2.2 从函数观点看一元二次方程 2.3 一元二次不等式-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 该同步练习通过“基础过关练”与“能力提升练”分层设计，覆盖二次函数零点、一元二次不等式解法及综合应用等核心知识点，梯度从单一概念到复杂问题，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|二次函数零点、不等式解法、含参数不等式、三个“二次”关系、实际应用|以选择、填空、解答题为主，从概念辨析（如零点判断）到基本运算（如不等式求解），结合实际情境（如台灯销售问题）| |能力提升练|三个“二次”综合应用、恒成立问题|含多选题、综合解答题，侧重参数讨论（如不等式解集为空集）和复杂情境应用（如收益增长问题），深化逻辑推理|

2.2　从函数观点看一元二次方程 2.3　一元二次不等式 基础过关练 题组一　二次函数的零点 1.(多选题)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,以下说法正确的是(　　) A.当m=0时,该函数只有一个零点 B.当m=1时,该函数只有一个零点 C.当m=-1时,该函数没有零点 D.当m=2时,该函数有两个零点 2.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为　　　　.  3.已知关于x的方程x2-2x+a=0. (1)当a为何值时,方程的一个根大于1,另一个根小于1? (2)当a为何值时,方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3? (3)当a为何值时,方程的两个根都大于0? 题组二　一元二次不等式的解法及其应用 4.不等式-x2+x+6<0的解集是(　　) A.{x|-2<x<3}　　　　B. C.{x|x>3或x<-2}　　　　D. 5.(2025安徽宣城期末)设x∈R,使得不等式x2-6x+5<0成立的一个充分不必要条件是(　　) A.{x|1<x<5}　　　　B.{x|x>0} C.{x|x<4}　　　　D.{x|2≤x≤3} 6.(2025陕西宝鸡期末)不等式≤0的解集为　　　　.  7.(2025甘肃兰州西北师范大学附属中学月考)解下列一元二次不等式. (1)3x2+5x-2<0;(2)(5-x)(x+4)≥18; (3)-2x2-x≤-6. 题组三　含参数的一元二次不等式的解法及其应用 8.(2025安徽省示范高中期中)若集合{x|ax2+ax+4≤0}=⌀,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,16)　　　　 B.(0,16) C.(-∞,0)∪(16,+∞)　　　　 D.[0,16] 9.(2025河南省实验中学期中)设a为实数,则关于x的不等式(ax-1)(x+2)>0的解集不可能是(　　) A.(-∞,-2)　　　　B.∪(-2,+∞) C.　　　　D. 10.(2025甘肃庆阳宁县第二中学月考)已知集合A={x|x2+(a+2)x+2a<0},B={x|x2+2x-3<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a≤3}　　　　B.{a|-1≤a≤2} C.{a|2<a≤3}　　　　D.{a|a≥2} 11.(2025甘肃天水第一中学段考)已知函数y=ax2-(a+2)x+2(a∈R). (1)若y<3-2x恒成立,求实数a的取值范围; (2)当a≥0时,求不等式y≥0的解集. 题组四　三个“二次”之间的关系 12.(2025山东临沂期中)已知不等式ax2+(b+1)x-a3<0的解集是{x|x>2或x<-2},则a+b=　　　　.  13.(2025甘肃金昌永昌第一高级中学期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<7},其中a,b,c为常数,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是　　　　.  14.(2025河南洛阳期中)已知关于x的不等式ax2-2a+1<(1-a)x. (1)若不等式的解集为{x|x<-4或x>1},求实数a的值; (2)若a>0,且不等式的解集中恰有7个质数元素,求实数a的取值范围. 题组五　一元二次不等式的实际应用 15.(2025福建福州八县(市)协作校期中)某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元,若按最低售价销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　) A.10<x<20　　　　B.15≤x<20 C.15<x<20　　　　D.10≤x<20 16.(2025安徽合肥一六八中学月考)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/千瓦时.(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)) (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的关系式; (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 能力提升练 题组一　三个“二次”的综合应用 1.(2025甘肃武威第六中学段考)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　　　B. C.　　　　D.{a|a≠2} 2.(多选题)(2025湖北荆州沙市中学月考)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ 3.(2025黑龙江齐齐哈尔第八中学月考)已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为,其中m<0,则+的最小值为　　　　.  4.(2025辽宁名校联盟月考)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为　　　　.  题组二　一元二次不等式恒成立问题 5.(2025湖南长沙期末)已知x2+mx+≥0对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.m>2　　　　B.m≤0或m≥2 C.m<0或m>2　　　　D.0≤m≤2 6.(多选题)(2025广西南宁第三十六中学月考)若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.　　　　D.2 7.(2025江苏徐州侯集高级中学月考)关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.a≥　　　　B.a≤ C.-≤a≤　　　　D.a≤-或a≥ 8.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　.  9.(2025北京朝阳期中)已知不等式ax+≥4对任意正实数x恒成立,则a的最小值为　　　.  10.(2025陕西咸阳期末)(1)若对于一切实数x,不等式mx2-3mx-2<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.AB　当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,故函数只有一个零点,A正确; 当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,故函数只有一个零点,B正确; 当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,故函数有两个零点,C错误; 当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3<0,所以方程无实数根,故函数无零点,D错误. 2.答案　-3 解析　解法一:∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1, ∴a+2a+3=0,∴a=-1. ∴y=-x2-2x+3. 令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3, ∴函数的另一个零点为-3. 解法二:设x1,x2是方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的两个根,由函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,可得方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的一个根为1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-=-2,∴另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3. 3.解析　(1)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a<0,解得a<1. 所以a的取值范围是{a|a<1}. (2)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2),由图知,解得-3<a<0. 所以a的取值范围是{a|-3<a<0}. (3)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3),由图知,解得0<a≤1. 所以a的取值范围是{a|0<a≤1}. 4.C　原不等式可化为x2-x-6>0,即(x-3)(x+2)>0,解得x>3或x<-2,所以不等式的解集为{x|x>3或x<-2}. 5.D　x2-6x+5<0⇔(x-1)(x-5)<0⇔1<x<5,故不等式的解集为{x|1<x<5},故使不等式成立的一个充分不必要条件为集合{x|1<x<5}的真子集,结合选项知D正确. 6.答案　(-∞,-2)∪ 解析　由不等式≤0,可得或 由得即x<-2; 由得即-≤x<2. 综上可知,不等式≤0的解集为(-∞,-2)∪. 7.解析　(1)不等式3x2+5x-2<0等价于(3x-1)(x+2)<0,解得-2<x<,所以不等式的解集为. (2)因为(5-x)(x+4)≥18,所以-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,即(x-2)(x+1)≤0,解得-1≤x≤2, 所以不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. (3)不等式-2x2-x≤-6即2x2+x-6≥0,即(2x-3)(x+2)≥0,解得x≤-2或x≥, 所以不等式的解集为. 8.A　集合{x|ax2+ax+4≤0}=⌀,等价于不等式ax2+ax+4≤0无解,等价于ax2+ax+4>0恒成立. 当a=0时,4>0,满足题意; 当a≠0时,要想ax2+ax+4>0,需满足 解得0<a<16. 综上,0≤a<16. 9.B　当a=0时,不等式(ax-1)(x+2)>0为-(x+2)>0,解得x<-2,故不等式的解集为(-∞,-2); 当a>0时,不等式(ax-1)(x+2)>0可化为(x+2)>0, 又>-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪; 当a<0时,不等式(ax-1)(x+2)>0可化为(x+2)<0, 若a=-,则不等式即为(x+2)2<0,不等式的解集为空集, 若a<-,则>-2,不等式的解集为, 若-<a<0,则<-2,不等式的解集为. 综上所述,不等式的解集不可能为∪(-2,+∞). 10.A　A={x|x2+(a+2)x+2a<0}={x|(x+a)(x+2)<0},B={x|x2+2x-3<0}={x|-3<x<1}, 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A是B的真子集, 当a<2时,A={x|-2<x<-a},所以-2<-a≤1,即-1≤a<2; 当a=2时,A=⌀,此时A是B的真子集,符合题意; 当a>2时,A={x|-a<x<-2},所以-3≤-a<-2,即2<a≤3. 综上,实数a的取值范围是{a|-1≤a≤3}. 11.解析　(1)由题意得ax2-(a+2)x+2<3-2x恒成立,即ax2-ax-1<0恒成立, 若a=0,不等式为-1<0,恒成立,满足题意; 若a≠0,则解得-4<a<0, 综上,实数a的取值范围为(-4,0]. (2)当a=0时,不等式y≥0可化为-2x+2≥0,解得x≤1, 当a>0时,不等式y≥0可化为ax2-(a+2)x+2≥0,即(x-1)(ax-2)≥0,即(x-1)≥0, ①当>1,即0<a<2时,解得x≤1或x≥, ②当=1,即a=2时,不等式为(x-1)2≥0,恒成立, ③当<1,即a>2时,解得x≥1或x≤. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为(-∞,1], 当0<a<2时,不等式的解集为(-∞,1]∪, 当a=2时,不等式的解集为R, 当a>2时,不等式的解集为∪[1,+∞). 12.答案　-3 解析　由题意可得-2,2为方程ax2+(b+1)x-a3=0的两根,且a<0, 则由根与系数的关系可得-=-2+2=0,-=-2×2=-4,所以所以a+b=-3. 13.答案　 解析　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<7}, 所以a<0,且-2,7是方程ax2+bx+c=0的两根, 所以解得 故不等式cx2+bx+a≤0即为-14ax2-5ax+a≤0,即14x2+5x-1≤0,解得-≤x≤, 所以不等式cx2+bx+a≤0的解集是. 14.解析　(1)由题意得a<0,-4,1是方程ax2-2a+1=(1-a)x的两根,即-4,1是方程ax2+(a-1)x-2a+1=0的两根,则=-4+1=-3,且=-4×1=-4,解得a=-. (2)不等式ax2-2a+1<(1-a)x可化为(x-1)(ax+2a-1)<0,因为a>0,所以方程(x-1)(ax+2a-1)=0的两根为1,-2, 因为不等式(x-1)(ax+2a-1)<0的解集中恰有7个质数元素,所以17<-2≤19,解得≤a<, 故实数a的取值范围为. 15.B　由题意,得x[30-2(x-15)]>400(x≥15),整理得x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,解得10<x<20, 又∵x≥15,∴15≤x<20. 16.解析　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知该地区年用电量增至千瓦时, 则y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)由(1)及题意得(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)]·(1+20%),且0.55≤x≤0.75, 整理得解得0.6≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 能力提升练 1.C　若a2-4=0,则a=±2. 当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意; 当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去. 若a2-4≠0,则a≠±2. ∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,∴解得-<a<2. 综上,a的取值范围是. 2.ABD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),所以-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,故A正确; 由根与系数的关系得则b=-a,c=-6a, 所以不等式bx+c>0即-ax-6a>0,解得x<-6,故B正确; a+b+c=-6a<0,故C错误; 不等式cx2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故D正确. 3.答案　2 解析　∵ax2+2bx+4<0的解集为, ∴方程ax2+2bx+4=0的两根为m,, ∴m·=,∴a=1,∴m+=-2b,∵m<0,∴2b=-m+≥4,即b≥2,当且仅当m=-2时取“=”. ∴+=+≥2,当且仅当b=4时取“=”, ∴+的最小值为2. 4.答案　[-5,3)∪(4,5] 解析　解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2. 解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x=-或x=-k. ①当-k<-,即k>时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,此时不等式组的解集为,∵不等式组的解集中仅有一个整数,∴-5≤-k<-4,解得4<k≤5; ②当-k>-,即k<时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,要使不等式组的解集中仅有一个整数解,则-3<-k≤5,即-5≤k<3; ③当-k=-,即k=时,不等式组的解集为⌀,不满足题意. 综上所述,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5], 5.D　因为x2+mx+≥0对任意x∈R恒成立,所以Δ=m2-4×=m2-2m≤0,解得0≤m≤2. 6.BC　易得不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3]. 因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立, 所以[a,a+2]⊆[-1,3],所以解得-1≤a≤1. 结合选项知实数a的值可能为-1,. 7.A　令t=|x|,t≥0, 则对于任意t∈{t|t≥0},at2-t+2a≥0恒成立,因此a≥对任意t∈{t|t≥0}恒成立, 当t=0时,a≥0;当t>0时,易知=≤=,当且仅当t=时取“=”,即=,所以a≥. 综上,a≥. 8.答案　{λ|-8≤λ≤4} 解析　因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意的a,b∈R恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4. 9.答案　4 解析　不等式ax+≥4对任意正实数x恒成立即ax2-4x+1≥0对任意正实数x恒成立, 当a=0时,不等式为-4x+1≥0,即x≤,不符合对任意正实数x恒成立,当a≠0时,若对任意正实数x,不等式ax2-4x+1≥0恒成立, 则或解得a≥4, 所以a的最小值是4. 10.解析　(1)若m=0,则不等式为-2<0,恒成立,满足题意; 若m≠0,则解得-<m<0, 综上,实数m的取值范围是. (2)令y=x2+mx+4,则当1≤x≤2时,y<0恒成立, 画出函数图象,如图, 则解得m<-5, ∴m的取值范围是(-∞,-5). 21 学科网（北京）股份有限公司 $