第5章 三角函数 综合拔高练-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本同步练习通过“高考真题练”与“高考模拟练”分层设计，以三角函数图象与性质为核心，构建从单一考点到综合应用的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|三角函数图象变换、性质应用（单一考点）|选用2022-2024年高考题，以选择、填空为主，聚焦基础考点，强化概念理解与运算能力| |高考模拟练|综合应用与实际情境（跨考点）|含多选题、水车实际应用题及解答题，深化逻辑推理与模型意识，适配单元复习提升需求|

综合拔高练 高考真题练 考点1　三角函数的图象及其变换 1.(2024新课标Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 2.(2023全国甲理,10)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.(2023新课标Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  4.(2023新课标Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图①,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  ①关键点拨:由图象求三角函数的解析式;对点突破:P291定点2 考点2　三角函数的性质及其应用 5.(2024天津,7)已知函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期为π.则函数在上的最小值是　　(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.0　　　　D. 6.(多选题)(2024新课标Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　) A. f(x)与g(x)有相同的零点 B. f(x)与g(x)有相同的最大值 C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 7.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f =(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 8.(2022新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f =(　　) A.1　　　　B.　　　　 C.　　　　D.3 9.(2022天津,9)关于函数f(x)=sin 2x,给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间上单调递增;③当x∈时, f(x)的取值范围为;④f(x)的图象可以由函数g(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到.其中正确结论的个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 高考模拟练 应用实践 1.(2024天津部分区质量检测)下列函数中,以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin|x|　　　　 B.f(x)=cos|x| C.f(x)=|sin 2x|　　　　 D.f(x)=|cos 2x| 2.(2025甘肃天水秦安第一中学月考)若f(x)=Asin(ωx+φ)-1(A≠0,ω>0),对任意实数t,都有f =f ,记g(x)=Acos(ωx+φ),则g的值为(　　) A.0　　　　B.-1　　　　 C.-A　　　　D.A 3.(2025辽宁名校联合体期中)函数f(x)=4sin,ω>0,若f(x)≤f(2π)对任意的x∈R恒成立,且f(x)的图象在上恰有3条对称轴,则ω=(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D.或 4.(多选题)(2025湖南长沙实验中学检测)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图所示,一个半径为R的水车的一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述正确的是(　　) A.φ=- B.当t∈[0,60]时,函数y=f(t)单调递增 C.当t∈[0,60]时,点P到x轴的距离的最大值为3 D.当t=100时,|PA|=6 5.(多选题)(2025河北部分学校阶段性测试)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)=2cos B.函数f(x)在上的值域为[-1,] C.函数f 是奇函数 D.函数f(x)的图象可由y=2cos的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,再向右平移个单位长度得到 6.(2024内蒙古赤峰林西第一中学期末)已知函数y=4sin2+4sin x,x∈[0,a]的值域为[4,5],则实数a的取值范围为　　　　.  7.(2025广东梅州梅雁中学月考)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,直线y=m(m<0)与这部分图象相交于三个点,横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,则sin(2x1+x2-x3)=　　　　.  8.(2025河北石家庄第一中学期中)函数f(x)=sin|cos x|+cos|sin x|(x∈R)的最大值为　　　　.  9.(2024江西宜春中学月考)若存在a,b∈R使得函数f(x)和g(x)满足g(x)=f(x+a)+b,则称函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数. (1)探究:若f(x)=sin x-cos x,g(x)=sin x+cos x+1,是否存在a∈(0,π),b∈R使得函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.若存在,求出a,b的值并证明;若不存在,请说明理由; (2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)·[g(x)-1]-m[f(x)+g(x)],若对任意的x∈,不等式h(x)≥2m-恒成立,求实数m的取值范围. 10.(2025云南曲靖师宗平高学校月考)已知函数f(x)=2sin+1. (1)若ω>0,f(x)在上单调递增,求ω的取值范围; (2)已知0<ω<5,f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象且x=是g(x)的一个零点,若g(x)在[0,n)(n>0)上恰好有6个零点,求n的最大值; (3)已知函数h(x)=acos-2a+3(a>0),在第(2)问的条件下,若对任意x1∈,存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.C　如图所示,分别作出y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象,由图可知曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为6. 2.C　由题知, f(x)=cos=cos2x+=-sin 2x, 在同一平面直角坐标系中作出f(x)=-sin 2x的图象与直线y=x-,如图所示, 由图知y=f(x)的图象与直线y=x-共有3个交点. 3.答案　[2,3) 解析　令ωx=t,因为x∈[0,2π],ω>0,所以t∈[0,2ωπ], 已知f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即y=cos t的图象和直线y=1在t∈[0,2ωπ]上有且仅有3个交点, 画出y=cos t的图象和直线y=1如图所示, 由图可知4π≤2ωπ<6π,即2≤ω<3. 故ω的取值范围是[2,3). 4.答案　- 名师点津 解析　第一步先求ω,通常考虑|ω|=,但结合题图不能得出T,思维受阻,由直线y=与曲线y=f(x)交于点A,B,可考虑特殊角的三角函数值,设点A,B,则|AB|=x2-x1=,由题图可知(k1∈Z),则ω(x2-x1)=,故ω=4. 第二步求φ,通常考虑用“五点法”,由题图知函数图象过点,且在单调递增区间内,所以4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z), 故f(x)=sin,将x=π代入即得f(π)=-. 考场速决　本题还可以这样求出ω:令sin x=,在一个周期[0,2π]内的解为和,则函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期满足=,解得T=,又=,ω>0,所以ω=4. 5.D　因为函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期T==π,所以ω=2, 所以f(x)=3sin,设t=2x+, 当x∈时,t=2x+∈,由正弦函数的图象(图略)可得≤sin t≤1, 所以当x∈时,≤f(x)≤3. 故所求的最小值为. 6.BC　A.令sin 2x=0,则2x=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z, 令sin=0,则2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,∴f(x)与g(x)的零点不同,∴A错误. B. f(x)与g(x)的最大值均为1,∴B正确. C. f(x)与g(x)的最小正周期均为=π,∴C正确. D.令2x=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,则f(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z, 同理可知g(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z, ∴f(x)与g(x)的图象的对称轴不同,∴D错误. 7.D　由题意画出f(x)的大致图象(如图). 由图可知点和点为f(x)图象的相邻最低点和最高点, 设f(x)的最小正周期为T,由题意知=-=, 又T=,所以|ω|=2, 不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ), 将代入,得sin=-1, 所以+φ=-+2kπ,k∈Z, 所以φ=-+2kπ,k∈Z, 所以f(x)=sin=sin,k∈Z, 故f=sin=sin=sin=. 8.A　由题意可知,T=,又<T<π,所以<<π, 又ω>0,所以2<ω<3. 因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),得ω=-+k(k∈Z),又2<ω<3,所以ω=. 故f(x)=sin+2,则f =sin+2=1. 9.A　因为f(x)=sin 2x, 所以f(x)的最小正周期T==π,①不正确; 令t=2x,t∈, 因为y=sin t在上单调递增, 所以f(x)在上单调递增,②正确; 当x∈时,2x∈, 所以sin 2x∈, 所以f(x)∈,③不正确; 因为g(x)=sin=sin, 所以f(x)的图象可由g(x)=sin的图象向右平移个单位长度得到,④不正确. 高考模拟练 1.D　函数f(x)=sin|x|为偶函数,其图象如图, 由图象可知f(x)=sin|x|没有周期性,故A不符合题意; 因为f(x)=cos|x|=cos x,所以函数f(x)=cos|x|的周期为2π,故B不符合题意; 函数f(x)=|sin 2x|的图象如图, 由图可知,函数f(x)=|sin 2x|的周期为,且在上单调递减,故C不符合题意; 函数f(x)=|cos 2x|的图象如图所示, 由图象知,函数f(x)=|cos 2x|的周期为,且在上单调递增,故D符合题意. 2.A　由f =f ,可知直线x=是函数f(x)=Asin(ωx+φ)-1图象的一条对称轴, ∴sin的值为-1或1, ∴cos=0,∴g=Acos=0. 名师点睛　函数y=f(x)的定义域为D,∀x∈D, (1)存在常数a,b,使得f(x)+f(2a-x)=2b⇔f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. (2)存在常数a,使得f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 3.B　由题意得,当x=2π时,f(x)取得最大值,即f(2π)=4sin=4, 所以2ωπ+=+2kπ,k∈Z,即ω=+k,k∈Z, 令ωx+=+kπ,k∈Z,则函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z, 又f(x)的图象在上有3条对称轴, 所以这3条对称轴中不相邻的2条之间的距离为最小正周期T,则T≤-=2π<T,所以≤2π,所以1≤ω<,因为ω=+k,k∈Z,所以k=0时,ω=,不满足条件;k=1时,ω=;k=2时,ω=,不满足条件. 所以ω=. 4.AD　由题意得R==6,T=120=,所以ω=,所以f(t)=6sin, 当t=0时,f(0)=-3,即-3=6sin φ, 因为|φ|<,所以φ=-,故A正确; 因为f(t)=6sin,当t∈[0,60]时,t-∈,所以函数y=f(t)在[0,60]上不是单调递增的,故B不正确; 当t∈[0,60]时,|y|max=6,所以点P到x轴的距离的最大值为6,故C不正确; 当t=100时,t-=,此时y=-3,所以P(-3,-3),所以|PA|=3-(-3)=6,故D正确. 5.ACD　由题图可知A=2,=-=,所以T=π,又T=,ω>0,所以ω=2,则f(x)=2cos(2x+φ), 又f =2cos=2,所以cos=1, 所以+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-, 所以f(x)=2cos,故A正确; 对于B,因为x∈,所以2x-∈,所以cos∈,所以函数f(x)在上的值域为[-1,2],故B错误; 对于C,f =2cos=2sin 2x=g(x), 因为g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-g(x),所以函数f 是奇函数,故C正确; 对于D,y=2cos的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,得y=2cos的图象,再向右平移个单位长度,得y=2cos=2cos=f(x)的图象,故D正确. 6.答案　 解析　易得y=4cos2x+4sin x=-4sin2x+4sin x+4, 设t=sin x,则y=-4t2+4t+4=-4+5, ∵y∈[4,5],∴t的值必能为且0≤t≤1,即sin x=在[0,a]内有解,且sin x≥0,∴≤a≤π. 7.答案　- 解析　由题图知, f =cos=1, f =cos=0,且x=在一个减区间上,x=在一个增区间上, 所以解得ω=2,φ=-, 故f(x)=cos, 则f(0)=cos=-1,f(x)的最小正周期T==π. 因为直线y=m(m<0)与这部分图象相交于三个点,横坐标从左到右依次为x1,x2,x3, 所以由题图可知=-=,=+=, 所以sin(2x1+x2-x3)=sin[2(x1+x2)-(x2+x3)]=sin=sin=-sin=-. 8.答案　sin 1+1 解析　∵f(x+π)=sin|cos(x+π)|+cos|sin(x+π)|=sin|-cos x|+cos|-sin x|=sin|cos x|+cos|sin x|=f(x), ∴f(x)是以π为周期的周期函数. 若x∈,则cos x∈(0,1],sin x∈[0,1), 令cos x=t,sin x=,则t∈(0,1],∈[0,1). ∵y=sin t,y=cos在t∈(0,1]上均单调递增, ∴f(x)=sin(cos x)+cos(sin x)=sin t+cos≤sin 1+cos 0=sin 1+1, 若x∈,则cos x∈(-1,0],sin x∈(0,1], 令cos x=t,sin x=,则t∈(-1,0],∈(0,1], ∵y=-sin t,y=cos在t∈(-1,0]上均单调递减, ∴f(x)=sin(-cos x)+cos(sin x)=-sin(cos x)+cos(sin x)=-sin t+cos<-sin(-1)+cos 0=sin 1+1, 综上,f(x)的最大值为sin 1+1. 9.解析　(1)存在,当a=,b=1时,函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数,证明如下: 当a=,b=1时, f +1=sin-cos+1=cos x+sin x+1=g(x), 故当a=,b=1时,函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数. (2)h(x)=f(x)·[g(x)-1]-m[f(x)+g(x)] =(sin x-cos x)(sin x+cos x)-2msin x-m =(sin2x-cos2x)-2msin x-m =sin2x-2msin x--m, 不等式h(x)≥2m-在x∈上恒成立, 即sin2x-2msin x--m≥2m-在x∈上恒成立, 即sin2x-2msin x-3m≥0在x∈上恒成立, 令sin x=t,则t∈, 所以t2-2mt-3m≥0在t∈上恒成立, 令F(t)=t2-2mt-3m,t∈, 当m≤时,F(t)在上单调递增, 所以F(t)min=F=-4m≥0,解得m≤; 当m≥1时,F(t)在上单调递减, 所以F(t)min=F(1)=1-5m≥0,解得m≤(舍去); 当m∈时,F(t)在上单调递减,在[m,1]上单调递增, 所以F(t)min=F(m)=-m2-3m≥0,解得-3≤m≤0(舍去). 综上,实数m的取值范围为. 10.解析　(1)令2kπ-≤2ωx+≤2kπ+(k∈Z), 则-≤x≤+(k∈Z), 故f(x)在(k∈Z)上单调递增, 则⊆(k∈Z), 又ω>0,所以k取0,所以解得ω≤, 故ω的取值范围为0<ω≤. (2)由题意知g(x)=f =2sin+1, 因为x=是g(x)的一个零点, 所以g=2sin+1=0, 即sin=-,则ω+=+2kπ,k∈Z或ω+=+2kπ,k∈Z, 解得ω=3+6k,k∈Z或ω=5+6k,k∈Z, 又0<ω<5,所以ω=3, 所以g(x)=2sin+1. 若g(x)在[0,n)(n>0)上恰好有6个零点等价于y=sin的图象与直线y=-在x∈[0,n)上恰好有6个交点, 令t=6x-,x∈[0,n)(n>0),则t∈, 即y=sin t,t∈的图象与直线y=-恰好有6个交点, 而sin t=-的解从t=-开始从左到右依次为-,-,,,,,,…,所以<6n-≤,解得<n≤π,故n的最大值为π. (3)由(2)知g(x)=2sin+1, 若对任意x1∈,存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立, 则h(x)在x∈上的值域是g(x)在x∈上的值域的子集, 当x∈时,g(x)∈[-1,3], 当x∈时,h(x)∈, 则解得a∈, 所以实数a的取值范围为. 20 学科网（北京）股份有限公司 $