切圆（圆外切四边形） ①公式：凸四边形ABCD，满足AB+CD=AD+BC，则该四边形为圆外切四边形； ②适用范围：仅限凸四边形，凹四边形不满足该判定； ③解题用法：已知四边长度，直接计算两组对边和，相等即可判定。 （3）特殊四边形专属判定（推论，快速判断） ①平行四边形 平行四边形为圆外切四边形该平行四边形是菱形 推导：平行四边形AB=CD，AD=BC，代入AB+CD=AD+BC得2AB=2AD，四边相等即为菱形。 ②梯形 梯形为圆外切四边形梯形两腰长度之和 = 上下底长度之和 公式：梯形上底a，下底b，腰c、d，满足a+b=c+d，则为圆外切梯形。 （4）角平分线判定（证明大题专用） 凸四边形四个内角的角平分线交于同一点，则该四边形是圆外切四边形 ①原理：角平分线交点到四条边距离相等，以该距离为半径、交点为圆心作圆，四边均与圆相切； ②辅助证明套路： a作四边形四个内角平分线，交于一点I； b过I向四条边作垂线段，证四条垂线段长度相等； c以I为圆心、垂线段长为半径作圆，四边均切于圆，判定为外切四边形。 四．经典例题 例1.（2025·盐城亭湖期末）⊙O半径r=6，点P满足OP=7，则点P位置为（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 例2.（2024·苏州吴中期末）圆心到直线距离d=5，圆半径r=5，直线与圆位置关系（） A.相交 B.相切 C.相离 D.重合 例3.（2026·南通通州一模）下列条件能直接证明直线是圆切线的是（ ） A.直线垂直任意一条半径 B.直线过半径外端且垂直这条半径 C.直线与圆存在交点 D.圆心到直线距离小于半径 例4.（2025·泰州姜堰期末）PA、PB切⊙O于A、B，OA=4，OP=8，切线长PA为（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 例5. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5 例6.如图P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为(　　) A.3 B.3 C.6 D.9 例7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为r作⊙C. (1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ (2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ 例8.已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P． （1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系； （2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足条件． 例9. 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： 例10．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°. (1)求PA的长；(2)求∠COD的度数． 例11.如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形. 试说明理由. 例12.如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·镇江丹徒期末）⊙O直径10，点M到圆心距离OM=4，则点M位置（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 2.（2025·宿迁宿豫期末）直线与圆仅有1个公共点，下列数量关系成立的是（ ） A.d<r B.d=r C.d>r D.d≤r 3.（2026·盐城阜宁一模）三角形内心是三角形三条（ ）交点 A.垂直平分线 B.角平分线 C.中线 D.高 4.（2025·淮安淮阴期末）PA、PB切⊙O，DE为第三条切线交PA、PB于M、N，PA=8，△PMN周长为（ ） A.8 B.16 C.24 D.32 5.（2024·常州新北期末）外切四边形ABCD，AB+CD=14，则AD+BC=（ ） A.7 B.14 C.28 D.无法确定 6. 如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置 出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了：（ ） A. 2周 B. 3周 C. 4周 D. 5周 7. 如图,在平面直角坐标系中, ⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴的正半轴夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x值的范围是(　　) A. -1≤x≤1 B. -≤x≤ C. -<x< D. 0≤x≤ 8.如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　） A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P 9. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A. 40° B. 55° C. 65° D. 70° 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　) A. B. C. D．2 （二）填空题 11.（2025·苏州吴中期末）点在圆上，点到圆心距离d________半径r（填＞、＝、＜） 12.（2026·盐城滨海二模）直角三角形直角边5、12，内切圆半径r=________ 13.（2024·泰州兴化期末）圆的切线与过切点的半径夹角为________° 14.（2025·连云港东海期末）直线与圆相交，公共点个数为________ 15.（2026·盐城亭湖一模）△ABC内心I，∠ACB=60°，则∠AIB=________° 16.如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=2.8,☉O是以AB为直径的圆,则直线CD与☉O的位置关系是　　　　.  17.如图,☉M的圆心为M(-2,2),半径为2,直线AB过点A(0,-2),B(2,0),则☉M关于y轴对称的☉M'与直线AB的位置关系是　　　　.   18.如图5,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆的半径为10 cm,小圆的半径为6 cm,则弦AB的长为　　　　.  19.如图6,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是　　　　.  20.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=　.  （三）解答题 21.（2025·镇江京口期末）已知线段AB=10，以AB为直径作⊙O。 (1)求⊙O半径长度； (2)若点P满足OP=6，判断点P与圆位置。 22．如图所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？ 23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，以点C为圆心，以r为半径作圆，若⊙C与线段AB有两个交点，求r的取值范围． 24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,与AC,BC分别交于点M,N,与AB的另一个交点为E,过点N作NF⊥AB,垂足为F. (1)求证:NF是☉O的切线; (2)若NF=2,DF=1,求弦ED的长. 25．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°． （1）求∠BAC的度数； （2）当OA=2时，求AB的长． 26. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 27．阅读材料：如图①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r.连结OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r， ∴r＝. 类比推理：(1)若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图②，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r. 理解应用： (2)如图③，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州铜山期末）⊙O半径7，点P满足OP=7，下列说法正确（ ） A.P在圆内 B.P在圆上 C.P在圆外 D.P是圆心 2.（2024·扬州广陵期末）圆心到直线距离d=4，圆半径r=6，直线与圆（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 3.（2026·盐城市直二模）证明切线，已知直线与圆交于点M，标准辅助线做法（ ） A.过圆心作直线垂线 B.连接OM，证明OM⊥直线 C.任意连接一条半径 D.延长OM 4.（2025·宿迁沭阳期末）PA、PB切⊙O，∠APB=60°，PA=9，则PB=（ ） A.4.5 B.9 C.18 D.9 5.（2024·镇江京口期末）直线与圆无公共点，则d与r满足（ ） A.d<r B.d=r C.d>r D.d≤r 6.（2026·盐城射阳二模）Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，半径5作圆，斜边AB与圆位置（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.过圆心 7．如图，已知CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E.若∠1＝60°，∠2＝65°，比较AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( ) A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE 8．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　) A．AC∥OD B．DE＝DO C．CD＝BD D．AB＝AC 9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，M和N分别是直线l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，则下列结论错误的是(　　) A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝ C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2间的距离为2 10．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是(　D　) A．1 cm B．2 cm C．8 cm D．2 cm或8 cm （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）点与圆的三种位置：圆内、________、圆外. 12.（2026·盐城大丰一模）切线长定理证明全等判定方法为________ 13.（2024·南通海门期末）圆外切平行四边形一定是________ 14.（2025·泰州海陵期末）PA、PB切⊙O，∠APO=30°，则∠APB=________° 15.（2026·盐城阜宁二模）△ABC周长30，内切圆半径r=4，三角形面积=________ 16.（2024·常州溧阳期末）90°圆周角所对弦为直径，直径端点作切线，两条切线互相________ 17．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段CD的长为________． 18．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是____． 19．如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心P在射线OA上，点P与点O的距离为8 cm，如果⊙P以2 cm/s的速度由A向B匀速运动，那么________s时⊙P与直线CD相切． 20. 射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值_____（单位：秒） （三）解答题 21．如图所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线． 22.新定义题如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长． 23.实践：如图△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠BAC的平分线，交BC于点O. ②以O为圆心，OC为半径作圆. 综合运用：在你所作的图中， （1）AB与⊙O的位置关系是_____ .（直接写出答案） （2）若AC=5，BC=12，求⊙O 的半径. 24.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,5个单位长度为半径画圆.直线MN经过x轴上的一动点P(m,0)且垂直于x轴,当点P在x轴上移动时,直线MN也随之平行移动.按下列条件求m的值或取值范围. (1)☉O上任何一点到直线MN的距离都不等于3; (2)☉O上有且只有一点到直线MN的距离等于3; (3)☉O上有且只有两点到直线MN的距离等于3; (4)随着m的变化,☉O上到直线MN的距离等于3的点的个数还有哪些变化?请说明所有情形及对应m的值或取值范围. 25.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （l）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 26.已知:在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,D是边AB上的一点,过C,D两点的☉O分别与边AC,BC交于点E,F. (1)如图(a)(b),若D是AB的中点: ①在(a)中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法); ②如图(b),连接EF,若EF∥AB,求线段EF的长; ③请写出求线段EF长度最小值的思路. (2)如图(c),当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是　　　　.  27．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d. 图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3 (1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有___________个； (2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______________个； (3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册12 《第3章圆第5节点与圆、直线与圆的位置关系》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   掌握点与圆、直线与圆3种位置关系，能通过距离d与半径r的大小关系互相转化判断，能根据位置求参数取值范围。 2.   熟记切线判定2种方法、切线3条核心性质，掌握两类切线证明辅助线套路：有切点连半径证垂直、无切点作垂线证d=r。 3.   区分切线（直线）与切线长（线段），熟练运用切线长定理完成线段、角度计算与证明；掌握多切线模型周长快速计算。 4.   掌握三角形内切圆、内心定义与性质，牢记通用面积公式S= (a+b+c)r、直角三角形内切圆简化公式r= ；区分内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）。 5.   掌握圆外切四边形核心性质：两组对边之和相等，能结合梯形、平行四边形综合应用。 6.   规避江苏考试高频易错点：判定切线遗漏 “ 半径外端 ” 条件、混淆切线与切线长、内心外心概念混淆、双解题型漏分类、参数范围漏等号。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   点、直线与圆位置关系的数量判定； 2.   切线判定定理、性质定理规范证明书写； 3.   切线长定理及衍生多切线周长模型； 4.   三角形内切圆半径计算、内心角度结论； 5.   圆外切四边形对边和相等性质。 （二）难点 1.   无公共切点类切线证明（作垂线证距离=半径）； 2.   切线长+圆周角+勾股综合几何证明大题； 3.   动点平移、直线运动相切临界值分类讨论； 4.   内心角度推导、内切圆与外接圆综合计算； 5.   复合多切线图形等量代换线段长度。 ) 三．自主探究 （一）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. 补充：圆内是所有d<r点集合，圆上是d=r点集合，圆外是d>r点集合。 （二）直线与圆的三种位置关系 【观察与思考】 如图在(1)至(4)这四幅图中,直线l与☉O的公共点的个数分别是多少? 【解析】在(1)至(4)四幅题图中,直线l与☉O的公共点的个数分别是2,2,1,0. 如图以点P为圆心,分别以PA,PB,PC,PD为半径画圆,则圆与直线l的公共点的个数分别是多少? 【解析】以点P为圆心,分别以PA,PB,PC,PD为半径画圆,圆与直线l的公共点的个数分别是2,1,2,0. 【概括新知】 (1)直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交; (2)直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点; (3)直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离. 设☉O半径r，圆心到直线垂线段距离d（必须是垂线，斜线段无效），直线与圆的位置关系如下表 位置关系 公共点个数 数量关系 直线名称 相交 2个 d ＜ r 割线 相切 1个 d = r 切线，唯一公共点叫切点 相离 0个 d ＞r 无专用名称 （三）切线判定与性质 生活中，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮 上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的。 1.切线判定（2种） （1）定义：直线与圆有唯一公共点； 如图，在⊙0中，经过半径OA的外端点A作直线l10A, 则圆心0到直线l的距离是多 少 ? 直 线I和⊙0有什么位置关系? 【解析】圆心0到直线I的距离是⊙0的半径，直线l是⊙0的切线。 （2）切线的判定定理： ①定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆切线（两个条件缺一不可）。 ②文字语言： 经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ③符号语言：∵ 0C是⊙0的半径，且 0C⊥AB于点C , (注：两个条件缺一不可) ∴ AB是⊙0的切线. 【思考】：下面两个图中的直线AB是否是⊙0的切线，为什么? B 【解析】第一个图：直线AB经过半径OA的外端A，但AB与OA不垂直，不满足切线判定定理的两个条件，因此不是⊙O的切线。第二个图：直线AB经过半径OA的外端A，且AB⊥OA，同时满足切线判定定理的两个条件，因此是⊙O的切线。第三个图：直线AB与OA垂直，但垂足不是半径OA的外端（直线AB与圆没有公共点，不经过半径外端），不满足切线判定定理的两个条件，因此不是⊙O的切线。 【辅助线套路】： a.已知直线交圆于一点：连接圆心与交点（半径），证明垂直； b.无明确交点：过圆心作直线垂线，证明垂线段长度=半径。 【归纳】切线的判定方法 （1）定义法:直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; （2）数量关系法:圆心到这条直线的距离等于半径(即d=)时，直线与圆相切; （3）判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线性质 【思考】如图，直线l是⊙0的切线，点A为切点.0A与l的有怎样位置关系? 【猜想】:圆的切线垂直于经过切点的半径. 【证明】已知:直线l是⊙0的切线，点A为切点 求证:0A⊥l l 证明:假设OA不垂直于I.过点O作OA’1于点A，∴0A>0A',又点A为切点,OA为半径， 直线1与圆相交，与已知条件“直线1是00的切线"相矛盾，假设不成立，原命题成立。 【结论】切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言:∵直线1与00相切于点A.∴0A⊥l. 【讨论】条件中“经过切点”能否去掉? 【解析】不能.例如图中不垂直于半径OA. 【归纳】切线性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）过圆心且垂直切线的直线必经过切点； （3）过切点且垂直切线的直线必经过圆心。 （四）切线长定理 【做一做】用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里? （1）切线是直线，不能度量. （2）切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 【探究】PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B. （1）OB是⊙O的一条半径吗? （2）PB是⊙O的切线吗? （3）PA、PB有何关系? 【解析】(1) OB是⊙O的一条半径。∵沿直线PO对折，点A与点B重合，∴OB与OA重合，而OA是⊙O的半径，∴OB是⊙O的一条半径。 (2) PB是⊙O的切线。∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA（切线的性质），沿PO对折后，OB⊥PB，又∵OB是⊙O的半径，且B在圆上，∴PB是⊙O的切线（切线的判定） (3) PA=PB。由对折的性质可知，PA与PB能够完全重合，∵PA = PB（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）。 3.切线长定理： （1）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. （2）几何语言:PA，PB分别切☉O于点A，B （3）推理验证 已知，如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点. 求证:PA=PB,∠APO=∠BPO. 证明:∵PA切O0于点A，∴0A⊥PA.同理可得OB⊥PB.又∵0A=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP (HL),∴PA=PB, ∠APO=∠BPO. 4.切线长定理推论： 【想一想】：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. 【解析】OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点,∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线,∴OP垂直平分AB. 【归纳】切线长定理推论：OP垂直平分切点连线AB；A、O、B、P四点共圆。 （五）三角形内切圆（内心） 1.定义：与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心内心，是三条角平分线交点，永远在三角形内部。 2.性质： （1）点O到三角形三边的距离相等; （2）AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA; （3）内心O一定在三角形的内部 3..核心公式： （1）通用面积公式：S△=(a+b+c)·r（a、b、c三边长，r内切圆半径）； （2）Rt△简化公式：直角边a、b，斜边c，r=； （六）圆外切四边形 1.定义：圆外切四边形是指四边都与同一个圆相切的四边形，这个圆叫做四边形的内切圆。 2.性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，即：若四边形 ABCD 是圆外切四边形，则 AB+CD =AD+BC这个性质可以用切线长定理证明：设内切圆与四边的切点分别为 E,F,G,H，则AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH将这些等式左右分别相加，即可推导出对边和相等。 3.推论： （1）圆外切平行四边形一定是菱形.因为平行四边形对边相等，结合圆外切四边形对边和相等，可推出四边都相等，故为菱形。 （2）圆外切梯形的两腰之和等于上下底之和.因为梯形的上下底平行，结合对边和相等，可得 AD + BC = AB + CD（AB,CD 为底，AD,BC 为腰）。 4.圆外切四边形的判定方法 （1）判定1：四边都与同一个圆相切的四边形是圆外切四边形 ①几何描述：四边形四条边均存在切点，且所有切点在同一个圆（内切圆）上； ②图形特征：存在一个圆完全嵌在四边形内部，与四条边均有唯一公共点； ③适用场景：有图形、明确标注四边切点的直观判断题。 （2）数量关系判定（考试最常用，计算类题型核心） 凸四边形两组对边之和相等四边形有内切圆（圆外切四边形） ①公式：凸四边形ABCD，满足AB+CD=AD+BC，则该四边形为圆外切四边形； ②适用范围：仅限凸四边形，凹四边形不满足该判定； ③解题用法：已知四边长度，直接计算两组对边和，相等即可判定。 （3）特殊四边形专属判定（推论，快速判断） ①平行四边形 平行四边形为圆外切四边形该平行四边形是菱形 推导：平行四边形AB=CD，AD=BC，代入AB+CD=AD+BC得2AB=2AD，四边相等即为菱形。 ②梯形 梯形为圆外切四边形梯形两腰长度之和 = 上下底长度之和 公式：梯形上底a，下底b，腰c、d，满足a+b=c+d，则为圆外切梯形。 （4）角平分线判定（证明大题专用） 凸四边形四个内角的角平分线交于同一点，则该四边形是圆外切四边形 ①原理：角平分线交点到四条边距离相等，以该距离为半径、交点为圆心作圆，四边均与圆相切； ②辅助证明套路： a作四边形四个内角平分线，交于一点I； b过I向四条边作垂线段，证四条垂线段长度相等； c以I为圆心、垂线段长为半径作圆，四边均切于圆，判定为外切四边形。 四．经典例题 例1.（2025·盐城亭湖期末）⊙O半径r=6，点P满足OP=7，则点P位置为（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 【答案】：C 【解析】：d=7>r=6，满足点在圆外判定条件；易错混淆d、r大小关系。 例2.（2024·苏州吴中期末）圆心到直线距离d=5，圆半径r=5，直线与圆位置关系（） A.相交 B.相切 C.相离 D.重合 【答案】：B 【解析】：d=r，直线与圆仅有1个公共点，为相切。 例3.（2026·南通通州一模）下列条件能直接证明直线是圆切线的是（ ） A.直线垂直任意一条半径 B.直线过半径外端且垂直这条半径 C.直线与圆存在交点 D.圆心到直线距离小于半径 【答案】：B 【解析】：切线判定定理双条件：过半径外端、垂直半径；A缺少“外端”，不成立。 例4.（2025·泰州姜堰期末）PA、PB切⊙O于A、B，OA=4，OP=8，切线长PA为（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 【答案】：B 【解析】：切线垂直半径，Rt△OAP中，PA2=OP2-OA2=64-16=48，PA=4 。 例5. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5 【答案】：D 【解析】：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选D． 例6.如图P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为(　　) A.3 B.3 C.6 D.9 【答案】：A 【解析】：如图,连接OA.∵PA为☉O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.∵OB=3,∴OA=3.∵∠P=30°,∴OP=6,∴BP=6-3=3.故选A. 例7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为r作⊙C. (1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ (2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ 解：(1)若点A，B在⊙C外，则AC＞r.∵AC＝3，∴0<r<3. (2)若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC.∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4. 例8.已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P． （1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系； （2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足条件． 解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．（1）∵PC =r=12cm，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB位置关系是相切． （2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足条件是：0cm＜r＜12cm． 例9. 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： 解：直线PC与圆O相切．理由如下：如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN， ∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠BNC，∴∠BNC=∠ACD，∵∠BCP=∠ACD，∴∠BNC=∠BCP，∵CN是圆O的直径，∴∠CBN=90°，∴∠BNC+∠BCN=90°∴∠BCP+∠BCN=90°∴∠PCO=90°，即PC⊥OC，又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切 例10．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°. (1)求PA的长；(2)求∠COD的度数． 解：(1)由切线长定理可得CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝12，则PA的长为6 (2)连接OA，OE，OB，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝180°－∠P＝120°，由切线长定理可得∠AOC＝∠EOC＝∠AOE，∠DOB＝∠EOD＝∠EOB，∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝∠AOB＝60° 例11.如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形. 试说明理由. 解：（1）∵AD、BC为⊙O的切线 ∴DA⊥AB，CB⊥AB ∴∠ADC+∠DCB=1800 ∵AD、BC为⊙O的切线 ∴DO平分∠ADC，CO平分∠BCD ∴∠ODC=∠ADC，∠DC0=∠BCD∴∠ADC+∠BCD=900 ∴∠DOC=900 即CO⊥DO （2）∵AD、BC为⊙O的切线 ∴AD=DE 又∵DO平分∠ADC ∴DO⊥AE 同理CO⊥BE ∵CO⊥DO ∴∠OFE=∠OGE=∠FOG=900 ∴四边形OFEG是矩形. 例12.如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线． 解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）． （2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC∵∠MNC+ ∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·镇江丹徒期末）⊙O直径10，点M到圆心距离OM=4，则点M位置（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 【答案】：A 【解析】：半径r=5，d=4<5，点在圆内。 2.（2025·宿迁宿豫期末）直线与圆仅有1个公共点，下列数量关系成立的是（ ） A.d<r B.d=r C.d>r D.d≤r 【答案】：B 【解析】：1个公共点为相切，对应d=r。 3.（2026·盐城阜宁一模）三角形内心是三角形三条（ ）交点 A.垂直平分线 B.角平分线 C.中线 D.高 【答案】：B 【解析】：内心=角平分线交点；外心=垂直平分线交点，易混淆考点。 4.（2025·淮安淮阴期末）PA、PB切⊙O，DE为第三条切线交PA、PB于M、N，PA=8，△PMN周长为（ ） A.8 B.16 C.24 D.32 【答案】：B 【解析】：切线长等量代换，MD=MA，NE=NB，周长PM+MN+PN=PA+PB=16。 5.（2024·常州新北期末）外切四边形ABCD，AB+CD=14，则AD+BC=（ ） A.7 B.14 C.28 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：圆外切四边形两组对边之和相等。 6. 如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置 出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了：（ ） A. 2周 B. 3周 C. 4周 D. 5周 【答案】：C 【解析】：⊙O在三边运动时自转周数：6π÷2π =3，⊙O绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周．∴⊙O自转了3+1=4周．故选C． 7. 如图,在平面直角坐标系中, ⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴的正半轴夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x值的范围是(　　) A. -1≤x≤1 B. -≤x≤ C. -<x< D. 0≤x≤ 【答案】：B 【解析】：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∵⊙O的半径为1，△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0），∴-≤x≤． 故选B 8.如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　） A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P 【答案】：B 【解析】：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB，即有∠PAB＝∠PBA，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴∠AFD＝∠EDB，∵∠FAD+∠FDA+∠AFD＝180°，∠FDA+∠FDE+∠EDB＝180°，∴∠EDF＝∠PAB，∵∠PAB+∠PBA+∠P＝180°，且∠PBA＝∠PAB，∴∠EDF＝∠PAB＝．故选：B． 9. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A. 40° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】：B 【解析】：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，∵⊙O内切于△ABC，切点分别D、E、F，∴∠OEA=∠OFA=90°，∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°，∴∠EDF=∠EOF=55°．故选B． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　) A. B. C. D．2 【答案】：A 【解析】：由题意可知，AF＝AE＝BF＝BG＝2，DE＝DN＝3，设GM＝x，则MN＝x，DM＝3＋x，CM＝3－x.在Rt△DMC中，∵DM2＝CM2＋CD2，∴(3＋x)2＝(3－x)2＋42，解得x＝，∴DM＝DN＋MN＝3＋＝.故选A. （二）填空题 11.（2025·苏州吴中期末）点在圆上，点到圆心距离d________半径r（填＞、＝、＜） 【答案】：＝ 【解析】：点与圆位置关系基础判定。 12.（2026·盐城滨海二模）直角三角形直角边5、12，内切圆半径r=________ 【答案】：2 【解析】：斜边13，r==2。 13.（2024·泰州兴化期末）圆的切线与过切点的半径夹角为________° 【答案】：90 【解析】：切线核心性质，切线垂直于切点半径。 14.（2025·连云港东海期末）直线与圆相交，公共点个数为________ 【答案】：2 【解析】：相交定义，直线称为割线。 15.（2026·盐城亭湖一模）△ABC内心I，∠ACB=60°，则∠AIB=________° 【答案】：120 【解析】：内心角度公式∠AIB=90°+∠ACB=90°+30°=120°。 16.如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=2.8,☉O是以AB为直径的圆,则直线CD与☉O的位置关系是　　　　.  【答案】相交　 【解析】设AB的中点为O,则点O到CD的距离为2.8.因为☉O的半径为3,3>2.8,所以直线CD与☉O的位置关系是相交. 17.如图,☉M的圆心为M(-2,2),半径为2,直线AB过点A(0,-2),B(2,0),则☉M关于y轴对称的☉M'与直线AB的位置关系是　　　　.   【答案】相交　 【解析】因为☉M的圆心为M(-2,2),所以☉M关于y轴对称的☉M'的圆心为M'(2,2).因为M'B=2,所以点M'到直线AB的距离为,2>,所以直线AB与☉M'相交. 18.如图5,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆的半径为10 cm,小圆的半径为6 cm,则弦AB的长为　　　　.  【答案】16cm 【解析】连接OA,OC.∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB.∵OA=10 cm,OC=6 cm,∴AC==8 cm.∵AB是大圆的弦,OC过圆心,OC⊥AB,∴AB=2AC=2×8=16(cm). 19.如图6,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是　　　　.  【答案】25° 【解析】∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∴∠AOC=90°-∠C=90°-40°=50°. ∴∠B=∠AOD=25°,即∠B的度数为25°. 20.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=　.  【答案】219° 【解析】连接AB.∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB.∵∠P=102°,∴∠PAB=∠PBA=(180° -102°)=39°.又∵∠DAB+∠C=180°,∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=39°+180°=219°.故答案为219. （三）解答题 21.（2025·镇江京口期末）已知线段AB=10，以AB为直径作⊙O。 (1)求⊙O半径长度； (2)若点P满足OP=6，判断点P与圆位置。 解：(1)直径是半径2倍，直接除法计算。直径AB=10，半径r=10÷2=5； (2)距离大于半径，对应圆外。OP=6>5=r，点P在圆外； 22．如图所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？ 解：过E作EF⊥CD于F，因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A=∠B=90° 所以AE=EF=BE所以以AB为直径的圆的圆心为E，所以EF是圆心E到CD的距离． 又所以以AB为直径的圆与边CD相切． 23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，以点C为圆心，以r为半径作圆，若⊙C与线段AB有两个交点，求r的取值范围． 解：过点C作AB的垂线交AB于点D，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，由勾股定理知， AB＝＝5，∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴×3×4＝×5×CD，∴CD＝2.4，即r的取值范围是2.4＜r≤3.　 24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,与AC,BC分别交于点M,N,与AB的另一个交点为E,过点N作NF⊥AB,垂足为F. (1)求证:NF是☉O的切线; (2)若NF=2,DF=1,求弦ED的长. 解:(1)证明:连接ON,如图所示.∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.∵NF⊥AB,∴∠NFB=90°,∴∠ONF=∠NFB=90°,∴ON⊥NF.又∵NF过半径ON的外端,∴NF是☉O的切线. (2)过点O作OH⊥ED,垂足为H,如图所示.设☉O的半径为r.∵OH⊥ED,NF⊥AB,ON⊥NF, ∴∠OHD=∠NFH=∠ONF=90°,∴四边形ONFH为矩形,∴HF=ON=r,OH=NF=2,∴HD=HF-DF=r-1.在Rt△OHD中,∠OHD=90°,∴OH2+HD2=OD2,即22+(r-1)2=r2,解得r=,∴HD=.∵OH⊥ED,且OH过圆心O,∴HE=HD,∴ED=2HD=3. 25．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°． （1）求∠BAC的度数； （2）当OA=2时，求AB的长． 解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∵∠P=60°，∴∠PAB=60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°． （2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，∴OP=4，由勾股定理得：， ∵AP=BP，∠APB=60°，∴△APB是等边三角形，∴． 26. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 解：（1）BC所在直线与小圆相切.理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD=BC.理由如下：连接OD，∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∴Rt△OAD≌Rt△OEB，∴EB=AD； ∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD; （3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm；∵BC=AC+AD，∴AD=BC-AC=4cm，∵圆环的面积为：S=π（OD）2-π（OA）2=π（OD2-OA2），又∵OD2-OA2=AD2，∴S=42π=16π（cm2）． 27．阅读材料：如图①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r.连结OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r， ∴r＝. 类比推理：(1)若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图②，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r. 理解应用： (2)如图③，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值． 解：(1)如解图①，连结OA，OB，OC，OD.∵S＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD＝ar＋br＋cr＋dr＝(a＋b＋c＋d)r，∴r＝. (2)如解图②，过点D作DE⊥AB于点E.∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AE＝(AB－CD)＝×(21－11)＝5，∴EB＝AB－AE＝21－5＝16.在Rt△AED中，∵AD＝13，AE＝5，∴DE＝＝＝12，∴在Rt△DEB中，DB＝＝＝20. ∵S△ABD＝AB·DE＝×21×12＝126，S△CDB＝CD·DE＝×11×12＝66， ∴＝＝＝. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州铜山期末）⊙O半径7，点P满足OP=7，下列说法正确（ ） A.P在圆内 B.P在圆上 C.P在圆外 D.P是圆心 【答案】：B 【解析】：d=r，点在圆上。 2.（2024·扬州广陵期末）圆心到直线距离d=4，圆半径r=6，直线与圆（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 【答案】：A 【解析】：d=4<6=r，直线与圆有2个公共点，相交。 3.（2026·盐城市直二模）证明切线，已知直线与圆交于点M，标准辅助线做法（ ） A.过圆心作直线垂线 B.连接OM，证明OM⊥直线 C.任意连接一条半径 D.延长OM 【答案】：B 【解析】：有公共切点，连半径证垂直，固定辅助线。 4.（2025·宿迁沭阳期末）PA、PB切⊙O，∠APB=60°，PA=9，则PB=（ ） A.4.5 B.9 C.18 D.9 【答案】：B 【解析】：切线长定理，圆外一点两条切线长度相等。 5.（2024·镇江京口期末）直线与圆无公共点，则d与r满足（ ） A.d<r B.d=r C.d>r D.d≤r 【答案】：C 【解析】：无交点为相离，距离大于半径。 6.（2026·盐城射阳二模）Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，半径5作圆，斜边AB与圆位置（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.过圆心 【答案】：A 【解析】：面积法求C到AB距离d=4.8<5=r，直线与圆相交。 7．如图，已知CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E.若∠1＝60°，∠2＝65°，比较AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( ) A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE 【答案】：A 【解析】：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝55°，∴∠2>∠1>∠ABC，∴AB>BC>AC.∵CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB>CE>CD. 8．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　) A．AC∥OD B．DE＝DO C．CD＝BD D．AB＝AC 【答案】：B 【解析】：当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．故A项正确．当CD＝BD时，AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．故C项正确．当AB＝AC时，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．故D项正确． 9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，M和N分别是直线l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，则下列结论错误的是(　　) A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝ C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2间的距离为2 【答案】：B 【解析】： A项，平移MN使点N与点B重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得MN＝，正确；B项，当MN与圆相切时，分两种情况：①当MN在圆的左边时，AM＝，正确；②当MN在圆的右边时，AM＝.故错误；C项，若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，连接MO，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，则△MON≌△MOC，因为MC上的高OA＝1，故MN上的高为1，即点O到MN的距离等于半径，正确；D项，因为l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确．故选B. 10．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是(　D　) A．1 cm B．2 cm C．8 cm D．2 cm或8 cm 【答案】：D 【解析】： 如图，连接OB.∵AB⊥OC，AB＝8 cm，∴AH＝BH＝AB＝×8＝4(cm)．在Rt△BOH中，OB＝OC＝5 cm，∴OH＝＝3(cm)．∵直线l通过平移与⊙O相切，∴直线l垂直于过点C的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5－3＝2(cm)；当向上平移时，直线l平移的距离＝5＋3＝8(cm)． （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）点与圆的三种位置：圆内、________、圆外. 【答案】：圆上 【解析】：基础概念填空。 12.（2026·盐城大丰一模）切线长定理证明全等判定方法为________ 【答案】：HL 【解析】：Rt△OAP、Rt△OBP斜边、直角边对应相等，HL全等。 13.（2024·南通海门期末）圆外切平行四边形一定是________ 【答案】：菱形 【解析】：平行四边形对边相等，外切四边形对边和相等，推导出四边相等。 14.（2025·泰州海陵期末）PA、PB切⊙O，∠APO=30°，则∠APB=________° 【答案】：60 【解析】：OP平分切线夹角，30°×2=60°。 15.（2026·盐城阜宁二模）△ABC周长30，内切圆半径r=4，三角形面积=________ 【答案】：60 【解析】：S=×周长×r=\dfrac12×30×4=60。 16.（2024·常州溧阳期末）90°圆周角所对弦为直径，直径端点作切线，两条切线互相________ 【答案】：垂直 【解析】：切线垂直半径，直径两侧切线均垂直直径，故互相垂直。 17．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段CD的长为________． 【答案】4 【解析】如图，设OC交BE于点F.∵AB为⊙O的直径，∴∠3＝∠DEF＝90°.在Rt△ABE中，AB＝2OA＝10，AE＝6，∴BE＝＝＝8.∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l，∴∠1＝90°.∵AD⊥l于点D，∴∠2＝90°.∵∠1＝∠2＝∠DEF＝90°，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∠4＝∠5＝90°，∴OC⊥BE，∴EF＝BE＝4，∴CD＝EF＝4 18．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是____． 【答案】2 【解析】如图，过点A作AP⊥直线y＝－x＋3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小．∵点A的坐标为(－1，0)，设直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点C，B，∴B(0，3)，C(4，0)，∴OB＝3，AC＝5，∴BC＝＝5，∴AC＝BC，∴△APC≌△BOC，∴AP＝OB＝3，∴PQ＝＝2 . 19．如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心P在射线OA上，点P与点O的距离为8 cm，如果⊙P以2 cm/s的速度由A向B匀速运动，那么________s时⊙P与直线CD相切． 【答案】3或5　 【解析】 当⊙P在点O左侧与直线CD相切时，设圆心为P′，切点为E′，∵∠AOC＝30°，P′E′＝1 cm，∴OP′＝2 cm，PP′＝8－2＝6(cm)，运动时间为6÷2＝3(s)；当⊙P在点O右侧与直线CD相切时，同理可得PP″＝8＋2＝10(cm)，运动时间为10÷2＝5(s)． 20. 射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值_____（单位：秒） 【答案】t=2或3≤t≤7或t=8 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°．∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点．∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°．分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，∵速度是每秒1cm，∴t=2．②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm．∵速度是每秒1cm，∴t=3．当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm．∵速度是每秒1cm，∴t=7．∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切．③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′，则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cmPN=2NN′=2cm．∴QP=4cm+2cm +2cm=8cm．∵速度是每秒1cm，∴t=8．综上所述，t可取一切值为：t=2或3≤t≤7或t=8． （三）解答题 21．如图所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线． 解：作法：如图， (1)连接OP，以OP为直径作⊙O′交⊙O于A，B两点； (2)连接PA，PB，则PA，PB所在的直线即为所求作的切线． 22.新定义题如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长． 解：依题意知OA′·OA＝16，且OA＝8，所以OA′＝2.同理可知，OB′＝4，即点B的“反演点”B′与点B重合．设OA交⊙O于点M，连结B′M，因为∠BOA＝60°，OM＝OB′，所以△OB′M为等边三角形．又因为OA′＝2＝OM，所以A′B′⊥OM.根据勾股定理，得OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得A′B′＝2 (负值已舍去)． 23.实践：如图△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠BAC的平分线，交BC于点O. ②以O为圆心，OC为半径作圆. 综合运用：在你所作的图中， （1）AB与⊙O的位置关系是_____ .（直接写出答案） （2）若AC=5，BC=12，求⊙O 的半径. 解：（1）①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．AB与⊙O的位置关系是相切． （2）相切；∵AC=5，BC=12，∴AD=5，AB==13，∴DB=AB-AD=13-5=8，设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）x2+82=（12-x）2，解得：x=．答：⊙O的半径为． 24.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,5个单位长度为半径画圆.直线MN经过x轴上的一动点P(m,0)且垂直于x轴,当点P在x轴上移动时,直线MN也随之平行移动.按下列条件求m的值或取值范围. (1)☉O上任何一点到直线MN的距离都不等于3; (2)☉O上有且只有一点到直线MN的距离等于3; (3)☉O上有且只有两点到直线MN的距离等于3; (4)随着m的变化,☉O上到直线MN的距离等于3的点的个数还有哪些变化?请说明所有情形及对应m的值或取值范围. 解:(1)m<-8或m>8.(2)m=-8或m=8.(3)-8<m<-2或2<m<8.(4)当m=-2或m=2时,☉O上有且只有三个点到直线MN的距离等于3; 当-2<m<2时,☉O上有且只有四个点到直线MN的距离等于3. 25.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （l）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 解：（1）∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，∴AB⊥BM，∵BM//CD，∴AB⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝AC，∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD为等边三角形.（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，∴∠DAB＝30°，连结BD，∴BD⊥AD.∠EBD＝∠DAB＝30°，∵DE＝2，∴BE＝4，，，，在Rt△OBE中，． 26.已知:在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,D是边AB上的一点,过C,D两点的☉O分别与边AC,BC交于点E,F. (1)如图(a)(b),若D是AB的中点: ①在(a)中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法); ②如图(b),连接EF,若EF∥AB,求线段EF的长; ③请写出求线段EF长度最小值的思路. (2)如图(c),当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是　　　　.  解:(1)①答案不唯一,如图(a)所示.②如图(b),连接CD,FD.∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∴EF是☉O的直径.∵D是AB的中点,∴AD=BD=CD=5,∴∠B=∠DCB.∵EF∥AB,∴∠A=∠CEF.又∵∠CDF=∠CEF,∴∠A=∠CDF.∵∠A+∠B=90°,∴∠CDF+∠DCB=90°,∴∠CFD=90°,∴CD是☉O的直径,∴EF=CD=5.③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°,∴EF是☉O的直径.∵CD是☉O的弦,∴EF≥CD,∴当CD是☉O的直径时,EF的长度最小. （2）如图(c),由(1)③知,当CD是☉O的直径时,EF的长度最小,最小值为CD的长.当点D在边AB上运动时,只有当CD⊥AB时,CD的长最小.由(1)②知,△ABC是直角三角形,∴S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴AC·BC=AB·CD,∴CD===,∴线段EF长度的最小值为.故答案为. 27．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d. 图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3 (1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有___________个； (2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______________个； (3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a. 解：(1) d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a－r＜d＜a＋r 2 d＝a－r 1 d＜a－r 0 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个； (2) d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a≤d＜a＋r 2 d＜a 4 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个； (3)连接OC.则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.在Rt△OCF中，由勾股定理，得 OF2＋FC2＝OC2，即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，5a2＝4ar，5a＝4r. ∴r＝a. 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