第4章 幂函数、指数函数和对数函数 综合拔高练-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦指数函数、对数函数等核心知识点，通过高考真题、模拟应用及迁移创新三层设计，构建从基础运算到综合应用再到创新探究的巩固路径，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|指数对数运算、函数图象性质、零点与方程根、实际应用|18道真题按考点分类，如生物丰富度指数题（考点4）体现数学应用，强化高考适配性| |应用实践|单调性、大小比较、实际模型（如学习率）、复合函数零点|8道模拟题贴近高考难度，如指数衰减模型题（第3题）培养数学应用意识| |迁移创新|新定义“保k值函数”|1道创新题通过新情境探究函数性质，发展创新思维与逻辑推理能力|

综合拔高练 高考真题练 考点1　指数式与对数式的运算 1.(2022天津,6)化简(2log43+log83)(log32+log92)=(　　) A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D. 2.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25　　　　B.5　　　　C.　　　　D. 3.(2023北京,11)已知函数f(x)=4x+log2x,则f =　　　　.  4.(2024全国甲理,15)已知a>1且-=-①,则a=　　　　.  ①对点突破:P265定点1 考点2　指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质 5.(2024新课标Ⅰ,6)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0]　　　　B.[-1,0]　　　　 C.[-1,1]　　　　D.[0,+∞) 6.(2024北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 7.(2024天津,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c　　　　B.b>a>c　　　　 C.c>a>b　　　　D.b>c>a 8.(2023北京,4)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A. f(x)=-ln x　　　　B. f(x)= C. f(x)=-　　　　D. f(x)=3|x-1| 9.(2023新课标Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1 10.(2021天津,3)函数y=的图象大致为(　　) 11.(2023新课标Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2]　　　　B.[-2,0) C.(0,2]　　　　D.[2,+∞) 12.(2023全国甲文,11)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则(　　) A.b>c>a　　　　B.b>a>c　　　　 C.c>b>a　　　　D.c>a>b 13.(2022全国乙文,16)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.  考点3　函数的零点与方程的根 14.(2020天津,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　　) A.∪(2,+∞)　　　　 B.∪(0,2) C.(-∞,0)∪(0,2)　　　　 D.(-∞,0)∪(2,+∞) 15.(2021北京,15)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①当k=0时, f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  考点4　函数在实际问题中的应用 16.(2024北京,7)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1　　　　B.2N2=3N1 C.=　　　　D.= 17.(多选题)(2023新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2　　　　B.p2>10p3 C.p3=100p0　　　　D.p1≤100p2 18.(2022北京,7)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 高考模拟练 应用实践 1.(2025湖南长沙浏阳期中)已知f(x)=在R上单调递减,那么a的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 2.(2025云南昆明第三中学检测)若a=0.20.3,b=0.30.2,c=log0.50.3,则(　　) A.c<a<b　　　　B.b<a<c　　　　 C.a<b<c　　　　D.a<c<b 3.(2025江西丰城中学期末)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　) A.72　　　　B.73　　　　C.74　　　　D.75 4.(多选题)(2025甘肃金昌永昌第一高级中学期中)已知a>b>c>0,定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,则下列结论正确的有(　　) A.方程f[g(x)]=0有三个不同的实数根 B.方程g[f(x)]=0有两个不同的实数根 C.方程f[f(x)]=0有五个不同的实数根 D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个实数根 5.(多选题)(2024辽宁营口月考)已知函数f(x)=ln(+x)+x5+3,定义在R上的函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6,则(　　) A.f(lg 7)+f=6 B.函数g(x)的图象关于点(3,0)对称 C.若实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则a+b>0 D.若函数f(x)与g(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则x1+y1+x2+y2+x3+y3=9 6.(2024江苏扬州期初考试)已知函数f(x)=若关于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=0有5个不同的实数根,则实数a的取值范围为　　　　.  7.(2025黑龙江龙东地区段考)已知函数f(x)=log2·log2(1≤x≤4),g(x)=4x+4-x-a·2x-a·2-x+1. (1)求函数f(x)的最大值; (2)设不等式f(x)≤0的解集为A,若对任意x1∈A,存在x2∈[0,1],使得x1=g(x2),求实数a的值. 8.(2024黑龙江哈尔滨一中期末)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≥0,b≥0)在[1,2]上有最大值1和最小值0,f(x)=. (1)求实数a,b的值; (2)若不等式f(log2x)-2klog2x≤0在上恒成立,求实数k的取值范围; (3)若关于x的方程f(|2x-1|)+-3m-1=0有3个不同的实数解,求实数m的取值范围. 迁移创新 9.(2024江西宜春宜丰中学)已知函数y=f(x),若对于给定的正整数k,f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),则称此函数f(x)为“保k值函数”. (1)若函数f(x)=2x为“保1值函数”,求x0的值; (2)①试判断函数f(x)=x+是不是“保k值函数”,若是,求出k的值;若不是,请说明理由; ②试判断函数f(x)=ln是不是“保2值函数”,若是,求出实数a的取值范围;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.C　原式= =log23×log32=2. 2.C　由log83=b得8b=3,又2a=5,所以4a-3b====. 3.答案　1 解析　因为f(x)=4x+log2x,所以f=+log2=2-1=1. 4.答案　64 真题降维 换底→化简→解“一元二次方程”. 解析　由-=-,可得-=-, 即-log2a=-, 设t=log2a,可得-=-,整理可得6-t2=-5t, 即t2-5t-6=0,解得t=6或t=-1, 当t=log2a=6时,a=26=64, 当t=log2a=-1时,a=, 又∵a>1,∴a=舍去,∴a=64. 5.B　当x<0时, f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,则-≥0,解得a≤0, 当x≥0时, f(x)=ex+ln(x+1)在[0,+∞)上单调递增显然成立, 又f(x)在R上单调递增, 所以-a≤e0+ln 1=1,解得a≥-1. 综上,-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0]. 6.B　对于A,B,由题意不妨设x1<x2,因为函数y=2x是增函数,所以0<<,即0<y1<y2. 又>=,即>>0, 所以log2>log2=,故A错误,B正确. 对于C,取x1=-1,x2=-2,则y1=,y2=,可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),即log2>-3=x1+x2,故C错误. 对于D,取x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),即log2<1=x1+x2,故D错误. 考场速决　令f(x)=y=2x,作出函数y=f(x)的图象,如图, 由图可知, f <, ∴<,两边取对数得log2<log2, ∴log2>. 7.B　易知y=4.2x在R上单调递增,且函数值恒大于0,因为-0.3<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20.3,即0<a<1<b, 易知y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,又0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以b>a>c. 8.C　对于A,因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误; 对于B,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误; 对于C,因为y=在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确; 对于D,因为f===, f(1)=3|1-1|=30=1, f(2)=3|2-1|=3,显然f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误. 9.B　解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x), 即(x+a)ln=(-x+a)ln, 即(x+a)ln=(-x+a)ln=(-x+a)·,∴x+a=-(-x+a)恒成立,∴a=0. 解法二(特殊值法):易知f(x)的定义域为∪,由已知得∀x∈∪, f(-x)=f(x)恒成立,∴f(1)=f(-1), ∴(1+a)ln=(-1+a)ln 3,∴a=0. 经检验符合题意. 解法三:易知y=ln为奇函数,又f(x)为偶函数, ∴y=x+a为奇函数,∴a=0. 10.B　设f(x)=(x≠0),由于f(-x)==f(x),故f(x)是偶函数,排除A、C. 当x>1时,ln x>0,x2+2>0,有f(x)>0,排除D. 11.D　因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以≥1(结合函数y=x(x-a)的图象,根据对称轴的位置与区间(0,1)的关系列不等式),即a≥2,故a的取值范围是[2,+∞). 12.A　因为f(x)=是由y=et,t=-(x-1)2复合而成的,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 因为<<1<,所以a=f<f=b. 易知c=f=f. 下面比较,与2-的大小关系. 先比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较+与4的大小, 易得(+)2=8+4,42=16, 又<2,所以8+4<16,故<2-; 再比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较+与4的大小, 易得(+)2=9+6,42=16,又<, 所以9+6>16,故>2-, 故<2-<,故a<c<b. 13.答案　-;ln 2 解析　∵f(x)=ln+b=ln+b,∴x≠1, 又f(x)为奇函数,∴x=-1是关于x的方程a+1-ax=0的根,∴a=-,∴f(x)=ln+b, ∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞), ∴f(0)=ln +b=0,∴b=ln 2. 14.D　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点. 当k=-时,h(x)==,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象如图. 由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B; 当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图所示. 此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C. 15.答案　①②④ 解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2, 令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2, 所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数. 当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确; 当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有3个交点,则f(x)有3个零点,故④正确; 当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如图d,故②正确,③不正确. 综上,正确结论的序号为①②④. 图a 图b 图c　图d 16.D　根据题意,得2.1=①,3.15=②, 得==, ∴3ln N2=2ln N1,∴ln =ln ,∴=. 17.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵-=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,∴≥1,∴p1≥p2,故A正确; ∵-=20×lg ≥10,∴lg ≥,∴≥,∴p2≥p3,故B错误; ∵=20×lg =40,∴=100,∴p3=100p0,故C正确; ∵-=20×lg≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确. 18.D　当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026>lg 1 000=3,故二氧化碳处于固态,A错误; 当T=270,P=128时,lg P=lg 128>lg 100=2,故二氧化碳处于液态,B错误; 当T=300,P=9 987时,lg P=lg 9 987<lg 104=4,易知lg 9 987接近于4,故二氧化碳处于固态,C错误; 当T=360,P=729时,lg P=lg 729,3=lg 103>lg 729>lg 102=2,由题图易知二氧化碳处于超临界状态,D正确. 高考模拟练 1.C　因为f(x)在R上单调递减, 所以解得≤a<. 2.C　因为函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,所以0.20.3<0.30.3, 因为函数y=0.3x在(0,+∞)上单调递减,所以0.30.3<0.30.2<0.30=1, 由函数y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减,得1=log0.50.5<log0.50.3, 综上,0.20.3<0.30.3<0.30.2<1<log0.50.3,所以a<b<c. 3.B　由题得L0=0.5,G0=18,所以L=0.5, 当G=18时,L=0.4,即0.4=0.5,解得D=0.8, 所以L=0.5×0., 令L<0.2,即0.5×0.<0.2, 解得>==≈=4, 故G>4×18=72, 所以学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为73. 4.ACD　对于A,由题图可知,当f(x)=0时,x=b或x=0或x=-b, 所以当f[g(x)]=0时,g(x)=b或g(x)=0或g(x)=-b, 因为a>b>0,所以b∈[-a,a],-b∈[-a,a], 又y=g(x)在[-a,a]上单调递减,所以g(x)=b,g(x)=0,g(x)=-b都有唯一实数根, 所以方程f[g(x)]=0有三个不同的实数根,故A正确; 对于B,当g(x)=0时,x=b,所以当g[f(x)]=0时, f(x)=b,又a>b>c>0,所以由y=f(x)的图象可知f(x)=b有一个实数根,即方程g[f(x)]=0有且仅有一个实数根,故B错误; 对于C,当f(x)=0时,x=b或x=0或x=-b,则由f[f(x)]=0,得f(x)=b或f(x)=0或f(x)=-b,又a>b>c>0,∴-c>-b>-a,所以f(x)=b和f(x)=-b各有唯一实数根, f(x)=0有3个不同的实数根,故方程f[f(x)]=0有五个不同的实数根,故C正确; 对于D,当g(x)=0时,x=b,则由g[g(x)]=0得g(x)=b,而a>b>0,y=g(x)在[-a,a]上单调递减,所以g(x)=b有唯一实数根,所以方程g[g(x)]=0有且仅有一个实数根,故D正确. 5.ACD　对任意的x∈R,+x>|x|+x≥0, 所以函数f(x)=ln(+x)+x5+3的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)+f(x)=ln(-x)+(-x)5+3+ln(+x)+x5+3=ln(x2+1-x2)+6=6, 所以f(lg 7)+f=f(lg 7)+f(-lg 7)=6,A正确; 因为函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6,所以函数g(x)的图象关于点(0,3)对称,B错误; 令h(x)=ln(+x),该函数的定义域为R, 因为h(-x)+h(x)=ln(-x)+ln(+x)=ln(x2+1-x2)=0,所以h(-x)=-h(x), 所以函数h(x)为奇函数, 当x≥0时,u=+x单调递增, 又y=ln u为增函数, 所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增, 故函数h(x)在(-∞,0]上也单调递增, 因为函数h(x)在R上连续, 所以函数h(x)在R上为增函数, 又因为函数y=x5+3在R上为增函数, 所以函数f(x)在R上为增函数, 因为实数a,b满足f(a)+f(b)>6,所以f(a)>6-f(b)=f(-b),所以a>-b,即a+b>0,C正确; 易知函数f(x)与g(x)的图象都关于点(0,3)对称, 不妨设x1<x2<x3,若x2≠0,则函数f(x)与g(x)图象的交点个数必为偶数,不符合题意,所以x2=0,则y2=3, 由函数图象的对称性可知x1+x3=0,y1+y3=6,故x1+y1+x2+y2+x3+y3=9,D正确. 6.答案　 解析　作出函数f(x)=的图象,如图所示: 令t=f(x),若关于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=0有5个不同的实数根, 则关于t的方程4t2-4at+2a+3=0有2个不同的实数根,且两根分别在(-1,0)和(-2,-1]上, 令g(t)=4t2-4at+2a+3, 则即 解得-<a≤-. 7.解析　(1)f(x)=log2·log2=(log2x-2)·(log2x-1)=(log2x)2-3log2x+2, ∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2, 易知y=x2-3x+2在上单调递减,在上单调递增,则当log2x=0或log2x=2时, f(x)取最大值, 当log2x=0,即x=1时, f(1)=2,当log2x=2,即x=4时, f(4)=0, ∴当x=1时, f(x)取最大值,为2. (2)由f(x)≤0,得1≤log2x≤2,即2≤x≤4,∴A=[2,4], 设t=2x+2-x,x∈[0,1],则t∈, g(x)=4x+4-x-a·2x-a·2-x+1=(2x+2-x)2-a(2x+2-x)-1, 设h(t)=t2-at-1,t∈, 由对任意x1∈A,存在x2∈[0,1],使得x1=g(x2)得A=[2,4]是函数h(t)的值域的子集. ①当≤2,即a≤4时,h(t)在上单调递增, 则解得a=. ②当≥,即a≥5时,h(t)在上单调递减, 则无解. ③当2<<,即4<a<5时,函数h(t)在上单调递减,在上单调递增, 则函数h(t)的最大值是h(2)与h的较大者, 令h(2)=3-2a≥4,得a≤-, 令h=-a≥4,得a≤,均不合题意. 综上所述,实数a的值为. 8.解析　(1)当a=0时,g(x)=1+b,为常数函数,不符合题意. 当a>0时,函数g(x)的图象的对称轴为直线x=1,且开口向上,所以g(x)在区间[1,2]上单调递增,故解得 (2)由(1)得,g(x)=x2-2x+1,所以f(x)==x+-2,所以f(log2x)-2klog2x≤0,即log2x+-2-2klog2x≤0. 设n=log2x,x∈,则n∈[-3,-2],n+-2-2kn≤0,所以2k≤1+-=, 因为n∈[-3,-2],所以∈, 所以当=-时,取得最小值,且最小值为=,所以2k≤,即k≤, 所以实数k的取值范围是. (3)由(2)知,f(x)=x+-2,因为f(|2x-1|)+-3m-1=0,所以|2x-1|2-(3+3m)|2x-1|+1+2m=0. 令|2x-1|=t,则t2-(3+3m)t+1+2m=0(t≠0). 作出y=|2x-1|的图象如图所示: 因为方程f(|2x-1|)+-3m-1=0有3个不同的实数解, 所以t2-(3+3m)t+1+2m=0(t≠0)有两个根t1,t2,且0<t1<1<t2或0<t1<1=t2. 记h(t)=t2-(3+3m)t+1+2m, 则或 所以m>-, 故实数m的取值范围是. 9.解析　(1)因为函数f(x)=2x为“保1值函数”,所以存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1),即=+2,故=2,解得x0=1. (2)①函数f(x)=x+不是“保k值函数”.理由如下: 若函数f(x)=x+是“保k值函数”,则存在实数x0≠0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),即x0+k+=x0++k+,化简得+kx0+k2=0. 当k≠0时,Δ=-3k2<0,方程无解;当k=0时,x0=0,f(x0)无意义. 综上,函数f(x)=x+不是“保k值函数”. ②函数f(x)=ln是“保2值函数”. 若函数f(x)=ln是“保2值函数”,则f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+2)=f(x0)+f(2), 即ln=ln+ln, 即=·, 整理可得=, 由>0,解得<a<e2+1, 故当<a<e2+1时,函数f(x)=ln是“保2值函数”. 24 学科网（北京）股份有限公司 $