第5章 周末练13 范围：§5.3～§5.5（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦三角函数图象变换、性质及应用，以题载法构建“概念-变换-性质-建模”逻辑链，强化直观想象与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象变换与解析式|单选1/4/13(1)|平移“左加右减”、伸缩系数处理、五点法求初相|由三角函数定义推导图象变换规律，建立解析式与图象特征的对应| |性质应用|单选2/3/5/6、多选7/8、填空10/11|奇偶性判定、周期计算、单调区间整体代换、对称中心求解|从函数性质定义出发，结合三角恒等变换实现性质与解析式的互推| |实际建模|多选9、解答14|正弦型函数参数确定（振幅/周期/初相）、模型应用|通过现实情境抽象数学模型，体现数学眼光观察与表达现实世界|

周末练13　范围：§5.3~§5.5 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)＝cos 2x B.g(x)＝－cos 2x C.g(x)＝sin 2x D.g(x)＝sin 答案　A 解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为 g(x)＝sin＝sin＝cos 2x. 2.已知函数f(x)＝1＋sin 2x，则f 是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 答案　B 解析　∵f(x)＝1＋sin 2x， ∴f ＝1＋sin ＝1＋sin＝1－cos 2x，∴T＝＝π， ∴f是最小正周期为π的偶函数. 3.设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>c>a 答案　A 解析　由已知得函数y＝tan x在上单调递增且tan x>0， 在上单调递增且tan x<0， 因为<1<<2<3<π， 所以tan 2<tan 3<0，tan 1>0， 所以a>c>b. 4.若把函数y＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到y＝cos 的图象，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝sin的图象向左平移m个单位长度后为函数y＝sin＝sin＝cos的图象， 所以m＋＋2kπ，k∈Z，则m＝＋4kπ，k∈Z， 又m>0，所以m的最小值为. 5.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　) A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 答案　D 解析　由f(x)的图象可知周期为T＝2×＝2， ∴ω＝＝π，由图象可知，点A将A代入f(x)中得 cos＝－1，即＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<∴φ＝ 故f(x)＝cos的单调递增区间满足－π＋2kπ<πx＋<2kπ，k∈Z，解得2k－<x<2k－k∈Z. 6.已知函数f(x)＝2sin (0<φ<π，ω>0)为偶函数，且y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为则f 的值为(　　) A.－1 B.1 C. D. 答案　B 解析　∵f(x)是偶函数，∴φ－＝kπ＋k∈Z，∴φ＝kπ＋k∈Z.∵0<φ<π，∴φ＝ 即f(x)＝2sin ＝2sin＝2cos ωx，∵y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为∴即T＝π，即＝π，得ω＝2，则f(x)＝2cos 2x，则f ＝2cos＝2cos ＝2×＝1. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知sin且0<x<则以下结论正确的有(　　) A.sin B.sin C.cos＝－ D.cos＝－ 答案　BD 解析　因为0<x<所以－<－x< 而sin>0，因此0<－x< 所以cos 因此sin＝sin ＝cos cos＝cos ＝－cos＝－. 8.已知函数f(x)＝tan－1，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 答案　ABC 解析　对于A，由正切函数性质知，f(x)的最小正周期为T＝A错误； 对于B，由2x＋≠＋kπ(k∈Z)得x≠(k∈Z)， ∴f(x)的定义域为B错误； 对于C，令2x＋(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)， 又f(x)＝tan－1，∴f(x)的图象关于点对称，C错误； 对于D，当x∈时，2x＋∈此时f(x)单调递增，D正确. 9.★★某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，如图，则(　　) A.φ＝ B.函数f(x)的最小正周期为16π C.∀x∈R，f(x)＋f(x＋8)＝40 D.若g(x)＝f(x＋m)是偶函数，则|m|的最小值为2 答案　ACD 解析　依题意得A>0，ω>0，0<φ<π， 根据图象可知⇒ 所以f(x)＝10sin(ωx＋φ)＋20， 根据图象可知＝14－6＝8，T＝16，ω＝故B选项错误； 所以f(x)＝10sin＋20， f＝10sin＋20＝10，sin＝－1， 又0<φ<π，则<＋φ< 所以＋φ＝⇒φ＝故A选项正确； 则f(x)＝10sin＋20， f＝10sin＋20＝10sin＋20＝－10sin＋20， 所以f(x)＋f(x＋8)＝40，故C选项正确； g(x)＝f(x＋m)＝10sin＋20＝10sin＋20是偶函数， 则m＋＝kπ＋k∈Z，m＝8k－2，k∈Z，所以当k＝0时，|m|的最小值为2，故D选项正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若f(m)＝1，则f(－m)＝　　　　.  答案　5 解析　设g(x)＝f(x)－3＝ax3＋bsin x， 则g(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＝－ax3－bsin x＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数， f(x)＝g(x)＋3，则f(m)＋f(－m)＝g(m)＋3＋g(－m)＋3＝6，而f(m)＝1， 所以f(－m)＝5. 11.函数f(x)＝sin＋cos的对称中心为　　　　.  答案　k∈Z 解析　f(x)＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝2sin. 由x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－k∈Z， 所以f(x)的对称中心是k∈Z. 12.★★将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是　　　　.  答案　 解析　将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin ω的图象， 因为0≤x≤所以－ω≤ω≤ω， 因为函数g(x)在区间上单调递增， 所以解得 因为ω>0，所以0<ω≤. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式，并写出函数f(x)的单调递增区间；(6分) (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得函数图象上的所有点向左平移m个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数g(x)在区间上的值域.(7分) 解　(1)由图象可知A＝2， T＝2×＝4π， 所以ω＝所以f(x)＝2sin 由题图可知最低点的坐标为 所以f ＝2sin＝－2， 所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<π，所以φ＝－ 所以f(x)＝2sin 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 可得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为k∈Z. (2)由题意知，函数 g(x)＝2sin ＝2sin 因为g(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋2m＝＋kπ，k∈Z， 即m＝k∈Z， 因为0<m<所以m＝ 所以g(x)＝2sin. 当x∈时，2x－∈ 可得sin∈ 所以2sin∈[－1，2]，即函数g(x)的值域为[－1，2]. 14.★★(14分)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(7分) (2)请问：哪几个月份要准备不低于400份的食物？(7分) 解　(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100， 所以f(8)＝500. 根据上述分析可得＝12，故ω＝ 且 解得 根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大. 故sin＝－1，sin＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sin＋300，1≤x≤12，x∈N＋. (2)由条件可知，200sin＋300≥400， 化简得sin≥即2kπ＋≤x－≤2kπ＋k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N＋且1≤x≤12， 故x＝6，7，8，9，10. 所以在6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备不低于400份的食物. 学科网（北京）股份有限公司 $