5 专题强化练5 三角函数性质的综合应用-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦三角函数性质综合应用，通过基础巩固、中档辨析、综合拓展三层设计，实现从单一性质到复杂情境的能力进阶，培养数学推理与模型应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数零点、平移变换|选择题1-3题，聚焦单一性质应用，如余弦函数零点范围、图象平移与奇偶性| |中档|综合性质与图象变换|选择题4（多选）、填空题6，涉及正切函数性质辨析、伸缩变换与方程唯一解，强化推理能力| |综合|多知识点交汇应用|解答题7-8题，含图象变换、值域求解、方程根与恒成立问题，体现模型观念与复杂问题解决|

专题强化练5　三角函数性质的综合应用 1.(2025河北沧衡名校联盟期中)已知函数f(x)=3cos(ω>0)在(0,π)内恰有两个零点,则ω的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.(2024河南新乡期末)将函数y=cos(2x+φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则φ=(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 3.(2025甘肃张掖模拟)将函数g(x)=2sin2x+的图象向左平移个单位长度后,再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数h(x)的图象,若f(x)与h(x)的图象关于x轴对称,则f(x)的一个单调递增区间为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 4.(多选题)(2025湖南长沙第一中学期末)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为 B.函数|f(x)|的最小正周期与函数g(x)=|sin x|的最小正周期相同 C.函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z D.函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z 5.(2024四川南充期末)图1是函数f(x)=cosx的部分图象,经过适当的平移、伸缩变换后,得到g(x)的部分图象(如图2),则(　　) 　　 A.g(x)=f B.g=- C.方程g(x)=lox有4个不相等的实数解 D.g(x)>的解集为,k∈Z 6.(2024福建泉州期末)将函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.若对于任意的x1∈,总存在唯一的x2∈,使得f(x1)=g(x2)+2,则ω的取值范围为　　　　.  7.(2024天津一中期末)已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<0图象上的任意两点, f(0)=-,且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为. (1)求f的值; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的值域; (3)当x∈时,不等式c<f(x)<c+4恒成立,求实数c的取值范围. 8.(2025广东实验中学期初)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+bω>0,-<φ<图象的相邻两条对称轴间的距离为,将f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,已知g(x)为奇函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.D　由0<x<π,ω>0,得-<ωx-<ωπ-, 因为f(x)在(0,π)内恰有两个零点, 所以<ωπ-≤,解得<ω≤, 所以ω的取值范围是. 2.D　解法一:由题得函数g(x)=cos. 因为g(x)为奇函数,所以+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z). 因为|φ|<,所以φ=-. 解法二:依题意得,y=cos(2x+φ)的图象的对称中心为(破题关键),因此2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ,k∈Z, 因为|φ|<,所以φ=-. 3.C　由题意可得h(x)=2sin=2sin, 因为f(x)与h(x)的图象关于x轴对称, 所以f(x)=-h(x)=-2sin, 令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 通过分析选项知C正确. 4.AD　令2x-≠kπ+,k∈Z,则x≠+,k∈Z,∴函数f(x)的定义域为,故A正确; 函数|f(x)|的最小正周期T=,g(x)=|sin x|的最小正周期T'=π,故B错误; 对于C,令2x-=,k∈Z,则x=+,k∈Z, ∴函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z,故C错误; 对于D,令kπ-<2x-<kπ+,k∈Z,则-+<x<+,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故D正确. 5.D　A选项,若g(x)=f,则g(0)=f>0,与题图2不符合,所以A错误. B选项, f(x)=cos x的图象向右平移1个单位长度得到y=cos=cos=sin x的图象, 再将横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变,得到g(x)=sin πx的图象, 所以g=sin π=sin=sin =,所以B错误. C选项,由g(x)=lox,得sin πx=lox,设h(x)=lox, 则h(1)=0,h(4)=lo4=-1,画出y=g(x)和y=h(x)的图象,如图所示, 由图可知,两个图象有5个交点,所以方程g(x)=lox有5个不相等的实数解,所以C错误. D选项,由g(x)=sin πx>,得2kπ+<πx<2kπ+,k∈Z,得2k+<x<2k+,k∈Z,所以g(x)>的解集为,k∈Z,所以D正确. 6.答案　 解析　由题意得g(x)=2sin, 因为对于任意的x1∈,总存在唯一的x2∈,使得f(x1)=g(x2)+2,所以g(x2)=f(x1)-2在x2∈上有唯一解. 设t=ωx2+,当x2∈时,t∈, 所以sin t=在上有唯一解,由x1∈得x1+∈,所以f(x1)∈[1,2],故∈.如图: 结合图象可得≤+<,解得2≤ω<, 故ω的取值范围为. 7.解析　(1)由可得φ=-, ∵当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,∴f(x)的最小正周期T满足T==,即ω=2, ∴f(x)=2sin,∴f=2sin =. (2)根据已知得g(x)=2sin, ∵x∈,∴4x+∈[-π,π],∴y=g(x)在区间上的值域是[-2,2]. (3)x∈时,2x-∈, 此时f(x)min=-, f(x)max=1, ∵不等式c<f(x)<c+4恒成立, ∴即解得-3<c<-, 故c的取值范围是(-3,-). 8.解析　(1)由题意知f(x)的最小正周期T=π, 又T=,所以ω=2,故f(x)=sin(2x+φ)+b, 而g(x)=sin+b-1=sin+b-1, 因为g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以b-1=0,且2×0++φ=kπ(k∈Z),则b=1,φ=kπ-(k∈Z),又-<φ<,所以φ=-,因此f(x)=sin+1. (2)由(1)得g(x)=sin 2x, 令t=sin 2x,x∈,则t∈[0,1],由关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,得方程3t2+mt+2=0在t∈[0,1)内仅有一个根,且另一个根不等于1. 解法一:令h(t)=3t2+mt+2,则或解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}. 解法二:显然0不是该方程的根,则-mt=3t2+2,即-m=3t+,故直线y=-m与函数y=3t+的图象在t∈(0,1)内有且仅有一个交点,且另一个交点不为(1,5), 易得函数y=3t+在上单调递减,在上单调递增, 故-m>5或-m=2,解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}. 2 学科网（北京）股份有限公司 $