第5章 三角函数 本章复习提升-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 该同步练习通过“易混易错练”与“思想方法练”分层设计，聚焦三角函数易错点巩固与数学思想综合应用，实现从基础纠错到能力提升的进阶，培养数学推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易混易错练|三角函数终边位置、基本关系等单一知识点|以判断、填空为主，结合易错警示解析，强化概念辨析| |思想方法练|函数与方程、数形结合等综合思想应用|以选择、解答题为主，融入建模与逻辑推理，深化知识迁移|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽视角的终边所在的位置致错 1.设角α的始边为x轴非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025河北石家庄实验中学月考)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边位于第三象限且与单位圆交于点P,则sin α=　　　　.  3.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则角α的余弦值为　　　　.  易错点2　利用三角函数的基本关系时忽略隐含条件致错 4.(2024山东淄博期末)已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则tan θ=　　　　.  5.(2025安徽六安第一中学检测)若sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个不等实根,则cos+sin的值为　　　　.  易错点3　忽略三角函数的定义域、值域致错 6.(2024广东汕头潮阳第一中学学情检测)若函数f(x)=3sin+3,x∈的图象与直线y=m恰有两个交点,则m的取值范围是　　　　.  7.已知sin x+cos y=,则sin x-sin2y的最大值为　　　　.  易错点4　图象变换中因忽视自变量x的系数和平移的方向致错 8.(2024河南三门峡五县市期末)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cos,则下面结论正确的是(　　) A.把C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 易错点5　不注意符号对三角函数性质的影响致错 9.若函数f(x)=sin的最小正周期为π,则ω=(　　) A.±2　　　　B.2　　　　C.±1　　　　D.1 10.(2025黑龙江鸡西实验中学期中)已知函数f(x)=2cos+1,则函数f(x)的单调递减区间是　　　　.  思想方法练 一、函数与方程思想在三角函数中的应用 1.(2024天津一中期末)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.-1 2.(2024陕西西安期末)某农户计划围建一块扇形的菜地,已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度,求该扇形菜地的面积; (2)当该扇形菜地的圆心角为何值时,菜地的面积最大?最大面积是多少? 二、数形结合思想在三角函数中的应用 3.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间(0,π)内恰好有3个零点,则ω的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.(多选题)(2025陕西西安铁一中学月考)已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m,则下列结论正确的是(　　) A.+>6　　　　B.x1+x2=- C.x3x4-x3-x4=0　　　　D.0<m<2 三、分类讨论思想在三角函数求值中的应用 5.化简:sin+cos(k∈Z)=　　　.  6.已知顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合的角α的终边上有一点P(-,m),且sin α=m(m≠0),求m的值,并求cos α与tan α的值. 四、转化与化归思想在化简求值及三角函数性质中的应用 7.已知函数f(x)=sin-(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为. (1)求f 的值及函数f(x)图象的对称中心; (2)若函数g(x)=m+1-f(x)在上恰有两个零点,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.A　已知角α的始边为x轴非负半轴, 若角α的终边在第二或第三象限,则cos α<0,充分性成立; 若cos α<0,则角α的终边在第二或第三象限或在x轴非正半轴上,必要性不成立. 故“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件. 2.答案　- 解析　∵P在单位圆上,∴+m2=1, ∴m2=1-=,∴m=±, 又角α的终边位于第三象限,∴m<0,∴m=-, ∴P,∴sin α=-. 3.答案　± 解析　因为角α的终边在直线3x-y=0上, 所以角α是第一或第三象限角, 可设点(x0,3x0)(x0≠0)为角α的终边上一点, 所以cos α=±=±. 易错警示　在三角函数的化简、求值中,要注意在已知条件的基础上挖掘隐含条件,由角的象限可确定三角函数值的符号. 4.答案　- 解析　∵sin2θ+cos2θ=1, ∴+=1,解得a=1或a=. 当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去; 当a=时,sin θ>0,cos θ<0,θ是第二象限角,符合题意,∴tan θ==-. 易错警示　解题时要注意隐含条件:sin2θ+cos2θ=1及sin θ>0、cos θ<0,利用平方关系解出a的值后要注意检验. 5.答案　-1 解析　因为sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个不等实根, 所以根据根与系数的关系得sin θ+cos θ=a,sin θcos θ=a,Δ=(-a)2-4a>0,即a2-4a>0,解得a<0或a>4, (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,即a2=1+2a, 解得a=1-或a=1+(舍去), 所以sin θ+cos θ=1-, 所以cos+sin=cos+sin=cos-sin=-sin θ-cos θ=-(sin θ+cos θ)=-1. 6.答案　 解析　因为x∈, 所以2x-∈, 所以sin∈, 所以3sin+3∈,且f =, 作出函数f(x)的图象,如图: 由题意结合函数图象可知m∈. 7.答案　 解析　∵sin x+cos y=, ∴sin x=-cos y∈[-1,1],∴cos y∈, ∵sin x-sin2y=-cos y-(1-cos2y)=cos2y-cos y-=-1, ∴当cos y=-时,(sin x-sin2y)max=-1=. 易错警示　本题易错误地认为cos y∈[-1,1],从而把cos y=-1代入,得到(sin x-sin2y)max=-1=,根本原因是忽略了隐藏在等式sin x+cos y=中的cos y的范围. 8.D　曲线C1:y=sin x=cos,要得到曲线C2:y=cos,需把C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线y=cos=cos,即得到曲线C2. 易错警示　三角函数图象平移变换中的误区 函数图象的左右平移变换只是针对x所作的变换.函数y=sin(ωx+φ)的图象向左(右)平移k(k>0)个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y=sin[ω(x±k)+φ],而不是y=sin(ωx±k+φ). 9.A　因为最小正周期T==π,所以ω=±2. 易错警示　求f(x)=Asin(ωx+φ)的周期时,容易默认ω>0,从而漏掉ω<0时的情况. 10.答案　(k∈Z) 解析　f(x)=2cos+1=2cos+1, 令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 易错警示　求f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时,若ω<0,要结合诱导公式先将ω转变成正值再求解. 思想方法练 1.D　由题图可知T=-=,所以T=π, (列出有关周期T的方程,求出T的值,进而得到ω的值) 因为=π,ω>0,所以ω=2. 根据“五点法”可得×2+φ=, (结合“五点法”列出关于φ的方程,求出φ的值) ∴φ=,符合|φ|<,因此f(x)=2sin, ∴f=2sin=2sin=2sin=-2sin =-1. 2.解析　(1)设该扇形菜地的半径为r米,弧长为l米, 则解得 (利用条件列出关于l、r的方程组,求解方程组进而解决问题) 故该扇形菜地的面积为lr=×16×4=32(平方米). (2)因为l+2r=24,所以l=24-2r,0<r<12, 设扇形菜地的面积为S平方米,则S=lr=(24-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36,0<r<12. (构建S关于r的一元二次函数,利用函数思想解题) 易知当r=6时,S取得最大值,为36, 此时l=12,从而圆心角α==2. 故该扇形菜地的圆心角为2弧度时,菜地的面积最大,为36平方米. 思想方法　在研究三角函数有关问题时,可根据条件列方程(组)解决求值问题,也可建立函数关系式,利用函数的知识求解相关问题. 3.C　因为x∈(0,π),所以ωx+∈,因为f(x)=sin(ω>0)在区间(0,π)内恰好有3个零点,所以结合正弦函数的图象可得ωπ+∈(3π,4π],即ω∈. (结合函数的图象求得ω的范围) 4.BCD　(由函数解析式作出函数图象,利用图象解决问题) 作出函数f(x)的图象,如图: 令f(x)=2,即当-≤x≤时,令2sinx=2,或当x>时,令|log2(x-1)|=2,得x=-或x=或x=5, 由题意可得直线y=m与函数y=f(x)的图象有4个交点,所以由图可知0<m<2,故D正确; 易知x1与x2关于直线x=-对称,所以x1+x2=-,故B正确; 由|log2(x3-1)|=|log2(x4-1)|,得-log2(x3-1)=log2(x4-1),即log2(x3-1)+log2(x4-1)=log2[(x3-1)(x4-1)]=0,则(x3-1)(x4-1)=1,整理得x3x4-x3-x4=0,故C正确; 由图可得<x3<2<x4,所以x3x4=x3+x4>2,所以>2,所以x3x4>4,所以+>2x3x4>8,故A错误. 5.答案　0 解析　原式=sin+coskπ+-α(k∈Z). (由于化简结果中k的取值不确定,因此需分k为奇数和偶数进行讨论) 当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z), 则原式=sin+cos(2n+1)π+ =sin+cos =sin-cos =sin-cos =sin-sin=0; 当k为偶数时,设k=2n(n∈Z), 则原式=sin+cos2nπ+ =-sin+cos =-sin+cos =-sin+sin=0. 综上所述,原式=0. 6.解析　由题意可得=m(m≠0), 解得m=±. 当m=时,cos α=-=-,tan α==-; 当m=-时,cos α=-=-,tan α==.思想方法　三角函数中的分类讨论主要体现在三角函数的求值、化简等问题中,由于条件中参数的值不确定,因此需要对参数进行分类讨论. 7.解析　(1)∵函数f(x)=sin-(ω>0)的最小正周期为,∴=,又ω>0,∴ω=2, ∴f(x)=sin-,∴f =sin -=0. 令4x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z), 故函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z. (2)若函数g(x)=m+1-f(x)在上恰有两个零点, 则方程f(x)= 在上恰有两个不相等的解, 即sin=在上恰有两个不相等的解, 即函数y=sin的图象和直线y=在上恰有两个交点. 当x∈时,4x-∈, ∵sin =sin =,sin =1, ∴≤<1,解得-1≤m<-, 故实数m的取值范围为. 思想方法　(1)对于函数y=Asin(ωx+φ)性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的考查,可以通过换元的方法,令t=ωx+φ,将其转化为关于函数y=sin t的性质的问题求解. (2)与三角函数有关的函数的零点问题,如求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,可以转化为求方程f(x)=g(x)的解的个数,或转化为求函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点个数. 14 学科网（北京）股份有限公司 $