5.1.2 弧度制-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与能力提升并重，覆盖弧度制核心知识点，通过概念辨析、运算转化及实际应用，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|弧度制概念、角度弧度互化、象限角表示、扇形公式基础应用|以选择、填空为主，如多角度互化辨析（第1题）、扇形公式分步计算（第12题），强化基础运算与概念理解| |能力提升练|终边相同角深层分析、集合关系、扇形公式综合应用（如螺旋蚊香、水池造价）|含创新情境题（第4题螺旋蚊香）、实际优化问题（第6题水池设计），培养逻辑推理与数学建模能力|

5.1.2　弧度制 基础过关练 题组一　弧度制及弧度与角度的互化 1.(多选题)(2024山东潍坊期末)下列转化结果正确的是(　　) A.67°30'化成弧度是 B.-化成角度是-600° C.-150°化成弧度是 D.化成角度是5° 2.将-1 845°改写成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　) A.-10π+　　　　B.-10π- C.-12π+　　　　D.-12π+ 3.(2025重庆万州第三中学月考)将钟表的分针拨快20分钟,则时针转过的角的弧度数为(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 4.在△ABC中,若A∶B∶C=3∶5∶7,则角A,B,C的弧度数分别为　　　　.  5.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为　　　　　　.  题组二　用弧度制表示象限角和终边相同的角 6.角-的终边所在的象限是(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 7.(多选题)(2025广西名校联合体月考)下列给出的各角中,与角-的终边相同的角有(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 8.如图,用弧度制表示终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合. 题组三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 9.已知扇形的圆心角为120°,面积为,则该扇形所在圆的半径为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D. 10.(2025湖北部分省级示范高中期中)已知一个扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为(　　) A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.2 11.(2025安徽淮北第一中学期末)已知扇形的圆心角为2 rad,弧长为2 cm,则该扇形的面积为　　　　cm2.  12.(2025湖北随州部分高中联考)已知扇形的圆心角是α(α>0),半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少? (3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 能力提升练 题组一　弧度制及其应用 1.已知角α的终边与角的终边重合,则角的终边不可能在(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 2.集合A=与集合B=xx=2kπ±,k∈Z之间的关系为　　　　.  3.图1是某小区的公园,它有一圆形道路,道路上有4个出口A、B、C、D(视为点),且将圆弧四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形道路上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧上(不包括C、D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为　　　　　.  题组二　扇形的弧长公式及面积公式的应用 4.(创新题·新情境)(2025河南信阳高级中学期初)某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案如图所示,画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,以此类推,则图中的“螺旋蚊香”图案的总长度为(　　) A.　　　　B.14π　　　　C.24π　　　　D.10π 5.(2025陕西西安曲江第二中学月考)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示,一扇环形砖雕可视为将扇形COD截去同心扇形AOB所得图形,已知OA=0.1 m,AD=0.4 m,∠AOB=125°,则该扇环形砖雕的面积为　　　　m2.  6.(2025江苏南京期末)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米,圆心角为θ弧度的扇形观景水池,其中O为扇形AOB的圆心,同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元,水池造价为每平米400元,步道造价为每米1 000元. (1)当r和θ分别为多少时,可使得水池面积最大?求出最大面积; (2)若要求步道长为105米,则求可设计出的水池的最大面积. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.AB　67°30'=67.5×=,故A正确;-=-×°=-600°,故B正确;-150°=-150×=-,故C错误;=×°=15°,故D错误. 2.C　因为-1 845°=-360°×6+315°,而315°转化成弧度为315×=, 所以-1 845°转化成弧度为-12π+. 3.B　将钟表的分针拨快20分钟,时针顺时针旋转×=,所以时针转过的角的弧度数为-. 4.答案　,, 解析　因为A+B+C=π,且A∶B∶C=3∶5∶7, 所以A==,B==,C==. 5.答案　α<β<γ<θ=φ 解析　解法一(度化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,因为<<1<,所以α<β<γ<θ=φ. 解法二(弧度化为度):β==×°=18°,γ=1≈57.30°,φ=×°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ. 6.C　因为-=-6π+,即角-的终边与角的终边所在的象限相同,所以角-的终边在第三象限. 7.AB　终边相同的两个角的差是2π的整数倍. 对于A,因为-=2π,所以与-的终边相同; 对于B,因为-=3×2π,所以与-的终边相同; 对于C,因为--=×2π,所以-与-的终边不相同; 对于D,因为-=×2π,所以与-的终边不相同. 8.解析　终边落在第一象限内阴影部分的角的集合可表示为M=, 终边落在第三象限内阴影部分的角的集合可表示为N=,所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为M∪N=. 9.B　扇形的圆心角为120°,其弧度数是, 设扇形的半径为r(r>0), 则由扇形的面积公式得··r2=,所以r=2. 10.D　设扇形的圆心角为α,半径为r cm, 则所以α=2, 所以扇形的圆心角的弧度数为2. 11.答案　1 解析　设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则r===1,所以该扇形的面积S=lr=×2×1=1. 12.解析　(1)因为α=60°= rad, 所以l=α·R=×10=(cm). (2)由已知得,l+2R=20(cm),所以扇形的面积S=lR=(20-2R)R=10R-R2=[-(R-5)2+25]cm2, 所以当R=5 cm时,S取得最大值,为25 cm2,此时l=10 cm,α=2. (3)设弓形的面积为S弓形, 由α=,R=2 cm,得l=αR=(cm), 所以S弓形=××2-×2×=cm2. 能力提升练 1.A　因为角α的终边与角的终边重合, 所以α=+2kπ,k∈Z,所以=+kπ,k∈Z, 令k=3n(n∈Z),则=+2nπ(n∈Z),此时角的终边位于第二象限; 令k=3n+1(n∈Z),则=+2nπ(n∈Z),此时角的终边位于第三象限; 令k=3n+2(n∈Z),则=+2nπ(n∈Z),此时角的终边位于第四象限. 所以角的终边不可能在第一象限. 2.答案　A=B 解析　集合A=,当k为奇数时,令k=2n-1,n∈Z,则A=,它表示终边在y轴非正半轴上的角的集合;当k为偶数时,令k=2n,n∈Z,则A=,它表示终边在y轴非负半轴上的角的集合. 集合B=表示终边落在y轴上的角的集合,所以A=B. 3.答案　 解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度,由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z, 又小明在3分钟时第一次到达劣弧上,所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,解得k=3,所以θ=. 4.B　扇形ABD的半径为1,圆心角为,所以的长l1=×1,同理可得之后的各段弧长分别为l2=×2,l3=×3,l4=×4,l5=×5,l6=×6,所以题图中的“螺旋蚊香”图案的总长度l=×(1+2+3+4+5+6)=14π. 5.答案　 解析　易得扇形AOB的圆心角为∠AOB=125×=, 又OA=0.1 m,AD=0.4 m,所以该扇环形砖雕的面积S=××(0.52-0.12)= m2. 6.解析　(1)由题意得弧AB的长为θr,S扇形AOB=θr2, 则400×θr2+1 000(2r+θr)≤24×104,即θr2+5(2r+θr)≤1 200,又θr+2r≥2,当且仅当θr=2r时,等号成立, 所以θr2+10≤1 200, 令t=,t>0,则+10t≤1 200,所以0<t≤40, 所以当θr=2r=40,即r=20,θ=2时,S=θr2取得最大值,为400. 故r=20,θ=2时,水池面积最大,最大面积为400平方米. (2)由题意得θr+2r=105,解得θ=-2, 所以(105-2r)r+5×105≤1 200,即2r2-105r+675≥0,解得r≤或r≥45, 又θ=-2<2π,所以r≥45. 又S扇形AOB=θr2=(105-2r)r=-r2+r=-+, 故当r=45时,S扇形AOB取得最大值,最大面积为337.5平方米,此时θ=. 9 学科网（北京）股份有限公司 $