第5章 5.1.2 弧度制（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“弧度制”核心知识点，从角度制的局限性切入，通过定义1弧度角建立角与实数的对应，系统梳理角度与弧度的转换方法，用弧度表示终边相同的角，最终应用于扇形弧长与面积公式，构建完整知识支架。 该资料以《水浒传》“尺与米”类比创设情境，通过问题驱动（如探讨角度制与实数对应）引导思考，结合例题与延伸探究培养数学思维（如扇形面积最值推理）和数学语言（规范转换与公式表达），课中助教师引导探究，课后分层练习助学生查漏补缺。

5.1.2　弧度制 学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 导语 同学们，大家看过《水浒传》吗？在这种古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，这里的“尺”和现在我们常用的“米”都是长度单位，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们开始今天的新课. 一、弧度制的概念 问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 提示　不能，比如30°2'11''，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值.为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制. 知识梳理 1.度量角的两种单位制 角度制 定义 用“度”为单位来度量角的单位制 1度的角 把周角分成360等份，每一份叫作1度的角 弧度制 定义 以“弧度”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.“弧度”用符号rad表示 2.弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个正数. (2)负角：负角的弧度数是一个负数. (3)零角：零角的弧度数是0. (4)一般地，若半径为r的圆心角α所对的弧长为l，则弧长与半径的比值就是角α的弧度数的绝对值，即|α|=. 注意点： (1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. (2)角的弧度数和实数建立了一一对应关系. 例1　下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 答案　A 解析　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 反思感悟　(1)圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的； (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 跟踪训练1　下列各命题为真命题的是(　　) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 答案　D 解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 二、角度制与弧度制的相互转化 问题2　根据公式|α|你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为r的圆的周长l＝2πr，故圆周角的弧度数为α＝2π，而圆周角的角度数是360°. 知识梳理　角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1° rad≈0.017 45 rad 1 rad°≈57°18' 度数×弧度数 弧度数×度数 注意点： (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 例2　(1)(课本例3)把下列各角从度化为弧度： ①120°；②25°30'. 解　①120°＝120× rad rad； ②25°30'＝25.5°＝25.5× rad rad. (2)(课本例4)把下列各角从弧度化为度： ① rad；②5 rad. 解　① rad×°＝135°； ②5 rad＝5×°≈286.5°. 例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 解　(1)72°＝72×. (2)－300°＝－300×－. (3)2＝2×°°. (4)－－×°＝－40°. 反思感悟　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×弧度数，弧度数×度数. 跟踪训练2　(1)把112°30'化成弧度； (2)把－化成角度. 解　(1)112°30'°×. (2)－－×°＝－75°. 三、利用弧度表示角 例3　将－1 125°角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解　－1 125°＝－1 125×－－8π＋ 其中<<2π，所以是第四象限角， 所以－1 125°角是第四象限角. 延伸探究1　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 解　依题意得，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z， 得k＝－2，－1，0，1， 所以所求角的集合为. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度与弧度不能混用. 跟踪训练3　(1)用弧度制表示所有与75°角终边相同的角的集合是　　　　.  答案　 解析　∵75°∴与75°角终边相同的角的集合是. (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角的集合. 解　终边落在射线OA上的角为135°＋k·360°，k∈Z， 即＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为－30°＋k·360°， k∈Z，即－＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分内(含边界)的角的集合为 . 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示　圆心角为n°，半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为lS. 知识梳理　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则 度量单位类别 0°<α<360° α为弧度制(0<α<2π) 扇形的弧长 l l＝α·R 扇形的面积 S Sl·R α·R2 例4　(课本例5)如图，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S. (1)用r与x表示扇形的面积S； (2)用r与l表示扇形的面积S. 解　(1)x rad角的大小是周角的所形成扇形的面积S是整个圆的面积πr2的.即S·πr2|x|r2. (2)由(1)可得S|x|r2|x|r·r. 又因为l＝|x|r，所以Slr. 例4　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 消去l并整理得R2－5R＋4＝0， 解得R＝1或R＝4. 当R＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当R＝4时，l＝2，此时θ rad. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 延伸探究2　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l＋2r＝4，所以l＝4－2r 所以Slr×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1， 因此θ2. 所以当圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为1. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是SlRαR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 跟踪训练4　已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l. (1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l； (2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. 解　(1)∵α＝135° ∴扇形的弧长l＝αr×10. (2)∵扇形AOB的周长 L＝2r＋l＝2r＋αrr＝22， ∴α－2， ∴扇形AOB的面积Sαr2r2＝－r2＋11r＝－ 则当r时，Smax此时α＝2， 即当α＝2时，扇形的面积最大，最大值为. 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：弧度与角度混用. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.角终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　＋2π是第一象限角， 故是第一象限角. 2.时针经过一小时，转过了(　　) A. rad B.－ rad C. rad D.－ rad 答案　B 解析　时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－ rad， 所以时针经过一小时，转过－ rad. 3.已知扇形的弧长为6，圆心角的弧度数为3，则其面积为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　B 解析　设扇形的半径为R，由题意可得3， 则R＝2，扇形的面积SlR×6×2＝6. 4.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界). 5.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π. 6.(多选)下列与终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A.45°＋2kπ(k∈Z) B.＋k·360°(k∈Z) C.－315°＋k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) 答案　CD 解析　A，B中弧度与角度混用，不正确； ＋2π，所以与终边相同. －315°＝45°－360°，所以－315°角也与45°角终边相同，即与终边相同. 7.(5分)－135°化为弧度为　　　　化为角度为　　　　.  答案　－　660° 解析　－135°＝－135×－； ×°＝660°. 8.(5分)已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为　　　　.  答案　6 解析　由题意知，扇形的弧长为1×2＝2， 所以扇形的周长为2×2＋2＝6. 9.(10分)已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(5分) (2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角.(5分) 解　(1)因为α＝1 200°＝1 200× ＋3×2π， 所以角α与的终边相同， 又<<π，所以角α是第二象限角. (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为 ＋2kπ，k∈Z， 所以由－4π≤＋2kπ≤0，得－≤k≤－. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 当k＝－2时＋2×(－2)π＝－； 当k＝－1时＋2×(－1)π＝－故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－－. 10.(12分)已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(5分) (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.(7分) 解　(1)由圆O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°. (2)由(1)可知αr＝10， ∴弧长l＝α·r×10 ∴S扇形lr××10 又S△AOB·AB·AB ×10×525 ∴S＝S扇形－S△AOB－25. 11.如图所示的复古时钟显示的时刻为10∶10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为 当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×； 但当分针指向2时，时针由10向11移动了 × 故该时刻的时针与分针所夹的钝角为 . 12.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＋2kπ(k∈Z) 答案　D 解析　因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)， β＝x－＋2k2π(k2∈Z)， 所以α－β＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z). 因为k1∈Z，k2∈Z， 所以k1－k2∈Z. 所以α－β＋2kπ(k∈Z). 13.(5分)若2kπ＋(k∈Z)，则的终边在　　　　.  答案　y轴上 解析　∵2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴3kπ＋(k∈Z).当k为奇数时的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时的终边在y轴的非负半轴上.综上的终边在y轴上. 14.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　　　m2(精确到1 m2).  答案　9 解析　120°，根据题意得， 弦＝2×4sin 4(m)，矢＝4－2＝2(m)， 因此弧田面积为×(弦×矢＋矢2) ×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 15.把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧BC的长是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　过点O作OH⊥AB于点H，连接OB， 由折叠的性质可得OHOB，AB∥CD， 所以∠OBH所以∠BOD所以∠BOC 所以劣弧BC的长是×2. 16.(12分)玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成).已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米. (1)若OD＝2OA＝80厘米，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度；(5分) (2)若AD＝2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.(7分) 解　设弧AB的长度为l1厘米，弧CD的长度为l2厘米. (1)因为OD＝2OA， 所以 所以l1l2. 因为OD＝2OA＝80厘米， 所以AD＝BC＝40厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米， 所以l1＋l2＝240， 所以l2＋l2＝240， 解得l2＝160，即弧CD的长度为160厘米. (2)因为AD＝2OA， 所以 所以 则扇形OCD的面积S1·OD·l2·OA·l1， 扇形OAB的面积S2·OA·l1， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积S＝S1－S2＝4·OA·l1. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米， 所以l1＋l2＋AD＋BC＝4l1＋4OA＝320， 所以l1＋OA＝80， 则2≤OA＋l1＝80， 从而OA·l1≤1 600，当且仅当OA＝l1＝40时，等号成立， 故S＝4·OA·l1≤6 400， 即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6 400平方厘米. 学科网（北京）股份有限公司 $