3.2.2 函数的奇偶性-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕函数的奇偶性，系统梳理定义（图象特征与符号语言）、判断方法（定义法、图象法、运算性质）及应用（求参数、函数值、解析式），通过知识辨析问题搭建学习支架，衔接定义与性质，形成从概念到应用的逻辑脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，以典例（如分段函数奇偶性判断、含峰函数新定义问题）培养学生推理能力与创新意识，表格总结运算性质体现数学语言简洁性，助力学生提升知识迁移能力，为教师提供系统的素养培养教学资源。

3.2.2　函数的奇偶性 必备知识 清单破 知识点 偶函数、奇函数的定义 1.用图象特征描述函数的奇偶性 (1)如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数. (2)如果F(x)的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数. 2.用数学符号语言描述函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数. (2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数. 注意:偶函数和奇函数的定义域都关于原点对称. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.对于函数f(x)的定义域内的任意x,若f(-x)有定义且f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性? 若f(-x)-f(x)=0呢? 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)的值可直接确定吗?若f(x)为偶函数呢? 3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何?若f(a)>f(b),你能得到什 么结论? 4.如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在区间(-b,-a)上的单调性如何?如果偶函数g (x)在区间(a,b)上单调递减,那么g(x)在区间(-b,-a)上的单调性如何? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.由f(-x)+f(x)=0,得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0,得f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.若f(x)为偶函数且在x=0处有定义,则无法直接确 定f(0)的值. 3.f(-2)>f(3).若f(a)>f(b),则|a|<|b|. 4.如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在区间(-b,-a)上单调递增.如果偶函数g(x)在 区间(a,b)上单调递减,那么g(x)在区间(-b,-a)上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 如何判断函数的奇偶性 关键能力 定点破 1.判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法:   第1讲　描述运动的基本概念 (2)图象法: (3)函数奇偶性的运算性质 　    f(x),g(x)在它们的公共定义域上的奇偶性如下: 第1讲　描述运动的基本概念 f(x) g(x) f(x)+ g(x) f(x)- g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不确定 不确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不确定 不确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 　　注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 2.分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)的奇偶性,需在每一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,验证f(-x)=-f(x) 或f(-x)=f(x)是否成立,也可以作出函数图象,结合对称性判断. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=|x-2|+|x+2|; (3)f(x)=  思路点拨    先求函数的定义域,再计算f(-x)(必要时化简函数解析式),并判断f(-x)与f(x)的关系, 从而得出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1, 又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4, ∴函数f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1,且x≠0},关于原点对称,且x+2>0,∴f(x)= = , ∴f(-x)= =- =-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称. ∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)= =-  =f(x). 综上,函数f(x)为偶函数. 第1讲　描述运动的基本概念 1.由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参;若定义域的表示 中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用关于原点对称的区间端点值之和为0求参数的值. 2.由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若 所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其 奇偶性求值. 3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 (1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间. (2)把x对称转化到已知解析式的区间上,利用已知的解析式进行代入. 定点 2 函数奇偶性的应用 (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x). 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为　　　    ; (2)若f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值为　　　    ; (3)如果f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时, f(x)=x(1+ ),那么当x∈(-∞,0)时,f(x)=　 　         . 1 6 x(1- ) 解析    (1)解法一:∵f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(m-2)·(-x)2+(m-1)· (-x)+3=(m-2)·x2+(m-1)x+3恒成立, ∴(m-1)x=0恒成立,∴m-1=0,即m=1. 解法二:若m=2,则f(x)=x+3,不是偶函数,舍去.若m≠2,则f(x)图象的对称轴为直线x=- .∵ f(x)为偶函数,∴- =0, ∴m=1. (2)设g(x)=x5+ax3+bx,则f(x)=g(x)+8. 第1讲　描述运动的基本概念 ∴f(-2)=g(-2)+8=10,∴g(-2)=2. 易知g(x)是奇函数,∴g(2)=-g(-2)=-2, ∴f(2)=g(2)+8=-2+8=6. (3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), ∴f(-x)=-x(1+ )=-x(1- ). ∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=x(1- ),x∈(-∞,0). 第1讲　描述运动的基本概念 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反. 2.利用函数的奇偶性与单调性比较不同单调区间内的函数值的大小,关键是利用奇偶性把自 变量转化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较. 3.利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时,一定要充分利用已知条件,把已知不等式转 化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的单调性列出不等式(组),要注意函数的定义域 对参数的影响. 定点 3 函数奇偶性与单调性的综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知定义在[-2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减,且f(1-m)<f(m). (1)若f(x)是奇函数,求实数m的取值范围; (2)若f(x)是偶函数,求实数m的取值范围. 解析    (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减, 所以f(x)在[-2,2]上单调递减, 所以f(1-m)<f(m)等价于  解得-1≤m< . 所以实数m的取值范围为 . (2)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|), 所以f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|). 第1讲　描述运动的基本概念 因为f(x)在区间[0,2]上单调递减, 所以原不等式等价于  解得-1≤m< .所以实数m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 学科素养 情境破 素养 通过解决函数中的新定义问题发展数学抽象的素养 素养解读 　　新定义问题已经成为高考的热点问题.新定义问题注重考查学生对数学的理解能力、新 情境下的知识迁移能力和自主学习新知识的能力. 函数新定义问题的一般形式:先给出一个新的概念或新的运算法则或抽象函数的性质等,然 后让我们按照这种新定义去解决相关问题. 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 设y=f(x)是定义在[m,n](m<n)上的函数,若存在x0∈(m,n),使得y=f(x)在区间[m,x0]上严格递 增,且在区间[x0,n]上严格递减,则称y=f(x)为“含峰函数”,x0称为峰点,[m,n]称为含峰区间. (1)试判断y=-x2+6x是不是[0,6]上的“含峰函数”,若是,指出峰点;若不是,请说明理由; (2)若y=ax2+bx+c(a≠0)是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”,且值域为[0,4],求实数a的取 值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    (1)函数y=-x2+6x的图象开口向下,对称轴为直线x=3,则y=-x2+6x在区间[0,3]上严格 递增,在区间[3,6]上严格递减,故函数y=-x2+6x是[0,6]上的“含峰函数”,峰点为3. (2)记f(x)=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,3]. 由题意得m<2, f(x)在区间[m,2]上严格递增,在区间[2,3]上严格递减,此时a<0, 所以 解得  所以f(x)=ax2-4ax+4+4a(a<0),x∈[m,3], 所以f(3)=9a-12a+4+4a=a+4, f(m)=am2-4am+4+4a. 令a+4=0,得a=-4, 所以f(x)=-4x2+16x-12,x∈[m,3], 所以f(2)=4, f(3)=0. 第1讲　描述运动的基本概念 由f(x)在[m,3]上的值域为[0,4]可知,m∈[1,2)时符合题意. 令am2-4am+4+4a=0,得m=2- 或m=2+ (舍去),此时f(x)=ax2-4ax+4+4a(a<0),x∈  , 则f(x)在 上严格递增,在[2,3]上严格递减, f(2)=4, f  =0. 由f(x)在[m,3]上的值域为[0,4]可知,f(3)=a+4≥0,解得a≥-4, 又a<0,所以-4≤a<0. 综上,当m∈[1,2)时,a=-4;当m=2- 时,实数a的取值范围是-4≤a<0. 第1讲　描述运动的基本概念 　　新定义问题的背景是新颖的,虽然概念、运算规则等是新给出的,但是考查的知识是基 础的,方法是常规的.这就要求我们平时学习中要吃透教材,在面对新情境材料时,不仅要读懂 题目,还要深层次挖掘,剖离出新的概念、运算规则,将学过的知识、方法迁移到新情境中. 思维升华 第1讲　描述运动的基本概念 $