3.2.2 函数的奇偶性-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本练习通过"基础+提升"双层设计，以函数奇偶性概念理解为起点，逐步过渡到综合应用，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|奇偶性定义判断、简单性质应用|以选择填空为主，通过具体函数辨析概念，如第3题多角度考查奇偶性判定| |能力提升练|奇偶性与单调性综合、抽象函数性质|设置数形结合题（第2题）和含参数综合题（第7题），深化逻辑推理与数学建模|

3.2.2　函数的奇偶性 基础过关练 题组一　函数的奇偶性 1.(2025浙江衢州六校联盟期中)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的函数是(　　) A.y=-(x-1)2　　　　B.y=x C.y=　　　　D.y=-|2x| 2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 3.(多选题)下列结论不正确的是(　　) A.f(x)=(x-1)是偶函数 B.f(x)=是奇函数 C.f(x)=+是偶函数 D.f(x)=是非奇非偶函数 题组二　函数奇偶性的应用 4.(2025广东汕头河溪中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=x2+,若f(2)=-5,则a=(　　) A.2　　　　B.-2　　　　 C.　　　　D.- 5.(2025陕西榆林第十四中学期中)若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f =(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D.2 6.(多选题)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则有关f(x)在[0,+∞)上的说法正确的是(　　) A.f(0)=0　　　　B.f(1)=0 C.最大值为　　　　D.最小值为- 7.已知定义域为R的函数g(x)=f(2x)+x2为奇函数,且f(2)=3,则f(-2)=　　　　.  8.(2025四川南充第一中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(5)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　.  9.(2025黑龙江牡丹江第三高级中学期中)已知函数f(x)=,且其定义域为(-1,1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)利用单调性的定义证明:f(x)在(0,1)上单调递减; (3)解不等式f(1-m)+f(1-m2)<0. 能力提升练 题组一　函数的奇偶性 1.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)不恒等于零,则F(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 2.(2025广东广州第七十五中学阶段检测)我国著名数学家华罗庚曾说:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事休.在数学的学习和研究中,有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征.函数f(x)=的图象大致为(　　) 题组二　函数奇偶性的综合运用 3.(2025四川南充白塔中学月考)已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数,g(x)=f(x+1),则(　　) A.g(0)>g>g(3) B.g(0)>g(3)>g C.g>g(0)>g(3) D.g(3)>g>g(0) 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,且在[0,+∞)上单调递减,若对任意x∈R, f(x2-a)+f(x)<2恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1)　　　　B. C.　　　　D.(1,+∞) 5.(2025浙江杭州期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=ax+1,若f(-3)=8,则不等式f(x)>的解集为(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 6.函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为　　　　.  7.(2025山东泰安新泰第一中学期中)定义在R上的单调函数f(x)满足恒等式f(x)=f(y)+f(x-y),且f(1)+f(2)=6. (1)求f(0), f(1); (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (3)若对于任意的x∈,都有f(kx2+x)+f(x-1)<0成立,求实数k的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　对于A,设y=f(x)=-(x-1)2,其定义域为R,因为f(-x)=-(-x-1)2=-(x+1)2≠f(x),所以y=-(x-1)2不是偶函数,不符合题意; 对于B,易知y=x在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于C,设y=g(x)=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g(-x)==-g(x),所以y=是奇函数,不符合题意; 对于D,设y=h(x)=-|2x|,其定义域为R,且h(-x)=-|-2x|=-|2x|=h(x),所以y=-|2x|为偶函数,当x>0时,h(x)=-2x,在(0,+∞)上单调递减,符合题意. 2.B　∵x∈(-a,a),∴定义域关于原点对称,又F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数. 3.ACD　对于A, f(x)的定义域为[-1,1),定义域不关于原点对称,∴f(x)不是偶函数,故该判断错误; 对于B,设x>0,则-x<0,则f(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),同理,设x<0, f(-x)=-f(x)也成立, ∴f(x)是奇函数,故该判断正确; 对于C,由f(x)=+,得x2-3=0,解得x=±,∴f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数,故该判断错误; 对于D,由得-1≤x<0或0<x≤1, ∴f(x)==,且其定义域关于原点对称, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,故该判断错误. 4.B　因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=-5, 所以f(2)=-f(-2)=-=-5,解得a=-2. 5.D　因为f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,所以即则 所以f(x)=x2+1,则f =f(1)=12+1=2. 6.ABC　由题可知,函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0, f(-x)=-f(x), 因为f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x), 所以当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x(1-x)=-f(x), 所以当x∈(0,+∞)时, f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+, 所以f(1)=0,且当x=时, f(x)在[0,+∞)上取最大值,最大值为,无最小值. 7.答案　-5 解析　由题意得g(1)=f(2)+1=3+1=4,又g(x)是奇函数,所以g(-1)=-g(1)=-4,又g(-1)=f(-2)+1,所以f(-2)=-4-1=-5. 8.答案　(-∞,-5)∪(0,5) 解析　因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增, f(5)=0, 所以f(x)<0即f(|x|)<f(5),即|x|<5,解得-5<x<5; f(x)>0即f(|x|)>f(5),即|x|>5,解得x<-5或x>5. 由xf(x)<0,得或即或解得0<x<5或x<-5. 所以不等式xf(x)<0的解集为(-∞,-5)∪(0,5). 9.解析　(1)因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)证明:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==, 因为x2-x1>0,1+x1x2>0,-1<0,-1<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)在(0,1)上单调递减. (3)f(1-m)+f(1-m2)<0可转化为f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1), 则-1<m2-1<1-m<1,即解得0<m<1, 故不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集为(0,1). 能力提升练 1.B　由题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)·f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数. 2.A　由题意可知函数的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称, f(-x)===f(x),所以函数f(x)=为偶函数,其图象关于y轴对称,故B,C不符合,当0<x<1时,x2-1<0,所以f(x)<0,所以D不符合,A符合. 3.C　因为f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数, 所以4a+a+5=0,解得a=-1,则f(x)=-x2-2,x∈[-4,4], 所以g(x)=f(x+1)=-(x+1)2-2,x∈[-5,3], 所以g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,且g(x)在(-1,+∞)上单调递减, 则g=g>g(0)>g(3). 4.B　令F(x)=f(x)-1,则F(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上单调递减,F(-x)=f(-x)-1, 又f(x)+f(-x)=2, 所以F(x)+F(-x)=f(x)+f(-x)-2=0, 所以F(x)=-F(x), 故F(x)为定义在R上的奇函数, 故F(x)在R上为减函数. 由f(x2-a)+f(x)<2恒成立,得F(x2-a)+F(x)<0恒成立,即F(x2-a)<-F(x)=F(-x)恒成立, 即x2-a>-x恒成立, 即a<x2+x=-恒成立, 所以实数a的取值范围为. 5.A　因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-3)=-f(3)=8,所以f(3)=-8, 所以3a+1=-8,解得a=-3, 故当x>0时, f(x)=-3x+1, 设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[-3(-x)+1]=-3x-1, 当x>0时,由f(x)>,可得-3x+1>,所以0<x<, 当x<0时,由f(x)>,可得-3x-1>,所以x<-, 所以不等式f(x)>的解集为∪. 6.答案　(-∞,0)∪(4,+∞) 解析　当a=0时,显然f(x)为偶函数不成立,所以a≠0, 因为函数f(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,所以函数f(x)的图象的对称轴为y轴, 所以-=0且a≠0, 所以b=2a,则f(x)=ax2-4a. 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>0. 令f(x)=ax2-4a=0,解得x=2或x=-2. 由f(2-x)>0,得2-x>2或2-x<-2,解得x<0或x>4, 所以f(2-x)>0的解集为(-∞,0)∪(4,+∞). 7.解析　(1)在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=y=0,得f(0)=0,令x=2,y=1,得f(2)=2f(1), ∴f(1)+f(2)=3f(1)=6,∴f(1)=2. (2)f(x)是奇函数,证明如下: f(x)的定义域为R,关于原点对称.在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=0,得f(0)=f(y)+f(-y)=0, ∴f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x), ∴函数f(x)是奇函数. (3)∵f(x)是奇函数,且f(kx2+x)+f(x-1)<0在x∈上恒成立, ∴f(kx2+x)<f(1-x)在x∈上恒成立, 又∵f(x)是定义在R上的单调函数,且f(0)=0<f(1)=2,∴f(x)是R上的增函数. ∴kx2+x<1-x,即k<-2·在x∈上恒成立. 令g(x)=-2·=-1, ∵x∈,∴∈(1,2), ∴-1<g(x)<0,∴k≤-1. 则实数k的取值范围为(-∞,-1]. 12 学科网（北京）股份有限公司 $