第2章 一元二次函数、方程和不等式 本章复习提升-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦单元复习，通过“易混易错+思想方法”双层设计，从单一易错点巩固到综合思想应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易混易错练|不等式性质、基本不等式等单一易错点|选择填空为主，结合错例警示，强化概念理解| |思想方法练|函数与方程、分类讨论等综合思想|解答题为主，突出转化与数形结合，提升数学思维|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　多次利用不等式的性质,导致所求代数式的取值范围扩大 1.(2025陕西延安中学月考)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是(　　) A.2≤3x-2y≤8　　　　B.3≤3x-2y≤8 C.2≤3x-2y≤7　　　　D.5≤3x-2y≤10 2.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围. 易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错 3.(多选题)(2025广东广州期中)下列结论正确的是(　　) A.当x>1时,+的最小值为2 B.当x<0时,x+的最大值是-2 C.当0<x<1时,x(3-3x)的最大值为 D.若+=1,则x+y的最小值是4 4.(2025山西太原期中)已知x>0,y>0,且2y+x=xy,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  5.(2025天津滨海新区期中)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为　　　　,+的最小值为　　　　.  易错点3　忽略二次项系数的符号而致错 6.(2025安徽皖南八校联考)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　) A.{x|x<-n或x>m}　　　　 B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n}　　　　 D.{x|-m<x<n} 7.若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|m<x<1},则a=　　　　,m=　　　　.  易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0而致错 8.已知集合A=,B={0,1,2,4,8},则A∩B=(　　) A.{1,2,4,8}　　　　B.{0,1,2} C.{1,2}　　　　D.{0,1,2,4} 9.(2025四川成都树德中学期中)不等式≥2的解集为　　　　　.  10.解不等式:≤0. 思想方法练 一、函数与方程思想在解不等式中的应用 1.(2025山东东营多校期中)已知当2≤x≤3,3≤y≤6时,不等式mx2-xy+y2≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　.  2.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0对任意x∈{x|-2≤x≤4}恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　　　.  二、分类讨论思想在解不等式中的应用 3.解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0. 4.设y=ax2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R). 三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用 5.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则实数a的值为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.(2025甘肃金昌永昌第一高级中学月考)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0. (1)若方程满足一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,求实数m的取值范围; (2)若方程至少有一个非负实根,求实数m的取值范围. 四、转化与化归思想在不等式问题中的应用 7.(2025江苏徐州沛县学情调研)已知正实数x,y满足x+y=3,若+>m2-m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  8.(2024山东淄博中学月考)已知a,b均为正数,且满足a+b+8=ab. (1)求ab的最小值及取到最小值时a与b的值; (2)求的最小值及取到最小值时a与b的值. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.A　设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y, 则解得 故3x-2y=(x+y)+(x-y), 因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3, 所以2≤3x-2y=(x+y)+(x-y)≤8. 2.解析　令得 ∴9a-c=y-x. ∵-4≤x≤-1,∴≤-x≤①. ∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②. ①+②,得-1≤y-x≤20, ∴-1≤9a-c≤20. 易错警示　利用几个代数式的范围求某个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围. 3.BC　对于A,当x>1时,+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,因为x≠1,所以等号不成立,所以+>2,故A错误; 对于B,当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立,故B正确; 对于C,因为0<x<1,所以0<1-x<1,所以x(3-3x)=3x·(1-x)≤3×=, 当且仅当x=1-x,即x=时等号成立,故C正确; 对于D,取x=-2,y=,满足+=1,但x+y=-2+=-,故D错误. 4.答案　[-4,2] 解析　∵x>0,y>0,2y+x=xy,∴+=1, ∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8, 当且仅当=,即x=4,y=2时取等号, ∵x+2y≥m2+2m恒成立,∴m2+2m≤8,解得-4≤m≤2. 故实数m的取值范围为[-4,2]. 5.答案　2; 解析　∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2. ∵+=·=×≥×=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+的最小值为. 易错警示　利用基本不等式求最值需满足“正”“定”“等”的条件才能应用,否则会导致错误.连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的. 6.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0. 由m+n>0知m>-n, 所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}. 7.答案　-3;-3 解析　由题意知,a≠0,且1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根, ∴解得或 易知a<0,∴ 易错警示　二次项系数决定着不等式解集的取值方向,只有当二次项系数为正数时才能根据方程根的情况按照“大于取两端,小于取中间”的规律表示不等式的解集. 8.B　由≤0,得解得-2≤x<4,所以A={x|-2≤x<4}. 又B={0,1,2,4,8}, 所以A∩B={0,1,2}. 9.答案　{x|-7≤x<-3} 解析　由-2=-≥0,得解得-7≤x<-3, 所以不等式的解集为{x|-7≤x<-3}. 10.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0. 当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1<x≤0, 此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1}; 当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0, 此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}. 综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}. 易错警示　解分式不等式的关键是根据分式特征恰当变形,注意不可丢掉分母不为零的条件. 思想方法练 1.答案　0 解析　∵2≤x≤3,∴≤≤, 又3≤y≤6,∴1≤≤3.① ∴不等式mx2-xy+y2≥0恒成立可转化为m≥-,1≤≤3恒成立, 易得-=-+,1≤≤3, (利用二次函数图象的特点求出最大值) 结合二次函数的图象,得当=1时,-取得最大值,为0,∴m≥0,因此m的最小值为0. 2.答案　{m|2-2<m<2+2} 解析　设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=, (设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解) ①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,与m≤-4矛盾,不符合题意; ②当-2<<4,即-4<m<8时,有-m×+m+2>0,解得2-2<m<2+2,又-4<m<8,∴2-2<m<2+2; ③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0, 解得m<6,与m≥8矛盾,不符合题意. 综上所述,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}. 思想方法　函数与方程思想在本章中的体现 (1)利用函数图象讨论方程根的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况; (2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用; (3)利用方程解决与函数有关的问题. 　　函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a. 3.解析　(对不等式对应的方程是否有根进行分类讨论) 对于方程x2-2ax+2=0,Δ=4a2-8. ①当Δ<0,即-<a<时,原不等式对应的方程无实根,且二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为⌀. ②当Δ=0,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等的实数根. 当a=时,原不等式的解集为{}; 当a=-时,原不等式的解集为{-}. ③当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等的实数根,分别为x1=a-,x2=a+,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 综上所述,当-<a<时,原不等式的解集为⌀; 当a=时,原不等式的解集为{}; 当a=-时,原不等式的解集为{-}; 当a>或a<-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 4.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立. (二次项系数含有参数的“一元二次”不等式恒成立问题,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论) 当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意; 当a≠0时,需满足解得a≥. 所以实数a的取值范围是. (2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1即为ax2+(1-a)x-1<0. (解二次项系数含有参数的“一元二次”不等式,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论) 当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}. 当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1, 所以不等式的解集为. 当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0, ①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1}; ②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为xx<1或x>-; ③当a<-1时,-<1,不等式的解集为xx<-或x>1. 综上所述,当a<-1时,不等式的解集为xx<-或x>1;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为. 思想方法　在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况: (1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论; (2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论; (3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论. 5.D　函数y=x2-2ax+a的大致图象如图所示,由图象可知,若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则方程x2-2ax+a=-1有两个相等的实根, 所以4a2-4(a+1)=0,解得a=. 方法总结　数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些属性. 6.解析　(1)(根据根的分布画出函数图象,结合图象确定区间端点处函数值的符号) 由方程的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,画出函数y=x2+(m-3)x+m的大致图象如图, 由图知,当x取-2或4时,函数值为正,当x取0时,函数值为负,则解得-<m<0, 故实数m的取值范围为. (2)(根据根的分布画出函数图象,结合图象确定:①判别式的符号;②对称轴的位置;③x取0时函数值的符号) 方程至少有一个非负实根有以下三种情况: ①方程有两个非负实根,画出函数y=x2+(m-3)x+m的大致图象如图, 则解得0≤m≤1; ②方程有一负实根,一个根为0,画出函数y=x2+(m-3)x+m的大致图象如图, 则无解; ③方程有一个正根一个负根,画出函数y=x2+(m-3)x+m的大致图象如图,则m<0. 综上所述,m的取值范围为(-∞,1]. 7.答案　 解析　因为x+y=3,所以(x+1)+y=4, 则+=[(x+1)+y]=≥×=1, 当且仅当=,即x=1,y=2时等号成立, (将恒成立问题转化为最值问题,体现了转化与化归思想) 因为不等式+>m2-m恒成立,所以m2-m<1,解得<m<,所以实数m的取值范围为. 8.解析　(1)∵a>0,b>0,∴a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立. 由已知得a+b=ab-8, (利用基本不等式将原等式转化为关于的不等式,解不等式求取值范围) ∴ab-8≥2,即()2-2-8≥0, 因此(+2)(-4)≥0, ∵+2>0,∴-4≥0,解得ab≥16, 当且仅当即a=b=4时等号成立, 所以当a=b=4时,ab取最小值,最小值为16. (2)由已知得===++5, (把ab-8用a+b表示,将分式转化为齐次分式,考虑到分式的分母是单项式,运用除法将分式转化为积为定值的和式,运用基本不等式求解) ∵a>0,b>0,∴++5≥2+5=9, 当且仅当即时等号成立, 所以当a=,b=时,取最小值,最小值为9. 方法总结　函数、方程与不等式间的转化 　　函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,一般可将不等式恒(能)成立问题转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 19 学科网（北京）股份有限公司 $