专题02 分式的化简求值训练8大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 该专项通过8类分层题型构建“基础-易错-创新”三阶训练体系，融合直接代入、整体思想等6种核心方法，形成从概念理解到综合应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求值|18题|直接代入法、整体代入法、取值验证法|从具体数值到代数式关系，构建分式化简与方程的联系| |易错分析|12题|步骤纠错法、条件补全法|通过错误案例强化运算严谨性，培养批判性思维| |创新应用|20题|新定义转化、倒数法、分离常数法|结合新情境发展数学抽象能力，提升知识迁移水平|

专题02 分式的化简求值训练 常考题型·精准突破 考点一 分式的化简求值训练 题型一、已知字母的值求分式化简的结果（重） 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果（重） 题型三、选取合适的值求分式化简的结果（重） 题型四、分式化简的步骤错误问题（高频） 题型五、分式化简中的遮盖问题（高频） 题型六、分式化简的新定义问题（难） 题型七、分式化简的倒数计算（难） 题型八、分式化简中的求整问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式的化简求值训练 ◆题型1 已知字母的值求分式化简的结果 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简再求值：，其中． 3．先化简，再求值，其中 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值： ，其中 ． 6．先化简，再求值：，其中． ◆题型2 已知代数式的值求分式化简的结果 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简，再求值：，其中x满足． 9．先化简，再求值：，其中． 10．先化简，再求值：，其中是方程的根． 11．已知：，求：的值． 12．先化简，再求值：，其中x满足． ◆题型3 选取合适的值求分式化简的结果 13．先化简，再求值：，请你任选一个你喜欢的m的值代入求解，且是负整数． 14．先化简：，再从，，，，中选取一个数代入求值． 15．先化简，再求值：，其中，选一个合适的整数代入求值. 16．先化简：，从，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 17．先化简：，再从中选合适的数代入求值． 18．先化简，然后选一个你喜欢的数代入求值． ◆题型4 分式化简的步骤错误问题 19．先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 20．以下是某同学化简分式的运算过程： 解：原式① ② ③ (1)上面的运算过程从第 步开始出现错误，请写出正确的解答过程； (2)请从，0，2中任选一个符合条件的数，作为x的值代入求值． 21．下面是小华化简分式的过程： 解： 原式 ． 第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第___________步，涉及分式的约分的步骤是第___________步； (2)小华的化简过程从第___________步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从，，，中选择一个合适的数代入求值． 22．以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 23．在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； (1)填空：①______；②______；③______； (2)请将化简后的结果求值． 24．先化简，再求值：，其中，下面是甲同学的部分运算过程： 解：            第一步             第二步                 第三步 … (1)甲同学的运算过程中第 步是通分； (2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值． ◆题型5 分式化简中的遮盖问题 25．小亮在作业本上看到一个化简题，但不小心被墨水遮住了原式的一部分： (1)小亮假设被遮住的式子是，请代入原式，先化简，再选取一个你喜欢的值代入求值（取值需使原式有意义）； (2)若这道题的答案是，则被遮住的式子应是什么？ 26．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题： (1)求被手遮住部分的代数式； (2)已知，求（1）中所得的代数式的值． 27．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图． (1)求被手遮住的部分，并将其化简； (2)原式的值能等于吗？请说明理由． 28．老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：    (1)求被手遮住部分的代数式． (2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由． 29．下面展示的是嘉嘉学案纸上的一道例题及其正确的部分解答过程，其中M被墨水污染了，嘉嘉只记得M是单项式． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式 (1)单项式__________． (2)将解答过程补充完整． 30．小丽在化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测部分的式子应该是______． ◆题型6 分式化简的新定义问题 31．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 32．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 33．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 34．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 35．定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； (2)已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． ◆题型7 分式化简的倒数计算 36．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 37．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 38．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，∴，即 ∴，∴ 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知， (1)求的值； (2)求的值． 39．阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 40．阅读下列解题过程： 已知，求的值 解：由，知，所以，即， 的值为2的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，请你用“倒数法”解答下面问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 41．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知．，即． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 42．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴，即， ∴，∴， ∴，∴． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． ◆题型8 分式化简中的求整问题 43．【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 44．阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； (2)将假分式化为带分式的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值； 45．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴ 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)请将分式分离常数； (2)已知，求分式的值： (3)若分式的值为整数，整数b的值为 ． 46．【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 【应用】 (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； 【拓展】 (3)已知分式的值为整数，求正整数x的值． 47．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 48．【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 综合攻坚·知能拔高 1．已知， (1)化简A； (2)若，求A的值． 2．下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程．请认真阅读并完成相应问题． 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 第七步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第_____________步进行的是分式的通分； ②第_________步开始出现错误； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果； (3)化简：，然后从0，1，2中选择一个合适的致代入求值． 3．解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 4．先化简，再求值：，其中． 5．（1）化简：；请你从，0，1，2中选一个合适的的值代入求值． （2）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： 把看成一个整体，化简：； 已知，求的值． 6．分式化简求值：，其中x为满足的整数 7．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 8．某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下．这位同学的错误出现在第______步．请你写出这道题的正确解答过程，并从三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 9．某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 10．观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 11．【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 12．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值?数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，，， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以，得 原式 (1)“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是________； (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 13．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式． 14．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 15．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式的化简求值训练 常考题型·精准突破 考点一 分式的化简求值训练 题型一、已知字母的值求分式化简的结果（重） 题型二、已知代数式的值求分式化简的结果（重） 题型三、选取合适的值求分式化简的结果（重） 题型四、分式化简的步骤错误问题（高频） 题型五、分式化简中的遮盖问题（高频） 题型六、分式化简的新定义问题（难） 题型七、分式化简的倒数计算（难） 题型八、分式化简中的求整问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式的化简求值训练 ◆题型1 已知字母的值求分式化简的结果 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 2．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 3．先化简，再求值，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值；同分母分式相加，分母不变，分子相加即可，再将代入求值． 【详解】解： ∵， ∴原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的混合运算和化简求值．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 5．先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先对括号内的式子通分计算加法，化除法为乘法，再通过因式分解和约分化简分式，最后代入a的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． ◆题型2 已知代数式的值求分式化简的结果 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂和零指数幂．先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后计算出x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 8．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ． 由，得． ∴原式． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及绝对值和平方数的非负性，熟练掌握分式的运算法则和非负数的性质是解题的关键．先对给定的分式进行通分、化简运算，再根据绝对值和平方数的非负性求出、的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． ， ∴原式． 10．先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式利用除法法则变形，约分后化简得到结果，根据a为已知方程的解，将代入方程得到关系式，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 是方程的根， ， 则原式． 11．已知：，求：的值． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简与求值，解二元一次方程组，绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据绝对值和完全平方的非负性，得到，解方程组求出的值，根据分式的运算法则化简式子，再代入的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴ ， 代入，原式． 12．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先对分式进行化简，通过通分、因式分解等操作将原式化为最简形式；再根据已知方程变形得到与化简后式子相关的部分，代入求值．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和方程变形技巧是解题的关键． 【详解】解：     ； ∵， ∴， 即， 则． ◆题型3 选取合适的值求分式化简的结果 13．先化简，再求值：，请你任选一个你喜欢的m的值代入求解，且是负整数． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 是负整数，且 ， 当时，原式． 14．先化简：，再从，，，，中选取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，根据分式有意义的条件可知：，，把或代入化简后的分式计算求值即可． 【详解】解： ， 有意义， ， 解得：，， 当时， 原式， 当时， 原式． 15．先化简，再求值：，其中，选一个合适的整数代入求值. 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，再根据分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定出整数的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解：原式 ， ∵，且，， ∴整数， 当时， 原式. 16．先化简：，从，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算进行化简，再选一个使分式有意义的a的值代入求值． 【详解】解： ． 要使原分式有意义，则， ∴且， ∴当时，原式． 17．先化简：，再从中选合适的数代入求值． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴， 当时，原式 18．先化简，然后选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是利用分式的运算法则进行化简． 先化简分式，再代入使分式有意义的字母的值求出分式的值． 【详解】解： ∵有意义， ∴，，，， ∴且且， ∴可以取， 当时， 原式． ◆题型4 分式化简的步骤错误问题 19．先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 【答案】(1)② (2) ， 当或2时，原分式无意义， 或4， 当时，原式； 当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法没有分配律，从第②步开始出错； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）略 20．以下是某同学化简分式的运算过程： 解：原式① ② ③ (1)上面的运算过程从第 步开始出现错误，请写出正确的解答过程； (2)请从，0，2中任选一个符合条件的数，作为x的值代入求值． 【答案】(1)②， 原式 ； (2)只能代入，1． 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）根据去括号法则得出答案即可； （2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：原分式分母为， ， 故只能代入 原式 21．下面是小华化简分式的过程： 解： 原式 ． 第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第___________步，涉及分式的约分的步骤是第___________步； (2)小华的化简过程从第___________步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从，，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)一，三 (2)二 (3)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程求解即可； （2）小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误； （3）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：一，三； （2）小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （3） ， 当时，原式． 22．以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 【答案】任务一：二；通分时候分子分母没有同时乘以； 任务二：解：原式 ； 任务三：当时，原式（或当时，原式） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 任务一：根据题目中的解答过程可得出结论； 任务二：利用分式的混合运算的法则解答即可； 任务三：找出合适的a的值，代入计算即可求解． 【详解】解：任务一 从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时候分子分母没有同时乘以； 故答案为：二；通分时候分子分母没有同时乘以； 任务二略 任务三 解：由题得， ∴且， 当且为整数时， 或， ①当时，原式； ②当时，原式． 23．在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； (1)填空：①______；②______；③______； (2)请将化简后的结果求值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解； （2）根据分式有意义的条件确定的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，，； （2）∵，， ∴且， ∴只能取1， 则当时，原式． 24．先化简，再求值：，其中，下面是甲同学的部分运算过程： 解：            第一步             第二步                 第三步 … (1)甲同学的运算过程中第 步是通分； (2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质及分母有理化，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律、分式的约分法则计算． 【详解】（1）解：甲同学的运算过程中第一步是通分； （2）解：原式 ； 当时， 原式． ◆题型5 分式化简中的遮盖问题 25．小亮在作业本上看到一个化简题，但不小心被墨水遮住了原式的一部分： (1)小亮假设被遮住的式子是，请代入原式，先化简，再选取一个你喜欢的值代入求值（取值需使原式有意义）； (2)若这道题的答案是，则被遮住的式子应是什么？ 【答案】(1)，当时，原式（答案不唯一） (2) 【分析】（1）由题意得，然后按分式的运算顺序化简，再选取一个使原分式有意义的a的值代入化简后的式子进行计算即可解答； （2）由题意得，然后按分式的运算顺序计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵，， ∴，， ∴选取，原式； （2）解：由题意得： ， ． 26．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题： (1)求被手遮住部分的代数式； (2)已知，求（1）中所得的代数式的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）等式两边先乘以，再除以可得； （2）把变形为，再代入（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由等式的基本性质得，被手遮住部分的代数式为． 化简，得， 被手遮住部分的代数式为． （2）解：， ， ． 27．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图． (1)求被手遮住的部分，并将其化简； (2)原式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不能等于，见解析． 【分析】本题考查的是分式的化简求值．在分式的化简求值时应注意字母的取值一定要使分式有意义． 首先设被手遮住的部分为，然后根据分式的运算法则计算求出； 当分式的值为时，可得到分式方程，解得，当时分式，作为一个除式不能为，所以原分式的值不能为． 【详解】（1）解：设被手遮住的部分为， ， 则， ， ， ， 则； （2）解：不能． 理由：若原式的值能等于， 则， 解得：． 当时，无意义， 原式的值不能等于． 28．老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：    (1)求被手遮住部分的代数式． (2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可； （2）令原代数式的值为0，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可． 【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为A， 则 ； （2）原代数式的值不能等于0． 若原代数式的值为0，则，即，解得， 当时，，分式无意义， ∴故原代数式的值不能等于0． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义． 29．下面展示的是嘉嘉学案纸上的一道例题及其正确的部分解答过程，其中M被墨水污染了，嘉嘉只记得M是单项式． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式 (1)单项式__________． (2)将解答过程补充完整． 【答案】(1) (2) ＝ ＝ ＝ 当时，原式＝ 【分析】本题考查了分式的加减法运算． （1）由解题过程知，，根据约分则可得到原式，从而确定M， （2）根据分式的加减法运算化简即可，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴． （2）略 30．小丽在化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测部分的式子应该是______． 【答案】 【分析】本题考查了约分，分式的性质，直接利用分式的性质结合约分即可求解，正确掌握分式的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴部分的式子应该是， 故答案为：． ◆题型6 分式化简的新定义问题 31．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ∵该式的值为整数， ∴，， 解得或或1或， 又，1，，， ∴， 即当时，该式的值为整数． 32．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． （2）解：． （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 33．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 34．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，进行化简求解； （3）将原式进行化简，根据题意可得，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数的值． 【详解】（1）解： ，是和谐分式， ，不是和谐分式， ，是和谐分式． 故答案为：． （2）解：， ． 故答案为：，． （3）解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或． 35．定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； (2)已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)是的“差常分式”， ， 根据题目中对于“差常分式”的定义， ，且为正数， 是的“差常分式”，且关于的“差常值”是； (2)①；②，， 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据“差常分式”的定义，化简求出的值，看值是否是常数且为正数，即可判断； （2）①根据题意可知，，代入得，对该等式进行去分母，移项化简可得：；②把①中求得代入的式子中得：，则因为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，故有：或或，即可得解． 【详解】（1）略 （2）是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2， ，即， 等式两边同时乘以得：， 移项，整理得：； 所代表的整式为：． ， 为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数， 或或， 解得：或或， 满足条件的的值为：，，． ◆题型7 分式化简的倒数计算 36．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√；④√； (2)①；②19； (3)且 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、整式、分式的化简求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）依据题意，根据“优美分式”的意义逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由，且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，从而可以得解； ②由，则结合①可得，，则，故，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，设， ，故，，则，，，，从而，，代入可得即可求解． 【详解】（1）解：①， ∴①是“优美分式”． 故答案为：√； ②是整式，不是“优美分式”． 故答案为：×； ③=1+， ∴③是“优美分式”． 故答案为：√； ④， ∴④是“优美分式”． 故答案为：√； （2）解：①由题意，∵ ， 且“优美分式”，其中A为整式，B为常数， ∴整式； ②∵， ∴结合①可得，，则． ∴． ∴ ； （3）解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数）， 当两者拆分后的分式分子为相等常数， ∴可设， ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∵ ∴， ∴，且． 37．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 38．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，∴，即 ∴，∴ 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）对已知等式取倒数，变形得到的值； （2）对所求分式取倒数，利用完全平方公式转化为含的形式，代入求值后再取倒数得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 39．阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键．把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴的值为． 40．阅读下列解题过程： 已知，求的值 解：由，知，所以，即， 的值为2的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，请你用“倒数法”解答下面问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则． （1）同样将已知等式变形求出的值，原式变形后，将的值代入计算即可． （2）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，知 ∴，即 ∴ 故的值为21的倒数，即为 （2）解：依题意，∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴． 41．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知．，即． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的性质，代数式求值，正确理解方法的内涵是解题的关键． （1）把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． （2）把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． 【详解】（1）∵，，，则， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）∵，知， ， 即． ∴， ∴． 42．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴，即， ∴，∴， ∴，∴． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由已知可得，进而得到，利用倒数法求出，将，代入可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴即， ∴即， ∵ ， ∴， ∴． ◆题型8 分式化简中的求整问题 43．【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 【答案】（1）①③；（2）；（3）2,4 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据真分式的定义即可求解； （2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）根据定义得：①③ 故答案为：①③ （2）．     （3）     ∵分式的值为整数， ∴ ∴ 故答案为：. 44．阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； (2)将假分式化为带分式的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值； 【答案】(1)①③④ (2) (3)满足条件的整数为 【分析】本题主要考查分式的定义和化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据题中所给新定义进行判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式， ①中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ②为整式，不是分式； ③中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ④中分子次数为2，分母次数为2，是假分式， 故答案为：①③④； （2）解：． （3）解：对分式进行变形： 要使分式为整数，则为整数，即是21的因数 21的因数有， 解得的值为， 因此，满足条件的整数为． 45．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴ 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)请将分式分离常数； (2)已知，求分式的值： (3)若分式的值为整数，整数b的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料2的解析，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （3）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或；解之即可得到答案． 【详解】（1）解：； ∴分式分离常数为； （2）解：∵； ∴ ； （3）解：∵分式的值为整数； ∴； ∵； ∴或； ∴或；          故答案为：； 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． 46．【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 【应用】 (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； 【拓展】 (3)已知分式的值为整数，求正整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或16 【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可； （2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式； （3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）设，则， ∴ ∴， 故答案为：； （3）设，则， ∴ ∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，， 由，得或 由，得或（舍） ∴正整数x的值为4或2或16． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则． 47．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】(1)假分式 (2)或 (3)27 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． （3）解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 48．【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或0或2或 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算及完全平方公式是解题的关键． （1）仿照例题，根据题分式的运算求解； （2）根据例题以及分式的运算求解； （3）利用完全平方公式和给出的例题对分式进行整理，得出，然后根据整数倍数关系求解即可． 【详解】解：（1）的次数为0，x的次数为1， 是真分式． 故答案为：真； （2）原式； （3）原式 ， 与均为整数， 或， 或0或2或． 综合攻坚·知能拔高 1．已知， (1)化简A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质化简即可； （2）根据偶次幂的非负性得到，解出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ，， ，， ． 2．下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程．请认真阅读并完成相应问题． 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 第七步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第_____________步进行的是分式的通分； ②第_________步开始出现错误； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果； (3)化简：，然后从0，1，2中选择一个合适的致代入求值． 【答案】(1)①二；②四 (2) (3)化简结果为，当时，值为1；当时，值为 【分析】（1）①根据解题过程，找出分式的通分步骤； ②根据解答过程，找出错误步骤； （2）根据（1），写出正确解答过程； （3）先将1与通分，同时将小括号内的通分，再将它们的结果通分后化为最简，然后分式有意义的条件，确定可代入的字母的值，代入化简后的式子求值． 【详解】（1）①解：以上化简步骤中，第二步进行的是分式的通分； 故答案为：二． ②解：第四步开始出现错误； 故答案为：四． （2）解：原式 ； （3）解： ∵，， ∴，， ∴从0，1，2中选择，可选择1或2 当时，原式；当时，原式； 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，通分，异分母分式加减法，分式化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 3．解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式；当时，原式（选一个即可） 【分析】本题考查了分式的运算及化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分，计算减法，再把除法化为乘法，化简约分即可解答； （2）小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵当或3时，原分式无意义， ∴只能取1或0， 当时，原式； 当时，原式． （写一种情况即可） 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂．先化简分式，通过因式分解和约分简化，然后计算的值，最后代入求值． 【详解】解： ∵ ∴原式 5．（1）化简：；请你从，0，1，2中选一个合适的的值代入求值． （2）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： 把看成一个整体，化简：； 已知，求的值． 【答案】（1）；当时，原式或当时，原式；（2）； 【分析】本题考查了分式化简求值，利用整体思想化简和求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）异分母分式通分后化简得原式，根据分母不为0，推出，则当或时，原式的值可求； （2）仿照例题利用整体思想对同类项的系数进行合并，即可将代数式化简； 利用整体思想将多项式前两项提取公因数，即可整体代入求值． 【详解】解：（1） ； ， 当时，原式或当时，原式． （2） ； ， ． 6．分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 7．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 8．某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下．这位同学的错误出现在第______步．请你写出这道题的正确解答过程，并从三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 【答案】②； 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式 ， ∵，， ∴， ∴取，则原式． 9．某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第___________步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】②； 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 10．观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，，解得，，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设 ∴ 令，则 令，则 ∴ 故答案为：. （3）解：∵ ∴， 解得， ∴ . 11．【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 12．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值?数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，，， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以，得 原式 (1)“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是________； (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】(1)分式的加减运算法则 (2)见解析 【分析】此题考查分式的基本性质，分式的化简求值， （1）根据分式的基本性质解答； （2）先计算分子和分母中的除法，再代值求出结果． 【详解】（1）解：“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是分式的加减运算法则， 故答案为：分式的加减运算法则． （2）解：原式 ， 原式． 13．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真 (2)，或或或 (3) 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）根据定义进行化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得，分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：； 当的值为整数时，为整数，即为的整数倍， ∴当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 故答案为：，或或或； （3）解：． 14．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 【答案】(1)①“非和谐分式”；②3； (2)或或或 (3) 【分析】（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”； ②由，可得，，求出M、N即可； （2）由的值是整数，可得或或或，求出x的值即可； （3）由题分别得到，，两个式子消去可得，即可求． 本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键． 【详解】（1）解：①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴，， 解得，； 故答案为：3，； （2）解：， 分式的值是整数， ∴或或或， 解得或或或； （3）解：∵， ， ①， ∵， ∴②， 由得：， ∴． 15．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③． （2）解：①   故答案为：，； ②整理得到，解得． ． ． ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $