2 专题强化练1 利用基本不等式求最值-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

专题强化练1　利用基本不等式求最值

1.已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为(　　)

A.1　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9

2.(2025安徽六安第一中学期中)已知x>0,y>0,且4x+y=1,则的最小值为(　　)

A.6　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6

3.(多选题)(2025甘肃兰州第一中学诊断考试)已知x>0,y>0且3x+2y=10,则下列结论正确的是(　　)

A.xy的最大值为

B.+的最大值为2

C.+的最小值为

D.x2+y2的最大值为

4.(多选题)(2024江苏扬州期末)已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值可能是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

5.(2025江西南昌联考)已知正数x,y满足+=1,则xy的最小值是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

6.(2025四川南充高级中学期初)已知不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　. 

7.(2025甘肃白银第八中学阶段考试)已知x,y为正实数,则+的最小值为　　　　. 

8.(创新题·新情境)(2025海南华侨中学阶段考试)高一(3)班的小北为学校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑,现要批量生产.其中会徽的六个直角三角形(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示,矩形ABCD的周长为4 cm,其中长边AD为x cm,将△BCD沿BD向△ABD折叠,BC折过去后交AD于点E.

(1)用x表示图1中△BAE的面积;

(2)已知镀金工艺是2元/cm2,试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用.

答案与分层梯度式解析

1.B　因为正实数x,y,a满足2x+y=axy,

所以+=a,

所以x+2y=×(x+2y)=

≥5+2=,

当且仅当=,且+=a时取等号.

由题意可得=3,解得a=3.

2.D　因为x>0,y>0,且4x+y=1,

所以==≥=6,当且仅当x=y=时取等号.故的最小值为6.

3.BC　∵x>0,y>0且3x+2y=10,∴0<x<,0<y<5.

对于A,10=3x+2y≥2,化简得xy≤,当且仅当3x=2y且3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为,故A错误;

对于B,(+)2=3x+2y+2=10+2≤10+10=20,当且仅当3x=2y且3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立,所以+的最大值为2,故B正确;

对于C,+=×(3x+2y)=×≥×=,当且仅当=且3x+2y=10,即x=y=2时,等号成立,所以+的最小值为,故C正确;