25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）-课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为病毒传播和平均增长率问题的方程模型建立，通过“审设列解验答”步骤梳理作为学习支架，衔接传染病传播分析与成本下降率探究，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以现实情境（如传染病传播、食品成本变化）为载体，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理逻辑（如区分下降额与下降率）、用数学语言表达模型（如(1+x)²公式），练习分层设计（必做与选做），学生提升应用能力，教师教学更具操作性。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 （第2课时） 1．分析病毒传播、平均增长率两类问题的变化规律，建立对应方程模型． 2．掌握增长率公式：原有量×(1+增长率) 2=两次增长后总量，理解传播裂变规律． 3．区分传播问题与增长率问题的数量逻辑，检验根的实际现实意义． 说一说：列一元二次方程解决实际问题的一般步骤． （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列出一元二次方程． （4）解：正确地解一元二次方程． （5）验：检验解是不是原方程的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 接下来，我们进一步探究如何运用一元二次方程解决现实生活中的问题. 4 探究1：某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 开始有1个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有___________________个人被传染. ] 探究1：某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 根据题意可列方程 解方程，得 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 通过探究本题，谈谈你对类似的传播问题中数量关系的认识. 这类传播问题属于指数增长模型，每一轮全部感染者都会继续传染他人. 初始 1 人，每轮每人传染x人，两轮后总人数为 (1+x)2；经过n轮传染，总感染人数为 (1+x)n. 注意： 1. 解题要区分新增人数与累计总人数. 2. 解方程后要检验解是否符合现实意义. 思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会阻断病毒传播的必要性. 解：由题意求得每轮平均 1 人传染 10 个人，即 x=10. 三轮传染后总人数公式：(1+x)3 代入计算： (1+x)3 =(1+10)3=113=1331 答：经过三轮传染后共有 1331 人 被传染. 感悟：两轮传染后 121 人，三轮迅速增长至 1331 人，感染人数呈爆炸式增长. 可以看出传染病扩散速度极快，因此及时采取隔离、防护等措施阻断传播，能够有效控制感染规模，防止疫情快速蔓延. 探究2：两年前生产甲种食品的成本是10000元，生产乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产甲种食品的成本是6000元，生产乙种食品的成本是7200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大? 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10000-6000)÷2=2000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12000-7200)÷2=2400(元).显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 探究2：两年前生产甲种食品的成本是10000元，生产乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产甲种食品的成本是6000元，生产乙种食品的成本是7200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大? 解：设甲种食品成本的年平均下降率为，则一年后甲种食品 成本为元，两年后甲种食品成本为10000(1-元， 于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 为什么选择22.5%作为答案? 探究2：两年前生产甲种食品的成本是10000元，生产乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产甲种食品的成本是6000元，生产乙种食品的成本是7200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大? 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 探究2：两年前生产甲种食品的成本是10000元，生产乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产甲种食品的成本是6000元，生产乙种食品的成本是7200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大? 解：设乙种食品成本的年平均下降率为，则一年后乙种食品 成本为元，两年后乙种食品成本为12000(1-元， 于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 探究2：两年前生产甲种食品的成本是10000元，生产乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产甲种食品的成本是6000元，生产乙种食品的成本是7200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大? 甲食品年平均下降率约22.5%，乙食品年平均下降率约22.5%，两种食品成本的年平均下降率大致相等. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 乙食品两年成本下降额更大，但甲乙两种食品成本的年平均下降率大致相等. 所以成本下降额大的食品，成本下降率不一定大. 下降额是绝对变化量，受初始基数影响；下降率是相对变化比例，二者不能等同. 全面比较变化情况时，既要关注绝对变化数额，也要计算相对变化率，结合初始基数综合分析，不能仅凭下降额判断变化快慢. 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 实际问题与 一元二次方程 平均增长率问题 传播问题 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 5．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 【综合拓展类作业】 x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数       x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数       25 【综合拓展类作业】 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； (3)请继续完成本题的解答：  1．有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（    ） A．216人 B．226人 C．236人 D．246人 A 2．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 3．某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 解：设该工厂二、三月份的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得（舍去）， 答：该工厂二、三月份的月平均增长率为50%． 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出（    ） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 D 5．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 1．某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（  ） A．1轮后共有名同学会做这个模型 B．第2轮又增加名同学会做这个模型 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 D 2．某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为 ____________________． 3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．(1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 解：（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ，解得：(不符合题意，舍去） 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 4．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． C 7 13 21 1+x x2 1+x+x2 解：（3）由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． $