第5章 三角函数(综合检测卷)-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本卷聚焦三角函数单元核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配高中数学三角函数单元复习，突出数学思维与逻辑推理，强化应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|周期、振幅、诱导公式、函数图象（如第4题奇偶性判断）|第7题结合图象变换考查数学眼光| |多选|3/18|象限角、扇形面积、正切函数性质（如第10题单调性与对称性）|第9题综合辨析强化推理意识| |填空|3/15|函数性质综合（如第12题开放型奇函数设计）、三角恒等变换|第14题结合平移与单调性考查数学思维| |解答|5/77|化简求值、解析式求解、图象变换、实际应用（如第19题停车位改造）|第19题以现实问题体现数学语言表达现实世界|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第5章　三角函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数y=2sin的周期,振幅,初相分别是(　　) A.,2,　　　　B.4π,-2,-　　　　C.4π,2,　　　　D.2π,2,- 2.若sin(π+α)=,α∈,则tan(3π-α)=(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.- 3.已知tan α=,则sin α=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为(　　) A B C D 5.已知函数y=,则y的最大值为(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1 6.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为(　　) A. rad　　　　B.1 rad　　　　C. rad　　　　D.2 rad 7.已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)(A1>0,ω1>0),g(x)=A2sin(ω2x+φ2)(A2>0,ω2>0)的图象如图所示,为得到函数g(x)的图象,只需先将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再(　　) A.向右平移个单位长度　　　　B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度　　　　D.向左平移个单位长度 8.已知函数f(x)=sin ωx,ω>0,将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围为(　　) A.(0,4]　　　　B.(0,2]　　　　 C.　　　　D.(0,1] 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列结论正确的是(　　) A.-是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=- D.若角α为锐角,则角2α为钝角 10.下列关于函数y=tan的说法正确的是(　　) A.函数在区间上单调递增 B.函数的最小正周期是π C.函数图象关于点成中心对称 D.函数图象关于点成中心对称 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=-对称 B. f(x)的图象关于点对称 C.将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象 D.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-2,-] 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.写出一个同时具有下列性质的函数:f(x)=　　　　.  ①定义域为R;②是奇函数;③f(x+π)=f(x). 13.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　　,tan θ=　　　　.  14.函数f(x)=sin在上单调递增,且f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合.若方程f(x)=-在上的解为x1,x2,则f(x1+x2)=　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值. 16.(15分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为π,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,g(x)的图象关于y轴对称,且f=2,求函数f(x)的解析式. 17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),其图象中相邻的两个对称中心的距离为.请从下列三个条件中选择一个作为已知条件并解决后面的问题. 条件①:函数f(x)的图象关于直线x=-对称;条件②:函数f(x)的图象关于点对称;条件③:对任意实数x, f(x)≤f恒成立. (1)直接写出f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若在区间上存在x0满足g(x0)≤m,求实数m的取值范围. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式及f(x)图象的对称中心; (2)若f =,求cos的值; (3)先将f(x)的图象的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到h(x)的图象,求函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间. 19.(17分)某学校南门有条长500米,宽6米的道路(如图1所示的矩形ABCD),路的一侧划有100个长5米,宽2.5米的停车位(如矩形AEFG,AG=5米,AE=2.5米),由于停车位不足,放学时段道路拥堵,学校保安李师傅提出一个改造方案,在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下,可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位(如图2),记绿化带被压缩的宽度AM=d米,停车位相对道路倾斜的角度为∠E1A1M=θ,其中θ∈. 　 (1)若cos θ=,求EE1和E1M的长; (2)求d关于θ的函数表达式d(θ); (3)若d=3,按照李师傅的方案,该路段改造后的停车位比改造前增加多少个? 答案与解析 1.C　由题意知,周期T==4π,振幅为2,在x+中,令x=0,可得初相为. 2.D　∵sin(π+α)=,α∈, ∴-sin α=,∴sin α=-,∴cos α=-=-, ∴tan α==, ∴tan(3π-α)=tan(-α)=-tan α=-. 3.B　由tan α=,得=,∴cos 2α=2sin α-sin 2α, ∴2sin α=cos 2α+sin 2α=1,解得sin α=. 4.C　易知函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)===f(x),故f(x)是偶函数,排除A,B. 当x=时, f=>0,排除D. 5.D　y==sin x+2+-4, 令t=sin x+2,则t∈[1,3],y=t+-4,由对勾函数的性质可知y=t+-4在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增, 又当t=1时,y=1,当t=3时,y=,所以y的最大值为1. 6.D　设扇形的圆心角为α rad,半径为r,则S扇形=αr2, 由C=2r+αr,得r=,且0<α<2π, ∴S扇形=α·==, 又2α+≥2=8,当且仅当2α=,即α=2时“=”成立, ∴S扇形的最大值为,对应的圆心角α=2 rad. 7.A　由题图1可知A1=2,T1=π-(-π)=2π,则ω1==1, 当x=时,ω1x+φ1=1×+φ1=2kπ+(k∈Z),则φ1=2kπ(k∈Z), 不妨令k=0,可得φ1=0,则f(x)=2sin x, 同理可得g(x)=2sin=2sin, 故再将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到函数g(x)的图象. 8.C　将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin的图象, 因为函数g(x)在区间上单调递增, 所以结合各选项,只需ωx+∈即可, 所以解得-3≤ω≤, 又因为ω>0,所以0<ω≤. 9.BC　选项A中,-=-2π+,是第二象限角,故A错误; 选项B中,设该扇形的半径为r,则·r=π,∴r=3,∴S扇形=××32=,故B正确; 选项C中,r==5,∴cos α==-,故C正确; 选项D中,取α=30°,则α是锐角,但2α=60°不是钝角,故D错误. 10.ACD　当x∈时,2x-∈,所以y=tan在区间上单调递增,故A正确; 函数y=tan的最小正周期是,故B错误; 当x=时,2x-=,所以函数y=tan的图象关于点成中心对称,故C正确; 当x=时,2x-=0,所以函数y=tan的图象关于点成中心对称,故D正确. 11.ABC　由题图可得A=2,·=-,故ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ),又f=2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin. 当x=-时, f(x)=0,故A中说法错误; 当x=-时, f(x)=-2,故B中说法错误; 将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin的图象,故C中说法错误; 当x∈时,2x+∈-,, 则当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递减,当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递增, 因为2sin=-,2sin=-2,2sin=, 所以方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-],故D中说法正确. 12.答案　f(x)=sin 2x(答案不唯一) 13.答案　;- 解析　∵sin θ+cos θ=, ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,∴sin θcos θ=-, ∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=,(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=. ∵θ∈(0,π),sin θcos θ=-<0, ∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ=. 由解得∴tan θ=-. 14.答案　 解析　设f(x)的最小正周期为T,则T≥-=,故T≥, 因为f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,所以π为函数的一个周期, 故最小正周期T=π,即=π,解得ω=±2, 若ω=-2,则f(x)=sin=-sin, 当x∈时,2x-∈, 所以f(x)=-sin在上单调递减,不合要求, 若ω=2,则f(x)=sin, 当x∈时,2x+∈, 所以f(x)=sin在上单调递增,满足要求, 当x∈时,2x+∈(π,2π), 则由图象的对称性可得=,即x1+x2=, 故f(x1+x2)=f=sin=sinπ=. 15.解析　(1)f(α)= ==-tan α.(5分) (2)结合(1)知tan α=-2, 所以===3,(9分) 4sin2α-3sin αcos α====.(13分) 16.解析　∵函数f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为π, ∴ω==2,(2分) ∵g(x)=f=Acos=Acos的图象关于y轴对称,(4分) ∴-+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,(7分) 由|φ|<,可得φ=,∴f(x)=Acos.(10分) ∵f=2,∴f=Acos=Acos 0=A=2,(13分) ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos.(15分) 17.解析　(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象中相邻的两个对称中心的距离为, 所以=,即最小正周期T=π,(2分) 所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分) 选择条件①: 因为函数f(x)的图象关于直线x=-对称, 所以2×+φ=kπ+,k∈Z,(5分) 解得φ=kπ+,k∈Z. 因为|φ|<,所以φ=-.(7分) 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(8分) 选择条件②: 因为函数f(x)的图象关于点对称, 所以2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z.(5分) 因为|φ|<,所以φ=-.(7分) 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(8分) 选择条件③: 因为对任意实数x, f(x)≤f恒成立, 所以当x=时, f(x)取得最大值,(4分) 所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,(5分) 解得φ=2kπ-,k∈Z, 因为|φ|<,所以φ=-.(7分) 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(8分) (2)由题意得g(x)=f=2sin=2sin.(10分) 当x∈时,2x-∈,(11分) 所以当2x-=,即x=时,g(x)有最小值-1.(13分) 因为在区间上存在x0满足g(x0)≤m, 所以m≥-1,故m的取值范围是[-1,+∞).(15分) 18.解析　(1)由题图可知,A=2,T=-=,因为T==π, ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分) 又函数f(x)的图象过点,所以2=2sin,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(6分) 令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(9分) (2)由(1)及题意,得f =2sin=,即sin=.(11分) 因为-=, 所以cos=cos=-sin=-.(13分) (3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(15分) 因为x∈,所以2x∈, 令π≤2x≤,解得≤x≤, 所以函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间为.(17分) 19.解析　(1)因为∠E1A1M+∠A1E1M=90°,∠A1E1M+∠AE1F1=90°,所以∠E1A1M=∠AE1F1=θ. 则EE1=E1F1cos θ=5×=3米,(2分) 由θ∈,cos θ=,得sin θ=, 所以ME1=A1E1sin θ=×=2米.(4分) (2)易得d=AM=E1E-AE+ME1,(6分) 结合(1)可得d=AM=5cos θ+sin θ-2.5, 故d(θ)=5cos θ+sin θ-,θ∈.(9分) (3)令3=5cos θ+sin θ-,则10cos θ+5sin θ=11. 则sin θ=,所以sin2θ+cos2θ=+cos2θ=1, 化简得125cos2θ-220cos θ+96=0,解得cos θ=或cos θ=. 因为θ∈,所以<cos θ<,故cos θ=,则sin θ=.(12分) 设改造后的停车位的个数为n. 如图,过停车位顶点Gn作射线MA1的垂线,垂足为Hn. 则顶点Gn到线段ME的距离dn=MA1+A1A2+A2A3+…+An-1An+AnHn. 又A1A2=A2A3=…=An-1An,A1H1=A2H2=A3H3=…=AnHn, 所以dn=MA1+A2H2+(n-1)A1A2.(14分) 易得∠E2A2A1=∠A2G2H2=θ, 所以A1A2==,A2H2=A2G2sin θ=3, 又MA1=A1Ecos θ=2. 所以dn=MA1+A2H2+(n-1)A1A2=5+(n-1), 令dn≤500,即(n-1)≤495,解得n≤159.4,(16分) 故改造后的停车位的个数为159, 则改造后的停车位比改造前增加59个.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $