2 专题强化练1 利用基本不等式求最值-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 专题强化练聚焦基本不等式求最值，分层设计从基础应用到综合创新，梯度衔接紧密，巩固路径清晰，适配新授课知识内化与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一条件直接应用|单选（1-2题）强化“1”的代换，夯实运算能力| |提升层|多变量综合与变式|多选填空（3-7题）涉及参数讨论与最值证明，发展推理能力| |应用层|新情境实际应用|解答题（8题）结合折叠问题，培养模型意识与创新思维|

专题强化练1　利用基本不等式求最值 1.已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为(　　) A.1　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9 2.(2025安徽六安第一中学期中)已知x>0,y>0,且4x+y=1,则的最小值为(　　) A.6　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6 3.(多选题)(2025甘肃兰州第一中学诊断考试)已知x>0,y>0且3x+2y=10,则下列结论正确的是(　　) A.xy的最大值为 B.+的最大值为2 C.+的最小值为 D.x2+y2的最大值为 4.(多选题)(2024江苏扬州期末)已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值可能是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.(2025江西南昌联考)已知正数x,y满足+=1,则xy的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.(2025四川南充高级中学期初)已知不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　.  7.(2025甘肃白银第八中学阶段考试)已知x,y为正实数,则+的最小值为　　　　.  8.(创新题·新情境)(2025海南华侨中学阶段考试)高一(3)班的小北为学校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑,现要批量生产.其中会徽的六个直角三角形(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示,矩形ABCD的周长为4 cm,其中长边AD为x cm,将△BCD沿BD向△ABD折叠,BC折过去后交AD于点E. (1)用x表示图1中△BAE的面积; (2)已知镀金工艺是2元/cm2,试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用. 答案与分层梯度式解析 1.B　因为正实数x,y,a满足2x+y=axy, 所以+=a, 所以x+2y=×(x+2y)= ≥5+2=, 当且仅当=,且+=a时取等号. 由题意可得=3,解得a=3. 2.D　因为x>0,y>0,且4x+y=1, 所以==≥=6,当且仅当x=y=时取等号.故的最小值为6. 3.BC　∵x>0,y>0且3x+2y=10,∴0<x<,0<y<5. 对于A,10=3x+2y≥2,化简得xy≤,当且仅当3x=2y且3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为,故A错误; 对于B,(+)2=3x+2y+2=10+2≤10+10=20,当且仅当3x=2y且3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立,所以+的最大值为2,故B正确; 对于C,+=×(3x+2y)=×≥×=,当且仅当=且3x+2y=10,即x=y=2时,等号成立,所以+的最小值为,故C正确; 对于D,x2+y2=+y2=(0<y<5), 利用二次函数的性质知,(x2+y2)min==,(x2+y2)max<=25,故D错误. 4.CD　由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0,则x<1且x≠0. 当0<x<1时,+=+=+=++≥+2=,当且仅当=,即x=时取等号. 当x<0时,+=+=+=-++≥-+2=,当且仅当=,即x=-2时取等号. 综上,+≥.结合选项知选CD. 5.D　xy=xy=+, 令x+2y=m,3x+2y=n, 则x=,y=, 所以xy=+=+-≥2-=,当且仅当=,即x=,y=时等号成立, 故xy的最小值是. 6.答案　9 解析　因为(x+y)=1+a++≥1+a+2=1+a+2,当且仅当=,x>0,y>0时取等号,所以1+a+2≥16,整理得(+5)(-3)≥0,解得a≥9,故正实数a的最小值为9. 7.答案　8-4 解析　+=+, 令=t,t>0, 所以+=2t+=2(t+2)+-4 ≥2-4=8-4, 当且仅当2(t+2)=,即t=2-2时取等号. 所以+的最小值为8-4. 8.解析　(1)因为AD=x cm, 所以AB=(2-x)cm, 设ED=a cm,则AE=(x-a)cm, 因为∠AEB=∠C'ED,∠EAB=∠EC'D,AB=C'D, 所以Rt△BAE≌Rt△DC'E, 所以BE=DE=a cm, 在Rt△BAE中,由勾股定理得BA2+AE2=BE2, 即(2-x)2+(x-a)2=a2, 解得a=, 所以AE=x-a=, 所以△BAE的面积S=AB·AE=(2-x)·==cm2(1<x<2). 所以△BAE的面积S=cm2(1<x<2). (2)设一个会徽的镀金费用为y元, 则y=6·S△BAE·2=12×≤12×(3-2)=36-24,当且仅当x=,1<x<2,即x=时等号成立. 所以当AD为 cm时,一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-24)元. 6 学科网（北京）股份有限公司 $