5.3.2 正切函数的图象与性质-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用，通过题组递进巩固正切函数图象与性质，培养数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|正切函数图象识别、定义域值域、单调性等单一知识点|题组分类（图象应用/定义域值域/性质），选择、填空为主，如判断三角形内角范围、求函数定义域，夯实基础| |能力提升练|复合函数定义域、充要条件、函数性质综合应用|含多选题、开放题（如构造满足条件的函数）、综合解答题，结合对数、奇偶性等跨知识点考查，提升逻辑推理与数学表达能力|

5.3.2　正切函数的图象与性质 基础过关练 题组一　正切(型)函数的图象及应用 1.满足tan A>-1的三角形的内角A的取值范围是(　　) A.　　　　B.∪ C.　　　　D.∪ 2.函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是　　　　(填序号).  题组二　正切(型)函数的定义域、值域 3.(2025山东聊城第一中学月考)函数y=3tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 4.(2024河南三门峡期末)函数y=tan,x∈的值域为　　　　.  5.若“∃x∈,tan x<m”是假命题,则实数m的最大值为　　　　.  6.(2024河北张家口期末)函数f(x)=-tan2x+tan x+1,x∈的值域是　　　.  题组三　正切(型)函数的性质及其应用 7.(2024北京第一六一中学期中)已知a=tan 2,b=tan 3,c=tan 5,则下列大小关系正确的是(　　) A.a>b>c　　　　B.a<b<c　　　　C.b>a>c　　　　D.b<a<c 8.(多选题)(2024湖北部分学校期末联考)已知函数f(x)=tan,则(　　) A. f(x)的一个周期为 B. f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z C. f(x)图象的对称中心为,k∈Z D. f(x)的单调递增区间为,k∈Z 9.(2024湖北荆州八县市期末)已知函数f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 能力提升练 题组　正切(型)函数的图象及性质 1.(2025四川绵阳中学期末)函数y=lg(tan x-1)的定义域为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.(2025江苏海安高级中学检测)“函数y=tan的图象关于点对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025宁夏银川一中期末)已知a=tan,b=sin,c=tan,则实数a,b,c的大小关系为(　　) A.b<a<c　　　　B.a<b<c　　　　C.c<b<a　　　　D.c<a<b 4.(2025湖南长沙明德中学期中)已知函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=sin x+tan x,若函数f(x)在[-3π,4π]上的零点为x1,x2,…,xn,则x1+x2+…+xn=(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.6π　　　　D.8π 5.(多选题)(2025云南昆明期末)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的有(　　) A.f(x)的最小正周期为 B.点是f(x)图象的一个对称中心 C.f(x)的值域为[0,+∞) D.不等式f(x)>2的解集为+kπ,+kπ(k∈Z) 6.有以下三个条件:①定义域不是R,但值域为R;②在(-1,1)上单调递减;③是奇函数.写出一个同时满足以上三个条件的函数:f(x)=　　　　.  7.若函数y=tan+k,x∈的图象都在x轴上方,则实数k的取值范围为　　　　.  8.(2024浙江衢州期末)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z. (1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值; (2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值; (3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　因为A为三角形的内角,所以0<A<π. 由tan A>-1,结合正切曲线(如图)得A∈∪. 2.答案　①②④③ 解析　易知y=tan x的图象对应②; ∵|tan x|≥0,∴y=|tan x|的图象在x轴上及x轴上方,∴y=|tan x|的图象对应①; ∵y=tan|x|是偶函数,∴其图象关于y轴对称, ∴y=tan|x|的图象对应③; y=tan(-x)的图象与y=tan x的图象关于y轴对称,∴y=tan(-x)的图象对应④. 3.C　令2x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,因此函数的定义域是. 4.答案　 解析　当x∈时,x-∈,所以y=tan∈. 5.答案　- 解析　由题意可知“∀x∈,tan x≥m”为真命题,此时tan x∈[-,],∴m≤-,∴实数m的最大值为-. 6.答案　 解析　∵x∈,∴tan x∈[-1,1], ∵f(x)=-tan2x+tan x+1=-+, ∴-1≤f(x)≤. 7.C　tan 2=tan(-π+2),tan 3=tan(-π+3),tan 5=tan(-2π+5), ∵-<-2π+5<-π+2<-π+3<0,且y=tan x在上单调递增, ∴tan(-π+3)>tan(-π+2)>tan(-2π+5), ∴tan 3>tan 2>tan 5,故b>a>c. 8.ABD　因为最小正周期T=, 所以是f(x)=tan的一个周期,A正确; 令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z, 所以f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z,B正确; 令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z, 所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,C错误; 令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,解得-+<x<+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,D正确. 9.解析　(1)由题意知, f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称, ∴2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z. ∵0<φ<,∴φ=,故f(x)=tan, 令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z, 得-+<x<+,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由(1)知f(x)=tan, 由-1≤tan≤, 得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z, 即-+≤x≤+,k∈Z, ∴不等式-1≤f(x)≤的解集为x-+≤x≤+,k∈Z. 能力提升练 1.A　令y=lg t,t=tan x-1, 因为函数y=lg t的定义域为{t|t>0}, 所以tan x-1>0,解得, 所以y=lg(tan x-1)的定义域为x+kπ<x<+kπ,k∈Z. 2.B　当函数y=tan的图象关于点对称时,-φ=,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,推不出φ=+kπ,k∈Z,故充分性不成立. 当φ=+kπ,k∈Z时,y=tan=tan, 由-=,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,则函数图象的对称中心为,k∈Z, 令k=0,得对称中心为,故必要性成立. 综上,“函数y=tan的图象关于点对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的必要不充分条件. 3.A　a=tan,b=sin=sin=sin, c=tan=tan=tan, ∵y=tan x在上单调递增, ∴tan>tan,故c>a, ∵0<cos<1, ∴a=tan=>sin=b, ∴b<a<c. 4.B　由f(x)-2f(-x)=sin x+tan x①,可得f(-x)-2f(x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x②, 联立①②得f(x)=(sin x+tan x), 易知f(x)为奇函数,故f(x)的图象关于原点对称, 则函数y=f(x)在[-3π,3π]上的图象关于原点对称, 故函数y=f(x)在[-3π,3π]上的零点也关于原点对称,和为0, 则f(x)在(3π,4π]上的零点之和即f(x)在[-3π,4π]上的零点之和, 令f(x)=0,即sin x+tan x=0,即sin x=-tan x,x∈(3π,4π], 作出y=sin x和y=-tan x在同一坐标系中的图象,如图, 由图可知y=f(x)在x∈(3π,4π]内的零点为4π, 故x1+x2+…+xn=4π. 5.CD　f(x)=tan x+|tan x| =作出f(x)的图象,如图, 由图象知, f(x)的最小正周期为π,故A错误; f(x)的图象没有对称中心,故B错误; f(x)的值域为[0,+∞),故C正确; 由f(x)>2,得2tan x>2,即tan x>1,所以+kπ<x<+kπ,k∈Z, 所以f(x)>2的解集为(k∈Z),D正确. 6.答案　-tan x(答案不唯一) 7.答案　[,+∞) 解析　因为函数y=tan+k,x∈的图象都在x轴上方, 所以y=tan+k>0在x∈上恒成立, 所以k>-tan对于任意x∈恒成立, 因为x∈, 所以2x-∈, 所以tan∈(-,0), 所以-tan∈(0,), 所以k≥. 所以实数k的取值范围为[,+∞). 8.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,], 易知当x=时, f(x)min=-; 当x=-1时, f(x)max=. (2)由题可得g(x)=x-+2tan θ, ∵g(x)为奇函数, ∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z. (3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ. ∵f(x)在区间[-1,]上单调, ∴-tan θ≥或-tan θ≤-1, 即tan θ≤-或tan θ≥1, ∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z, 故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z. 12 学科网（北京）股份有限公司 $